{"id":2024,"date":"2001-05-21T00:00:00","date_gmt":"2001-05-20T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2024","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2024\/","title":{"rendered":"Esiste una funzione che, rappresentata graficamente, ha la forma del tuo nome?"},"content":{"rendered":"<p><font size=\"2\">Una funzione analitica che consenta di scrivere il proprio <\/p>\n<p>        nome, qualsiasi esso sia, non esiste.<\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\">Si immagini di voler rappresentare la lettera B con una <\/p>\n<p>        funzione analitica tipo <i>y=f(x)<\/i>, nel piano <i>xOy<\/i>.<\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\">In alcuni tratti, la lettera dovrebbe essere rappresentata <\/p>\n<p>        graficamente da una funzione che assume tre valori contemporaneamente, <\/p>\n<p>        il che la rende non analitica.<\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\">I font <i>True Type<\/i> sono stati definiti su uno standard <\/p>\n<p>        <i>vettoriale<\/i>, cio\u00e8 basato sulla composizione di elementi grafici <\/p>\n<p>        nel piano. L\u2019approccio qui illustrato \u00e8 solo un esempio di composizione <\/p>\n<p>        vettoriale di font. Gli standard vettoriali moderni, come <i>True Type, <\/p>\n<p>        Postscript<\/i>, seguono un procedimento simile e consentono di scalare <\/p>\n<p>        e trasformare i caratteri grafici a piacimento, convertendoli in immagini <\/p>\n<p>        <i>bitmap<\/i>. La costruzione degli elementi grafici \u00e8 spesso frutto <\/p>\n<p>        di un calcolo che coinvolge operazioni numeriche complesse, specialmente <\/p>\n<p>        applicando stili come il <i>corsivo<\/i> e il <b>grassetto<\/b>. Per ridurre <\/p>\n<p>        il sovraccarico computazionale, stampanti e computer ricorrono alla <i>cache<\/i>, <\/p>\n<p>        una porzione della memoria di sistema o di massa dove registrare temporaneamente <\/p>\n<p>        le immagini ottenute dalla composizione degli elementi grafici, per poi <\/p>\n<p>        richiamarle ad ogni riutilizzo.<\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\">Definiamo quindi il nostro insieme di elementi vettoriali.<\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\">Ricorrendo alla composizione funzioni parametriche, e <\/p>\n<p>        alla loro rappresentazione nel piano, \u00e8 possibile costruire algoritmicamente <\/p>\n<p>        una lettera tramite l\u2019unione dei seguenti elementi grafici:<\/font><\/p>\n<ul>\n<li> <font size=\"3\">La circonferenza di raggio <i>R <\/i>: <i>(Rcos(t),\n<p>          Rsin(t)), 0 <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> t <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> <\/p>\n<p>          2<font face=\"Symbol\">p<\/font> <\/i><\/font><\/li>\n<li><font size=\"3\">Il segmento verticale lungo <i>l<\/i>: <i>(0,t), 0 <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font>\n<p>          t <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> l <\/i><\/font><\/li>\n<li><font size=\"3\">Il segmento orizzontale lungo <i>l<\/i> : <i>(t,0),\n<p>          0 <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> t <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> l <\/i><\/font><\/li>\n<li><font size=\"3\">Il segmento diagonale a 45\u00b0 ascendente, lungo <i>l<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"25\" height=\"22\" align=\"absmiddle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/fnome\/Image6.gif\" alt=\"\"\/>:<\/i>\n<p>          <i>(t,t), , 0 <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> t <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> <\/p>\n<p>          l <\/i><\/font><\/li>\n<li><font size=\"3\">Il segmento diagonale a 45\u00b0 discendente, lungo <i>l<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"25\" height=\"22\" align=\"absmiddle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/fnome\/Image7.gif\" alt=\"\"\/>:<\/i>\n<p>          <i>(t,-t), , 0 <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> t <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> <\/p>\n<p>          l <\/i><\/font><\/li>\n<\/ul>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"211\" height=\"184\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/fnome\/Image8.