{"id":1617,"date":"-0001-11-30T00:00:00","date_gmt":"-0001-11-29T23:10:04","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"1617","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/1617\/","title":{"rendered":"Non capisco bene l’equazione di Schr\u00f6dinger in particolare cosa indichi l’operatore hamiltoniano."},"content":{"rendered":"

Spiegare in due parole l\u2019equazione di Schr\u00f6dinger
\n \u00e8 veramente un\u2019impresa da titani. Per avere almeno
\n una minima idea di quello di cui si sta parlando \u00e8
\n necessario spendere due parole sulla natura ondulatoria
\n della materia.\u00a0 <\/p>\n

E\u2019 noto che particelle materiali
\n esibiscono propriet\u00e0 di onde. La lunghezza d\u2019onda
\n connessa con una particella \u00e8 associabile al suo momento
\n p<\/i>, cio\u00e8 al prodotto massa*velocit\u00e0 (p=mu<\/i>),
\n ed \u00e8 espressa dalla relazione (essendo h la costante di
\n Planck)\u00a0 <\/p>\n

\"\"\/ <\/p>\n

E\u2019 comprensibile che un discorso del genere possa
\n lasciare disorientati. Come pu\u00f2 un elettrone (o un
\n fotone) essere contemporaneamente sia un\u2019onda che
\n una particella? Il fatto \u00e8 che probabilmente essi non
\n sono nessuna delle due cose. Semplicemente si comportano
\n come onde in determinate condizioni e come particelle in
\n altre. La cosa importante \u00e8 per\u00f2 che il loro
\n comportamento pu\u00f2 in ogni caso essere descritto in
\n termini di una funzione d\u2019onda\u00a0\"\"\/ .
\n Ragionare in termini di funzioni d\u2019onda \u00e8 dunque il
\n modo pi\u00f9 soddisfacente per descrivere sistemi di questo
\n tipo.\u00a0 <\/p>\n

Vediamo di che si tratta.\u00a0 <\/p>\n

Scriviamo l\u2019equazione di
\n un\u2019onda armonica che si propaga in direzione degli x<\/i>
\n positivi con velocit\u00e0 u<\/i>. Essa, nel punto x<\/i>
\n e al tempo t<\/i>, \u00e8 data da\u00a0<\/p>\n

\"\"\/ \u00a0<\/p>\n

[tenendo presente che exp(ix) = cosx +
\n i senx<\/i>] <\/p>\n

Si pu\u00f2 facilmente verificare che un\u2019onda di
\n questo genere \u00e8 periodica nel tempo (con periodo\u00a0\"\"\/)
\n e nello spazio (con periodo\u00a0\"\"\/). Cio\u00e8 aumentando
\n t <\/i>di T<\/i> o x<\/i> di\u00a0\"\"\/
\n sia\u00a0\"\"\/che le sue derivate rimangono invariate.
\n Inoltre, dato che l\u2019esponenziale, in valore
\n assoluto, non pu\u00f2 mai superare il valore di 1,
\n l\u2019oscillazione avviene al massimo tra +A<\/i> e -A<\/i>.
\n Il parametro A<\/i> \u00e8 dunque l\u2019ampiezza
\n dell\u2019onda.\u00a0 <\/p>\n

Importante \u00e8 anche il teorema di
\n Fourier. Esso dice che un\u2019onda di una determinata
\n frequenza pu\u00f2 essere ricostruita dalla combinazione di
\n un pacchetto di onde a frequenza variabile e di adatta
\n ampiezza\u00a0<\/p>\n

\"\"\/ \u00a0\u00a0
\n In generale per rappresentare una particella in movimento
\n sar\u00e0 necessario costruire un\u2019onda localizzata. Un
\n tale tipo di onda pu\u00f2 essere costruita scegliendo
\n opportunamente il pacchetto d\u2019onde in modo che esse
\n interferiscano costruttivamente in un punto e
\n distruttivamente in tutti gli altri. Il pacchetto
\n d\u2019onde in questione sar\u00e0 caratterizzato da un range
\n molto stretto di numeri d\u2019onda e quindi pu\u00f2 essere
\n virtualmente considerato omogeneo in frequenza.\u00a0 <\/p>\n

Supponiamo ora che un elettrone libero
\n che viaggia in direzione degli x<\/i> positivi con
\n momento p = mu<\/i> ed energia cinetica<\/p>\n

