\n
![\"\"\/](\"..\/..\/esperti\/mat\/ifzero\/Integrale.gif\")
\n Figura 1. L’Integrale di Riemann.<\/font>
\n <\/center><\/p>\n
Seguendo questa costruzione, \u00e8 evidente che la funzione
\n citata dal lettore non pu\u00f2 essere integrabile sull’intervallo [0,\u00a01].
\n Infatti, comunque si prendano gli “intervallini” in cui si suddivide l’intervallo
\n [0,\u00a01], in ogni piccolo intervallo saranno compresi almeno un punto
\n razionale e uno irrazionale: di conseguenza, i valori estremi assunti
\n dalla funzione su ogni intervallino saranno sempre 0 e 1 e, quindi, l’area
\n delle due figure “approssimanti” sar\u00e0 sempre, rispettivamente,
\n 0 e 1. <\/p>\n
\n
Molto diversa, invece, \u00e8 la definizione di integrale
\n di Lebesgue<\/i>, di cui cerchiamo di dare un’idea intuitiva senza pretesa
\n di eccessivo rigore n\u00e9 di completezza; rimandiamo comunque a un
\n testo di analisi matematica per l’universit\u00e0 per tutti i dettagli.
\n L’idea \u00e8 quella di cercare un modo diverso per “approssimare” la
\n funzione tramite funzioni “semplici”, e tale modo \u00e8 quello di operare
\n una partizione dell’insieme delle immagini invece che del dominio. <\/p>\n
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Supponiamo, per esempio, m<\/i>\u00a0=\u00a0y<\/i>0<\/sub>\u00a0<\u00a0y<\/i>1<\/sub>\u00a0<\u00a0…\u00a0<\u00a0yn<\/sub><\/i>\u00a0=\u00a0M<\/i><\/p>\n e ripartire il dominio in n<\/i> insiemi D<\/i>1<\/sub>,\u00a0…,\u00a0Dn<\/sub><\/i> cos\u00ec che l’integrale esiste, come accade con l’integrale \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Il vantaggio dell’integrale \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Rispetto a questa definizione, Mi rendo conto che probabilmente questo risponde solo parzialmente \u00a0<\/p>\n \u00a0 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" […]<\/p>\n","protected":false},"author":196,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-170","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/170","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/196"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=170"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/170\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=170"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=170"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=170"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n di voler integrare tra a<\/i> e b<\/i> una funzione limitata, cio\u00e8
\n una funzione che assume valori compresi nell’intervallo [m<\/i>,\u00a0M<\/i>].
\n Possiamo allora considerare una partizione di questo insieme dei valori
\n in n<\/i> intervalli [yi<\/sub><\/i>-1<\/sub>,\u00a0yi<\/sub><\/i>]
\n dove i punti yi<\/sub><\/i> sono presi in modo tale che <\/p>\n
\n tali che i valori di x<\/i> compresi nell’i<\/i>-esimo insieme siano
\n esattamente quelli dell’intervallo [a<\/i>,\u00a0b<\/i>] per cui la
\n funzione assume valori compresi nell’intervallo [yi<\/sub><\/i>-1<\/sub>,\u00a0yi<\/sub><\/i>].
\n Se ora \u00e8 possibile conoscere in qualche senso la “misura” ai<\/sub><\/i>
\n di ognuno degli insiemi Di<\/sub><\/i>, l’area della regione di
\n piano in considerazione (che chiamiamo ancora “integrale da a<\/i> a
\n b<\/i> di f<\/i>(x<\/i>)”) soddisfa le disequazioni <\/p>\n
\n ![\"\"\/](\"..\/..\/esperti\/mat\/ifzero\/eq001.gif\")
\n <\/center><\/p>\n
\n di Riemann, se “infittendo” la partizione dell’insieme delle immagini
\n le due quantit\u00e0 a sinistra e a destra della disequazione qui sopra
\n convergono allo stesso valore. <\/p>\n
\n di Lebesgue rispetto a quello di Riemann sta nel fatto che in generale
\n \u00e8 molto pi\u00f9 facile definire la misura di un sottoinsieme
\n del dominio di quanto non sia “ingabbiare” una funzione “dentro” e “fuori”
\n da delle opportune unioni di rettangoli. Sull’insieme dei numeri reali,
\n per esempio, \u00e8 definita la misura di Lebesgue<\/i>, che permette
\n di valutare l'”estensione” di un ampia famiglia di sottoinsiemi e che
\n possiede la desiderabile propriet\u00e0 che la misura di un intervallo
\n coincide proprio con la sua lunghezza. <\/p>\n
\n si pu\u00f2 dimostrare che la funzione citata dal lettore \u00e8<\/i>
\n integrabile. \u00c8 immediato, in effetti, che l’integrale di Lebesgue
\n della funzione considerata debba essere pari alla misura dell’insieme
\n dei numeri irrazionali compresi tra 0 e 1 (infatti, deve essere pari alla
\n somma tra 0 volte la misura dell’insieme dei numeri razionali e 1 volta
\n la misura dell’insieme dei numeri irrazionali). \u00c8 possibile, a
\n questo punto, dimostrare che la misura dell’insieme dei numeri razionali
\n appartenenti a [0,\u00a01] \u00e8 0, perch\u00e9 tale \u00e8 la
\n misura di ogni sottoinsieme numerabile dell’insieme dei numeri reali:
\n allora, la misura dell’insieme dei numeri irrazionali appartenenti a [0,\u00a01]
\n \u00e8 pari alla misura dello stesso intervallo [0,\u00a01], cio\u00e8
\n 1. L’integrale di Lebesgue da 0 a 1 della funzione in oggetto \u00e8
\n dunque 1. <\/p>\n
\n
\n alla domanda del lettore. In effetti, \u00e8 lecito anche chiedersi
\n come si possa affermare che i numeri irrazionali nell’intervallo [0,\u00a01]
\n siano in qualche senso “pi\u00f9” dei numeri reali. Anche qui la risposta
\n \u00e8 tutt’altro che banale e richiede una dettagliata trattazione
\n in termini di teoria della cardinalit\u00e0. \u00c8 infatti possibile
\n dimostrare che i numeri razionali sono numerabili (per la definizione
\n di numerabilit\u00e0 e per qualche cenno alla teoria della cardinalit\u00e0
\n rimando a una mia precedente risposta<\/a>)
\n mentre i numeri reali hanno una cardinalit\u00e0 strettamente maggiore:
\n da questo (e dal fatto che l’unione di due insiemi numerabili \u00e8
\n numerabile) si deduce che i numeri irrazionali hanno una cardinalit\u00e0
\n strettamente maggiore di quella dei numeri razionali e, quindi, che in
\n qualche senso \u00e8 ragionevole dire che i numeri razionali sono “meno
\n numerosi” di quelli irrazionali. <\/p>\n