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\">Fig. 1 : Suddivisione del piano in quattro <\/p>\n<p>        quadranti<\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\">E\u2019 possibile tracciare porzioni di circonferenza modificando <\/p>\n<p>        l\u2019intervallo di variazione del parametro <i>t<\/i> per i quattro quadranti <\/p>\n<p>        del piano (cfr. Fig. 1):<\/font><\/p>\n<ul>\n<li> <font size=\"3\">Quadrante I : <i>0 <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> t\n<p>          <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> <font face=\"Symbol\">p<\/font> \/2 <\/i><\/font><\/li>\n<li><font size=\"3\">Quadrante II : <\/font><font size=\"3\" face=\"Symbol\">p<\/font><font size=\"3\">\n<p>          <i>\/2<font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> t <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> <font face=\"Symbol\">p<\/font> <\/p>\n<p>          <\/i><\/font><\/li>\n<li><font size=\"3\">Quadrante III : <\/font><font size=\"3\" face=\"Symbol\">p<\/font><font size=\"3\">\n<p>          <i><font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> t <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> 3\/2<font face=\"Symbol\">p<\/font> <\/p>\n<p>          <\/i><\/font><\/li>\n<li><font size=\"3\">Quadrante IV: <i>3\/2<font face=\"Symbol\">p<\/font> <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font>\n<p>          t <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> 2<font face=\"Symbol\">p<\/font> <\/i><\/font><\/li>\n<\/ul>\n<p><font size=\"2\">Per costruire una lettera \u00e8 necessario comporre <\/p>\n<p>        i diversi elementi che la costituiscono. Tale composizione pu\u00f2 <\/p>\n<p>        avvenire per traslazione, che si ottiene aggiungendo alle ascisse ed ordinate <\/p>\n<p>        la quanti\u00e0 <i>(Xc, Yc)<\/i> voluta.<\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\">Ad esempio:<\/font><\/p>\n<ul>\n<li> <font size=\"3\">circonferenza di raggio <i>R <\/i>e centro <i>(Xc,\n<p>          Yc) <\/i>: <i>(Xc, Yc) + (Rcos(t), Rsin(t)), 0 <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> <\/p>\n<p>          t <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> 2<font face=\"Symbol\">p<\/font> <\/i><\/font><\/li>\n<\/ul>\n<p><font size=\"2\">Infine, \u00e8 possibile applicare un fattore di scala <\/p>\n<p>        <i>A<\/i> a tutti gli elementi grafici moltiplicando l\u2019equazione parametrica <\/p>\n<p>        per il fattore di scala <i>A<\/i>.<\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\">Ad esempio;<\/font><\/p>\n<ul>\n<li><font size=\"3\">Ingrandimento del 50% : <i>A=1.5 <\/i><\/font><\/li>\n<li><font size=\"3\">Riduzione del 30% : <i>A = 0.7 <\/i><\/font><\/li>\n<li><font size=\"3\">Circonferenza di raggio <i>R <\/i>ridotta del fattore\n<p>          A<i> <\/i>: <i>(ARcos(t),A Rsin(t)) , 0 <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> <\/p>\n<p>          t <font face=\"Symbol\">\u00a3<\/font> 2<font face=\"Symbol\">p<\/font> <\/i><\/font><\/li>\n<\/ul>\n<p><font size=\"2\">Ogni lettera sar\u00e0 quindi composta di pi\u00f9 <\/p>\n<p>        elementi e potr\u00e0 essere tracciata mediante un <i>algoritmo<\/i> <\/p>\n<p>        che li disegni in successione. La lettera B di figura 2 potrebbe essere <\/p>\n<p>        composta da tre elementi:<\/font><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p align=\"center\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"300\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/fnome\/Image9.gif\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\">Fig 2: Costruzione della lettera B<\/font><\/p>\n<p align=\"center\">\u00a0<\/p>\n<ul>\n<li><font size=\"3\">Elemento 1: Semicirconferenza di centro <i>(0,1\/2)\n<p>          <\/i>e raggio <i>1 <\/i><\/font><\/li>\n<li><font size=\"3\">Elemento 2: Semicirconferenza di centro <i>(0,-1\/2)<\/i>\n<p>          e raggio <i>1 <\/i><\/font><\/li>\n<li><font size=\"3\">Elemento 3: Segmento verticale lungo <i>2<\/i> e traslato\n<p>          in <i>(0,-1)<\/i><\/font><\/li>\n<\/ul>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p><font size=\"2\">Ogni volta che desideriamo tracciare la lettera dobbiamo <\/p>\n<p>        invocare l\u2019algoritmo che compone i tre elementi costitutivi. Seguendo <\/p>\n<p>        un approccio simile \u00e8 possibile definire tutte le lettere dell\u2019alfabeto <\/p>\n<p>        ed i numeri e la stesura di un intero testo corrisponde ad una invocazione <\/p>\n<p>        in sequenza degli algoritmi di composizione delle singole lettere.<\/font><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<hr size=\"1\"\/>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana\" color=\"#99cc99\"><b><font color=\"#339966\">Non<\/p>\n<p>      sono d&#8217;accordo con questa risposta.  