Il teorema di B\u00c3\u00a9zout si dimostra come corollario di un altro teorema: il Teorema di Esistenza ed Unicit\u00c3\u00a0 del Massimo Comun Divisore.<\/p>\n
Teorema<\/b>
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\nDati comunque a<\/i>, b<\/i> appartenenti a Z<\/b><\/i>, non entrambi nulli, esiste ed \u00c3\u00a8 unico l’intero naturale d<\/i> := MCD(a<\/i>, b<\/i>).
\n
\nd<\/i> coincide con il minimo intero positivo nell’insieme:
\n
\nS := {ax<\/i> + by<\/i> : x<\/i> ,y<\/i> appartengono a Z<\/b><\/i>, ax<\/i> + by<\/i> > 0}.<\/p>\n
La dimostrazione di questo teorema viene lasciata da parte, e ritornando all’identit\u00c3\u00a0 di B\u00c3\u00a9zout questa pu\u00c3\u00b2 essere enunciata come corollario del precedente teorema:<\/p>\n
Corollario (Identit\u00c3\u00a0 di B\u00c3\u00a9zout)<\/b> Dimostrazione<\/i>. \nEsiste anche una dimostrazione diretta di questo secondo teorema, basata sul fatto che il resto delle divisioni euclidee successive tra due numeri naturali pu\u00c3\u00b2 sempre essere scritto come combinazione del dividendo e del divisore. In dettaglio: supponiamo a<\/i> < b<\/i>, in modo che sia b<\/i> = qa<\/i> + r<\/i> con q<\/i> > 0; si ha allora anche ovviamente r<\/i> = b<\/i> – qa<\/i> con r<\/i> < a<\/i>. Si divida ora a<\/i> per r<\/i>: si ottiene a<\/i> = q’r<\/i> + r’<\/i> e quindi r’<\/i> = a<\/i> – q’r<\/i> = (1 – qq’<\/i>)a<\/i> – q’b<\/i>. Si prosegue allora dividendo r<\/i> per r’<\/i>, e cos\u00c3\u00ac via.<\/p>\n Dal momento che a ogni divisione successiva il resto continua a diminuire, questo procedimento (noto come algoritmo di Euclide<\/i>) termina solo quando si ottiene una divisione esatta (cio\u00c3\u00a8 con resto zero). Lasciamo al lettore il compito di verificare che il resto ottenuto nel penultimo “passo” \u00c3\u00a8 proprio il MCD di a<\/i> e b<\/i>, notando che qualsiasi numero che divide a<\/i> e b<\/i> divide anche tutti i resti ottenuti con questo algoritmo e che d’altra parte (come si vede “giocando” ancora con le espressioni delle divisioni effettuate) ogni resto ottenuto con questo algoritmo \u00c3\u00a8 multiplo del penultimo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" […]<\/p>\n","protected":false},"author":199,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[65],"tags":[],"class_list":["post-189","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/189","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/199"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=189"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/189\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=189"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=189"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=189"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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\nDati comunque a<\/i>, b<\/i> appartenenti a Z<\/b><\/i>, non entrambi nulli, esistono x0<\/sub>,y0<\/sub> appartenenti a Z<\/b><\/i> in modo che si abbia:
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\nMCD(a<\/i>, b<\/i>) = ax<\/i>0<\/sub> + by<\/i>0<\/sub><\/p>\n
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\nPer come \u00c3\u00a8 fatto l’insieme S (nell’enunciato del teorema precedente) d<\/i> = min S<\/i>, quindi d<\/i> appartiene ad S<\/i> e quindi esistono x<\/i>0<\/sub> e y<\/i>0<\/sub> tali che d<\/i> = ax<\/i>0<\/sub> + by<\/i>0<\/sub>.<\/p>\n