{"id":154,"date":"2002-04-15T00:00:00","date_gmt":"2002-04-14T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"154","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/154\/","title":{"rendered":"Che cosa sono in analisi le “trasformate”, e qual \u00e8 il loro utilizzo? La serie di Fourier e la trasformata di Fourier sono la stessa cosa?"},"content":{"rendered":"

Nelle scienze naturali e tecniche si ha spesso a che fare
\ncon processi periodici quali, per esempio, il moto periodico dei corpi
\ncelesti e delle particelle elementari, le vibrazioni acustiche ed
\nelettromagnetiche, il moto oscillatorio e rotatorio di varie parti delle
\nmacchine e dei congegni etc… Tali processi hanno sempre attirato e
\nincuriosito l’attenzione dei fisici e dei matematici, proprio per questo loro
\n“eterno ripetersi”, che permette di conoscere (in ogni istante) quella che
\n\u00e8 stata la loro evoluzione passata e quella che sar\u00e0 la loro
\nevoluzione futura. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Dal punto di vista
\nmatematico, tutti i processi del genere sono descritti da funzioni
\nperiodiche, funzioni che possono essere intuitivamente definite nel seguente
\nmodo: <\/font><\/p>\n


<\/font><\/p>\n

Definizione 1. <\/b>Una funzione f<\/i>(t<\/i>)
\n(definita su tutto \"\"\/) si dice
\nperiodica<\/i> se esiste un numero T<\/i>\u00a0\"\"\/\u00a00
\n(detto periodo<\/i> della funzione) tale che
\nf<\/i>(t<\/i>\u00a0+\u00a0T<\/i>)\u00a0=\u00a0f<\/i>(t<\/i>) per
\nogni t<\/i>\u00a0\"\"\/\u00a0\"\"\/. <\/font><\/p>\n


<\/font><\/p>\n

Osservazione 1. <\/b>In realt\u00e0 la definizione
\ncos\u00ec data di periodo \u00e8 un po’ sbrigativa e non univoca.
\nInfatti, in questo modo, anche 2T<\/i>, 3T<\/i>, … sarebbero periodi
\ndella nostra funzione e non si esclude la possibile esistenza di un altro
\nperiodo S<\/i> tale che 0\u00a0<\u00a0S<\/i>\u00a0<\u00a0T<\/i>
\nche soddisfi la stessa propriet\u00e0. Per risolvere questo problema (e
\nquindi dare una definizione di periodo che non lasci spazio ad
\nambiguit\u00e0 di alcun genere), definiremo il periodo della funzione come
\nil minimo<\/i> T<\/i>\u00a0>\u00a00 che soddisfi la propriet\u00e0
\nsopra menzionata, cio\u00e8: <\/font><\/p>\n

\nmin\u00a0{T<\/i>\u00a0>\u00a00\u00a0|\u00a0f<\/i>(t<\/i>\u00a0+\u00a0T<\/i>)\u00a0=\u00a0f<\/i>(t<\/i>)
\nper ogni t<\/i>\u00a0\"\"\/\u00a0\"\"\/}. <\/font><\/p>\n

Il problema relativo all’esistenza di questo minimo \u00e8
\ntutt’altro che banale: se f<\/i> \u00e8 periodica, che esista l’estremo
\ninferiore \u00e8 sempre vero e questo sar\u00e0 sempre non negativo; il
\nproblema \u00e8 se questo \u00e8 anche un minimo per l’insieme e se
\n\u00e8 strettamente positivo. Osserviamo che nel caso della funzione di
\nDirichlet <\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

si ha che l’insieme
\n{T<\/i>\u00a0>\u00a00\u00a0|\u00a0f<\/i>(t<\/i>\u00a0+\u00a0T<\/i>)\u00a0=\u00a0f<\/i>(t<\/i>)
\nper ogni t<\/i>\u00a0\"\"\/\u00a0\"\"\/} \u00e8
\nl’insieme di tutti i numeri razionali positivi, quindi l’estremo inferiore
\n\u00e8 0. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Nel nostro caso
\nsupporremo di lavorare con funzioni per cui tale minimo esiste ed \u00e8
\npositivo, anche se ci si rende facilmente conto che le dimostrazioni che
\nseguiranno, non dipendono in alcun modo dalla scelta del “periodo minimale”,
\ncio\u00e8 continuano ad essere valide se applicate con un qualsiasi
\nT<\/i>\u00a0>\u00a00 che soddisfa la propriet\u00e0 di cui sopra. <\/font><\/p>\n