Non \u00e8 per nulla necessario,<\/p>\n<p>      affinch\u00e9 la funzione disegni lettere e cose simili, che vi siano molte<\/p>\n<p>      soluzioni per ogni <i>x<\/i>. Basta che <i>f<\/i>(<i>x<\/i>) fornisca, ad<\/p>\n<p>      esempio, per un certo intorno<\/p>\n<p>      <i>I<\/i>(<i>x<\/i><sub>0<\/sub>\u00a0&#8211;\u00a0<i>n<\/i>,\u00a0<i>x<\/i><sub>0<\/sub>\u00a0+\u00a0<i>n<\/i>)<\/p>\n<p>      (dove <i>n<\/i> \u00e8 un numero &#8220;piccolo&#8221; a piacere) soluzioni riguardanti<\/p>\n<p>      la parte superiore di una &#8220;O&#8221;.  Poi, in<\/p>\n<p>      <i>I<\/i>(<i>x<\/i><sub>0<\/sub>\u00a0+\u00a0<i>n<\/i>,\u00a0<i>x<\/i><sub>0<\/sub>\u00a0+\u00a02<i>n<\/i>)<\/p>\n<p>      d\u00e0 soluzioni che formano la parte inferiore, e ancora in<\/p>\n<p>      <i>I<\/i>(<i>x<\/i><sub>0<\/sub>\u00a0+\u00a02<i>n<\/i>,\u00a0<i>x<\/i><sub>0<\/sub>\u00a0+\u00a03<i>n<\/i>)<\/p>\n<p>      d\u00e0 di nuovo soluzioni per la parte superiore ecc&#8230;  \u00c8 evidente<\/p>\n<p>      che se <i>n<\/i> \u00e8 un numero sufficientemente piccolo, sar\u00e8<\/p>\n<p>      impossibile distinguere l&#8217;intrinseca discontinuit\u00e0 della funzione ad<\/p>\n<p>      &#8220;occhio nudo&#8221;.  Pensandoci, nemmeno l&#8217;inchiostro di una penna \u00e8<\/p>\n<p>      &#8220;continuo&#8221; nel senso matematico del termine, ma nessuno se ne preoccupa,<\/p>\n<p>      perch\u00e9 funziona.  Matematicamente, dunque, la funzione \u00e8 salva,<\/p>\n<p>      perch\u00e9 ad ogni <i>x<\/i> corrisponde una sola <i>y<\/i>, ma<\/p>\n<p>      &#8220;visivamente&#8221; il risultato \u00e8 proprio una scritta con <i>x<\/i> che<\/p>\n<p>      sembrano fornire pi\u00f9 <i>y<\/i>.  La domanda che potrebbe sorgere<\/p>\n<p>      spontanea \u00e8: esiste una funzione del genere?  Personalmente, ne ho<\/p>\n<p>      ideata una, che si basa interamente su una particolare serie di funzioni<\/p>\n<p>      segno.  Se vi interessa posso spedirvi il documento in cui la spiego (anche<\/p>\n<p>      se \u00e8 un po&#8217; ingombrante).  Ci ho anche scritto &#8220;Buon Natale&#8221;!  Ora<\/p>\n<p>      per\u00f2 ecco la domanda che volevo porvi: se il numero <i>n<\/i> piccolo a<\/p>\n<p>      piacere tendesse a 0, cosa succederebbe alla funzione?  Cio\u00e8, se,<\/p>\n<p>      preso un qualsiasi intervallo qualunque di <i>x<\/i>, il &#8220;numero di<\/p>\n<p>      alternanze&#8221; della funzione da una <i>y<\/i> ad un&#8217;altra tendesse ad infinito,<\/p>\n<p>      che accadrebbe?  Forse per\u00f2 sono discorsi campati in aria: se potessi<\/p>\n<p>      spedirvi la funzione sarebbe tutto molto pi\u00f9 chiaro.  Grazie.<\/p>\n<p>        <\/font><\/b><\/font><font size=\"2\" face=\"Verdana\">(risponde<\/p>\n<p>        <b><a target=\"_blank\" href=\"..\/..\/esperti\/mat\/php\/team.php?esperto=Consoli\">Carlo Consoli<\/a><\/b>)<\/p>\n<p>        <\/font><\/p>\n<hr width=\"200\" size=\"1\" align=\"center\"\/>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">\u00c8 <\/p>\n<p>        teoricamente possibile costruire una sequenza di funzioni fortemente <\/p>\n<p>        discontinue, tali che traccino il contorno di lettere.<\/p>\n<p><\/p>\n<p>        Esattamente, la risposta precedente asseriva che non \u00e8 possibile <\/p>\n<p>        scrivere *una* funzione analitica che tracci il proprio nome, e nemmeno <\/p>\n<p>        alcune lettere.  \u00c8 viceversa possibile scrivere una serie di <\/p>\n<p>        funzioni &#8211; perlopi\u00f9 parametriche &#8211; che, tracciate in sequenza <\/p>\n<p>        opportuna, abbiano come grafico le lettere dell&#8217;alfabeto.<\/p>\n<p><\/p>\n<p>        Per rispondere all&#8217;ultima domanda del lettore, se <i>n<\/i> tende a zero <\/p>\n<p>        la serie di funzioni trovate si riduce a quella parametrica, con la <\/p>\n<p>        differenza che mantiene la discontinuit\u00e0.<\/p>\n<p><\/p>\n<p>        Buon Natale anche a tutti i lettori di ViaLattea.<\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":180,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2024","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2024","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/180"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2024"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2024\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2024"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2024"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2024"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}