\u00a0\"\"\/<\/p>\n

sia rappresentato dalla funzione\u00a0<\/p>\n

\u00a0 \"\"\/<\/p>\n

Operando le opportune sostituzioni ed
\n essendo\u00a0<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

si pu\u00f2 arrivare a verificare che la
\n funzione d\u2019onda\u00a0\"\"\/ descritta sopra \u00e8 soluzione
\n dell\u2019equazione differenziale<\/p>\n

\u00a0 \"\"\/ <\/p>\n

Questa \u00e8 l\u2019equazione di
\n Schr\u00f6dinger per un elettrone libero che si muove in uno
\n spazio monodimensionale. L\u2019estensione al caso
\n tridimensionale \u00e8 immediata se si esprime l\u2019energia
\n come<\/p>\n

\u00a0\"\"\/<\/p>\n

.\u00a0 \"\"\/ <\/p>\n

\u00a0\u00a0 <\/p>\n

o, con la usuale simbologia\u00a0 \u00a0<\/p>\n

\"\"\/ \u00a0\u00a0 <\/p>\n

Fin qui abbiamo parlato di una particella
\n libera.\u00a0 <\/p>\n

Diverso \u00e8 per\u00f2 il caso di una
\n particella che si muove sotto l\u2019influenza di un
\n campo esterno. Nell\u2019energia sar\u00e0 necessario
\n introdurre un termine energia potenziale assunto
\n dipendente solo dalle coordinate. Si avr\u00e0 dunque che<\/p>\n

\u00a0\u00a0 \"\"\/ <\/p>\n

e quindi<\/p>\n

\u00a0 \"\"\/ <\/p>\n

Se a questo punto definiamo
\n l\u2019operatore Hamiltoniano H come\u00a0<\/p>\n

\"\"\/ <\/p>\n

possiamo scrivere che\u00a0\u00a0 <\/p>\n

\"\"\/ <\/p>\n

In pratica l\u2019operatore Hamiltoniano \u00e8 un
\n operatore che, applicato ad una generica\u00a0\"\"\/, <\/b>ne
\n restituisce una derivata seconda rispetto alle coordinate
\n spaziali sommata del valore di\u00a0\"\"\/stessa moltiplicata
\n per il potenziale.\u00a0 <\/p>\n

Questa \u00e8 l\u2019equazione di Schr\u00f6dinger dipendente
\n dal tempo per una particella di energia potenziale
\n potenziale V(x,y,z)<\/i> che si muove
\n tridimensionalmente. Tale equazione, cos\u00ec costruita, ha
\n la caratteristica di essere lineare; cio\u00e8 se ammette una
\n soluzione\u00a0\"\"\/ ammette anche una soluzione\u00a0\"\"\/,
\n ove c<\/i> \u00e8 una costante arbitraria diversa da
\n zero.\u00a0 <\/p>\n

Inoltre la funzione |\"\"\/|2<\/sup> ha la caratteristica
\n di rappresentare la probabilit\u00e0 di trovare la particella
\n in un determinato elemento di volume dxdydz<\/i> al
\n tempo t<\/i>. Dato che la probabilit\u00e0 di trovare la
\n particella in qualsiasi parte dello spazio al tempo t<\/i>
\n deve essere unitaria, \u00e8 necessario che l\u2019integrale
\n di |\"\"\/|2 <\/sup>su tutto lo spazio dia 1. Una
\n funzione\u00a0\"\"\/ che corrisponda a questa
\n caratteristica si dice normalizzata.\u00a0 <\/p>\n

In molti casi particolari \u00e8 possibile
\n scindere la funzione d\u2019onda\u00a0\"\"\/ in una parte f<\/i>
\n dipendente dal tempo e in una parte\u00a0\"\"\/dipendente
\n dalle coordinate.\u00a0 <\/p>\n

\"\"\/ <\/p>\n

dove si ha che\u00a0 <\/p>\n

\"\"\/ <\/p>\n

(equazione di Schr\u00f6dinger indipendente
\n dal tempo) <\/p>\n

e\u00a0 <\/p>\n

\"\"\/ \u00a0 <\/p>\n

Questi casi particolari giocano un ruolo fondamentale
\n nello sviluppo delle teorie sulle strutture atomiche in
\n quanto descrivono gli stati stazionari nei quali la
\n dipendenza dal tempo influenza solamente la fase.\u00a0 <\/p>\n

