{"id":202,"date":"2003-04-14T00:00:00","date_gmt":"2003-04-13T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"202","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/202\/","title":{"rendered":"Vorrei chiarimenti sulle vibrazioni di una membrana.\r\n\r\n-Membrana circolare ideale (bloccata sulla circonferenza esterna,con una tensione superficiale costante,nessuna perdita di energia dovuta ad attriti interni,nessuna forza di gravit\u00e0 e nessuna resistenza dell’aria).\r\n\r\n-Mi pare d’aver capito che la membrana pu\u00f2 vibrare in diversi modi detti “normali”.Questi modi sono definiti da una notazione del tipo”Modo(m,n)” in cui “m” rappresenta il numero dei “nodal diameters” ed”n” quello dei “nodal circles” e che qualora la membrana fosse percossa in un qualsiasi punto la vibrazione risultante sarebbe la somma di tutti i modi normali ciascuno con un proprio “peso”.\r\n\r\nPotreste chiarirmi meglio le idee su come si muove la membrana ed in particolare:\r\n\r\n-cosa sono i modi normali?\r\n\r\n-e’ possibile eccitare la membrana,e dove,con un impulso,in maniera tale che vibri in un solo determinato modo “normale”?\r\nAd esempio se percuoto la membrana al centro essa vibrer\u00e0 secondo il modo (0,1) sovrapposto al (0,2),al (0,3) ….oppure no?\r\n\r\n-come si passa dai modi normali al movimento della membrana sottoposta ad una particolare eccitazione?\r\n\r\n-cosa s’intende,relativamente alla membrana,per onde stazionarie,trasversali,etc..?Ed in che rapporto stanno con i modi normali?\r\n\r\n\r\n\r\nGrazie."},"content":{"rendered":"

A differenza della corda vibrante, corpo ad una dimensione, la membrana \u00e8 un corpo a due dimensioni. C’\u00e8 quindi da aspettarsi che i suoi modi di vibrare siano considerevolmente pi\u00f9 ricchi di quelli di una corda vibrante e cos\u00ec infatti \u00e8. Ma vedremo che i comportamenti sono analoghi (le equazioni che reggono i due moti sono parenti prossime una dell’altra e, in prima approssimazione, in entrambi i casi, lineari per cui vale la sovrapposizione degli effetti) per cui, chi conosce abbastanza bene i modi di vibrare di una corda non far\u00e0 molta fatica ad estendere i concetti a due dimensioni.<\/p>\n

Ricordiamo alcuni concetti base della corda vibrante:<\/b><\/p>\n

Se infinita essa \u00e8 in grado di trasmettere una qualsiasi forma d’onda in una direzione contemporaneamente a una qualsiasi altra forma d’onda nella direzione opposta. La velocit\u00e0 di propagazione (uguale in modulo nei due sensi per evidenti ragioni di simmetria) \u00e8:<\/p>\n

c = √ (T \/ ρ)<\/strong><\/font><\/p>\n

dove T<\/strong><\/font> \u00e8 la tensione della corda in N<\/strong><\/font><\/p>\n

ρ<\/strong><\/font>\u00a0\u00e8 la sua densit\u00e0 lineare (massa per unit\u00e0 di lunghezza)\u00a0 in kg\/m<\/p>\n

Se inviamo due onde periodiche tra loro esattamente opposte nelle due direzioni \u00e8 intuitivo oltre che facile a dimostrare che esisteranno infiniti\u00a0 punti a distanza costante tra loro dove le due onde si annulleranno sempre. Questi punti (che non si muovono mai) si chiamano nodi e la distanza tra due nodi successivi sar\u00e0: <\/p>\n

D = τ \/ c<\/font><\/strong><\/p>\n

dove\u00a0τ<\/strong><\/font> <\/font>\u00e8 il periodo<\/p>\n

Un’onda cos\u00ec fatta non si propaga, ma si limita a far vibrare la corda. Questo tipo di onda si dice “stazionaria”.<\/p>\n

Se noi prendiamo una corda lunga esattamente quanto una distanza nodale e bloccata agli estremi, essa potr\u00e0 evidentemente vibrare secondo quella legge come se fosse infinita. Cio’ purch\u00e9 la forma dell’onda sia periodica di periodo τ<\/font><\/strong>.<\/p>\n

E’ altrettanto evidente che la corda di lunghezza finita D<\/font><\/strong> potr\u00e0 vibrare con onde di periodo\u00a0τ\/2,\u00a0τ\/3,\u00a0τ\/4,\u00a0τ\/5<\/font><\/strong> etc… e ancora non abbiamo posto alcun vincolo alla forma di queste onde, ma solo alla loro periodicit\u00e0.<\/p>\n

D’altro canto Fourier ci assicura che qualsiasi fenomeno periodico pu\u00f2 essere considerato somma di un certo numero di sinusoidi di frequenza uguale o multiplo intero di quella del fenomeno in esame. Il moto della nostra corda vibrante si pu\u00f2 quindi considerare la somma delle sue componenti sinusoidali (sia nello spazio che nel tempo) che sono convenzionalmente chiamate “modi di vibrare”: fondamentale pi\u00f9 armonici. Una corda che vibra secondo un modo di vibrare\u00a0 puro avr\u00e0 ogni suo punto che osciller\u00e0 secondo una sinusoide pura (nel tempo). <\/p>\n

Veniamo ora alla membrana circolare uniformemente tesa (che \u00e8 una bella semplificazione).<\/b><\/p>\n

Anche per essa la veloct\u00e0 c<\/font><\/strong> \u00e8 data da:<\/p>\n

c = √ (T \/ ρ)
<\/font><\/strong>
ma T <\/font><\/strong>\u00e8 la tensione per unit\u00e0 di lunghezza e\u00a0ρ<\/strong><\/font> la densit\u00e0 superficiale (massa per unit\u00e0 di superficie)<\/p>\n

Quindi, come per la corda, la velocit\u00e0 e quindi la altezza delle note prodotte crescer\u00e0 con la tensione della pelle e decrescer\u00e0 con il suo peso.<\/p>\n

Chiameremo ancora “modo di vibrare” o “modo normale” una vibrazione in cui ogni punto della membrana si muove di moto armonico puro. Naturalmente, per una membrana a due dimensioni i gradi di libert\u00e0 sono maggiori che per una corda. Dove per una corda avevamo i “punti nodali” di un certo modo di vibrare, i punti cio\u00e8 in cui la corda non si muoveva, nel caso della membrana avremo le linee nodali. Queste potranno essere dei diametri o delle circonferenze concentriche alla membrana e cos\u00ec come nella corda i nodi dovevano essere a distanza costanti tra loro, anche le linee nodali saranno a forme e distanze ben precise come si vede dai seguenti esempi tratti da http:\/\/www.tabla.com\/tablach2.html<\/a> (vedi):<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