Ma torniamo all\u2019operatore Hamiltoniano.\u00a0 <\/p>\n

Fino ad ora si \u00e8 discusso sull\u2019equazione di
\n Schr\u00f6dinger. Si \u00e8 detto che l\u2019equazione di
\n Schr\u00f6dinger \u00e8 una equazione differenziale le cui
\n soluzioni descrivono nel tempo e nello spazio
\n “entit\u00e0” in movimento quali possono ad esempio
\n essere gli elettroni di un atomo. Risolvere tale
\n equazione, ove sia possibile, permette di risalire alle
\n mappe di densit\u00e0 elettronica che descrivono la
\n probabilit\u00e0 di trovare gli elettroni in determinati
\n punti dello spazio.\u00a0 <\/p>\n

L\u2019equazione di Schr\u00f6dinger \u00e8 una equazione agli
\n autovalori. Cosa significa?\u00a0 <\/p>\n

Una generica equazione agli
\n autovalori\u00a0 <\/p>\n

\"\"\/ [dove O<\/b> \u00e8 per esempio
\n l\u2019operatore a (d\/dx2) + b (d\/dx) + c<\/i>] <\/p>\n

assume soluzioni di una data classe (importanti sono
\n quelle continue, normalizzabili, ed a valor singolo) solo
\n quando il parametro E assume certi specifici valori
\n numerici. Tali valori numerici sono detti autovalori <\/i>mentre
\n le corrispondenti soluzioni sono le autofunzioni<\/i>
\n dell\u2019operatore O<\/b>.\u00a0 <\/p>\n

Supponiamo di disporre di una terna di
\n autofunzioni\u00a0\"\"\/aventi autovalore E<\/i> ed
\n appartenenti alla classe descritta sopra. Allora anche
\n una qualsiasi loro combinazione lineare\u00a0\"\"\/sar\u00e0
\n una autofunzione appartenente alla medesima classe ed
\n avente autovalore E<\/i>. Questa regola \u00e8 quella che
\n definisce uno spazio vettoriale. In generale in uno
\n spazio ad n<\/i> dimensioni il numero massimo di
\n vettori linearmente indipendenti \u00e8 n<\/i> e quindi
\n qualsiasi vettore sar\u00e0 sempre ottenibile da una
\n combinazione lineare di n<\/i> vettori. Al tendere di n<\/i>
\n all\u2019infinito si ottiene uno spazio
\n infinito-dimensionale che \u00e8 detto spazio di Hilbert<\/i>.
\n Qualsiasi spazio finito ottenibile per esempio dalle
\n autofunzioni di un operatore con autovalore E<\/i> \u00e8
\n dunque un sottospazio dello spazio di Hilbert.\u00a0 <\/p>\n

Ecco allora che sulla base di quanto detto possiamo
\n riassumere che l\u2019equazione di Schr\u00f6dinger \u00e8 una
\n equazione agli autovalori, che consente dunque soluzioni
\n della stessa classe solo in corrispondenza di determinati
\n valori dell\u2019autofunzione E<\/i>.\u00a0 <\/p>\n

In particolare perch\u00e9 le soluzioni siano utilizzabili
\n ai fini di una rappresentazione atomica \u00e8 necessario che
\n esse siano normalizzabili, continue ed a valor singolo.
\n Soluzioni di questo tipo sono ottenibili solo in
\n corrispondenza di determinati valori di E, ciascuno dei
\n quali rappresenta l\u2019energia complessiva del sistema
\n in una determinata configurazione.\u00a0 <\/p>\n

Detta in termini molto semplificati si pu\u00f2 dire
\n quindi che per ciascun livello di energia (per ciascun
\n autovalore E<\/i>) l\u2019operatore Hamiltoniano \u00e8
\n quell\u2019operatore che fornisce una serie di
\n autofunzioni (che sono quindi soluzioni
\n dell\u2019equazione) che rappresentano la popolazione
\n elettronica corrispondente a quella energia.\u00a0 <\/p>\n

Per concludere bisogna tuttavia dire che nella pratica
\n una soluzione dell\u2019equazione di Schr\u00f6dinger \u00e8
\n possibile solo in casi semplici, mentre nella maggior
\n parte dei casi si fa ricorso a soluzioni che sono frutto
\n di innumerevoli compromessi e semplificazioni. Solo col
\n continuo progredire degli strumenti di calcolo sar\u00e0
\n possibile estendere la risoluzione rigorosa a casi sempre
\n pi\u00f9 complessi.\u00a0
\n \u00a0 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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