\n
Prima armonica o fondamentale\"\"(0,1)    nessuna linea nodale (o meglio una linea nodale: il bordo esterno)<\/pre>\n<\/div>\n
<\/p>\n\n
<\/b><\/p>\n
\n
seconda armonica\"\" (1,1)   linea nodale orizzontale + bordo esterno (BE)                                              <\/pre>\n<\/div>\n
<\/p>\n\n
<\/b><\/p>\n
\n
terza armonica:\"\" (2,1)   due linee nodali a 90\u00b0 tra loro + BE     \"\" (0,2)  \tuna linea nodale circolare\t+ BE<\/pre>\n<\/div>\n
<\/p>\n\n
<\/b><\/p>\n
\n
quarta armonica:\"\" (3,1)   tre linee nodali a 120\u00b0 tra loro + BE     \"\" (1,2)   una linea orizzontale e un cerchio + BE<\/pre>\n<\/div>\n
<\/p>\n\n
<\/b><\/p>\n
\n
quinta armonica:\"\" (4,1)   quattro linee nodali a 45\u00b0  + BE\"\" (2,2)   due linee nodali e un cerchio + BE\"\" (0,3)   due linee nodali circolari + BE            <\/pre>\n<\/div>\n
\n
\u00a0<\/pre>\n<\/div>\n
\n
I modi di vibrare in alcuni di questi modi normali sono:<\/pre>\n<\/div>\n
\n
\u00a0<\/pre>\n<\/div>\n
<\/p>\n
\"\"<\/pre>\n
<\/center><\/div>\n
<\/p>\n
per il modo (0,1)<\/pre>\n
<\/center><\/div>\n
<\/p>\n\n
<\/b><\/p>\n
\u00a0<\/pre>\n
<\/center><\/div>\n
<\/p>\n
\"\"<\/pre>\n
<\/center><\/div>\n
<\/p>\n
per il modo (1,1)<\/pre>\n
<\/center><\/div>\n
<\/p>\n\n
<\/b><\/p>\n
\u00a0<\/pre>\n
<\/center><\/div>\n
<\/p>\n
\"\"<\/pre>\n
<\/center><\/div>\n
<\/p>\n
per il modo (2,1)<\/pre>\n
<\/center><\/div>\n
<\/p>\n\n
<\/b><\/p>\n
\u00a0<\/pre>\n
<\/center><\/div>\n
\n
e cos\u00ec via... fino all'infinito, ma, anche in un caso semplice, gi\u00e0 affascinante:<\/pre>\n<\/div>\n
<\/p>\n
\"\"<\/pre>\n
<\/center><\/div>\n
<\/p>\n
per il modo (3,3)<\/pre>\n
<\/center><\/div>\n
<\/p>\n\n
<\/b><\/p>\n
Naturalmente questi sono solo alcuni degli infiniti “modi normali possibili”. Infiniti in teria, ma in pratica le armoniche pi\u00f9 si allontanano dalla fondamentale, meno contribuiscono al timbro in quanto meno ampie, ma, sopratutto, meno udibili.<\/p>\n
Ora l’equazione che descrive il moto della membrana \u00e8, dicevamo, lineare e vale quindi il principio della sovrapposizione di effetti.\u00a0I modi di vibrare “normali” si possono quindi sovrapporre tra loro in una qualsiasi combinazione lineare dando come risultante un modo di vibrare valido anche se non pi\u00f9 “normale”.\u00a0Per contro il teorema di Fourier, applicato alle due dimensioni, ci dice che qualsiasi modo di vibrare (normale o non) pu\u00f2 essere considerato la somma di un opportuno numero di modi “normali”.\u00a0<\/p>\n
Se si vuole eccitare una membrana secondo un modo normale il pi\u00f9 possibile puro, bisogna fare un po’ come si fa con le corde: bloccare i “nodi” durante la sollecitazione. Chiunque ha provato a pizzicare una corda di chitarra appoggiando lievemente un polpastrello al suo centro e rilasciandolo appena dopo averla pizzicata avr\u00e0 certo sentito il suono purissimo che se ne ricava (un’ottava sopra naturalmente). Questo perch\u00e9 il dito al centro ha impedito tutte le armoniche dispari.<\/p>\n
Bene anche con la membrana si pu\u00f2 fare qualcosa di simile appoggiando le mani in posizioni opportune mentre si da il colpo con la mazza. E’ ci\u00f2 che fanno molti suonatori per ottenere, con le armoniche, le note volute. Appoggiando la mano lungo una delle lineee nodali mostrate sopra si eliminano tutte le armoniche che porrebbero in vibrazione uno qualsiasi dei punti su cui si \u00e8 appoggiata la mano. Restano le altre componenti che formano il suono emesso, col suo timbro.<\/p>\n
Per rispondere a una delle domande, se percuoto la membrana al centro, mi aspetto, per ragioni di simmetria, che il moto sia la sovrapposizione di modi (0,n) cio\u00e8 di moti che implicano solo “nodal circles”.<\/p>\n
Si intende per onda stazionaria, nella membrana come nella corda, un onda che invece di propagarsi (come farebbe in una corda o membrana infinite) resta ferma limitandosi a far vibrare la corda o la membrana stessa. Essa non pu\u00f2 propagarsi in quando la membrana \u00e8 finita e saldamente fissata al suo contorno. Come nella corda, quest’onda rimbalza continuamente sui contorni e il suo effetto \u00e8 quello di far vibrare la membrana invece che di propagarsi.<\/p>\n
Per onda trasversale (opposta a longitudinale) si intende una vibrazione perpendicolare alla direzione di propagazione.Onda longitudinale \u00e8 invece quella che vibra secondo la direzione di propagazione.<\/p>\n
Un ‘onda sonora nell’aria \u00e8 longitudinale: l’aria infatti vibra nella direzione stessa in cui si propaga il suono in quel punto (si dice: avanti e indietro).<\/p>\n
Una corda propaga una perturbazione lungo s\u00e9 stessa, ma la perturbazione sposta ogni tratto di corda lateralmente; siamo in presenza di un’onda trasversale. Anche una membrana propaga lungo il piano in cui giace, ma la vibrazione avviene perpendicolarmente a tale piano; ancora una volta abbiamo un’onda trasversale.<\/p>\n
I “modi normali” di una membrana sono onde stazionarie trasversali che, come dicevamo sopra, fanno vibrare ogni punto della membrana di moto armonico puro. Data una combinazione lineare di “modi normali” il moto risultante sar\u00e0 la semplice somma algebrica dei moti componenti, n\u00e9 pi\u00f9 n\u00e9 meno che per una corda.<\/p>\n
Per quanto riguarda il modo di sollecitare una membrana, anche qui il parallelo con la corda pu\u00f2 aiutare: un violinista o un chitarrista possono pizzicare o strisciare l’archetto pi\u00f9 o meno vicino al ponticello traendone suoni pi\u00f9 o meno ricchi di armoniche (striduli). Percuotendo con la mazza punti diversi della membrana si tende ad esaltare quei modi normali che hanno un ventre vicino al punto di percussione.\u00a0<\/p>\n
Per una soddisfacente trattazione matematica che farebbe diventare questo testo intollerabilmente lungo rimando a:<\/p>\n
http:\/\/www.astro.queensu.ca\/~portugal\/ftp\/membrane\/axiamemb.html<\/a><\/p>\n
E’ molto chiara e ben scritta, purtroppo in inglese.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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