<\/font><\/p>\n

Le funzioni periodiche pi\u00f9 semplici e note sono
\nle funzioni trigonometriche sin(t<\/i>) e cos(t<\/i>), con periodo
\nT<\/i>\u00a0=\u00a02\"\"\/. Osserviamo che da un punto di vista
\nfisico, tali funzioni sono legate alle cosiddette “armoniche<\/i>” (o
\nvibrazioni armoniche<\/i>) che rappresentano i pi\u00f9 semplici e
\ninteressanti moti periodici studiabili: <\/font><\/p>\n

x<\/i>(t<\/i>)\u00a0=\u00a0A<\/i>\u00a0sin(\"\"\/t<\/i>\u00a0+\u00a0p<\/i>); <\/font><\/p>\n

queste sono chiaramente funzioni periodiche di periodo
\nT<\/i>\u00a0=\u00a02\"\"\/\u00a0\/\u00a0\"\"\/
\n(detto periodo dell’armonica<\/i>) e le costanti A<\/i>, \"\"\/ e p<\/i> si dicono rispettivamente ampiezza<\/i>,
\nfrequenza<\/i> e fase iniziale<\/i> dell’armonica. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Osserviamo che se una
\nfunzione f<\/i>(x<\/i>) \u00e8 periodica di periodo T<\/i>, allora le
\npossiamo associare una nuova funzione
\ng<\/i>(x<\/i>)\u00a0:=\u00a0f<\/i>(Tx<\/i>\u00a0\/\u00a02\"\"\/), periodica di periodo 2\"\"\/. Questa osservazione
\nci permette di considerare (in seguito) solamente le funzioni periodiche con
\nperiodo 2\"\"\/ e di dimostrare per queste i risultati di
\nconvergenza per le serie di Fourier associate. La generalizzazione ad una
\nqualsiasi funzione periodica di periodo generico T<\/i> \u00e8 immediata,
\nconsiderando il cambio di variabile sopra introdotto. <\/font><\/p>\n


<\/font><\/p>\n

Il problema principale che vogliamo ora trattare
\n\u00e8 il problema della rappresentazione di una funzione periodica
\narbitraria sotto forma di somme di armoniche<\/i>, limitandoci ad
\nanalizzare alcuni semplici risultati e ad accennare alcune interessanti
\nproblematiche connesse. Tale limitazione \u00e8 dettata dalla
\nvastit\u00e0 e complessit\u00e0 dell’argomento, che richiede la
\nconoscenza di nozioni e tecniche dell’analisi funzionale, che possono mancare
\nad un lettore (per quanto acuto e interessato) di tale rubrica. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Questo affascinante
\nproblema deve il suo principale contributo al lavoro di Joseph Fourier
\n(1768-1830), il quale nel suo “Th\u00e9orie analytique de la
\nchaleur<\/i>” (1822) sviluppa sistematicamente le sue idee e intuizioni. Il
\ncontributo principale di Fourier consistette nell’idea (gi\u00e0 adombrata
\nda Daniel Bernoulli) che una funzione periodica f<\/i>(x<\/i>) potesse
\nvenir rappresentata mediante una serie della forma: <\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

con opportuni coefficienti a<\/i>0<\/sub>,
\na<\/i>1<\/sub>, …, b<\/i>1<\/sub>, … (il ruolo, del tutto
\nformale, del fattore 1\u00a0\/\u00a02 davanti alla costante
\na<\/i>0<\/sub> apparir\u00e0 chiaro in seguito). <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Questa espressione
\n\u00e8 oggi nota col nome di serie di Fourier<\/i>. Vedremo che una
\nsiffatta rappresentazione di una funzione mediante una serie trigonometrica,
\noffre la possibilit\u00e0 di studiare tipi di funzioni considerevolmente
\npi\u00f9 generali di quanto consentito dalla serie di Taylor: anche se in
\nmolti punti non esiste la derivata o la funzione non \u00e8 continua, la
\nfunzione (sotto opportune ipotesi) potr\u00e0 lo stesso essere sviluppabile
\nattraverso una simile serie trigonometrica. Osserviamo che per sviluppare
\nuna funzione attraverso la sua serie di Taylor, era necessario (ma non
\ncertamente sufficiente) che la funzione fosse \"\"\/
\n(cio\u00e8 derivabile infinite volte, con derivate di ogni ordine
\ncontinue); le funzioni che ammettono tale rappresentazioni sono dette
\nanalitiche<\/i> (sono chiaramente un sottoinsieme proprio delle funzioni
\n\"\"\/). Nel caso delle serie di Fourier, vedremo come le
\ncondizioni di regolarit\u00e0 da richiedere siano in realt\u00e0 molto
\npi\u00f9 deboli. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Vediamo ora di entrare
\nnei dettagli. Vogliamo studiare la possibilit\u00e0 di “sviluppare” una
\nfunzione periodica f<\/i>(x<\/i>) (che per semplicit\u00e0 supporremo
\ndi periodo 2\"\"\/) attraverso una serie trigonometrica della
\nforma <\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

cio\u00e8 cercare di approssimare tale funzione con dei
\npolinomi trigonometrici<\/i> <\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

I problemi che vogliamo discutere possono cos\u00ec essere
\nriassunti:<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

    <\/p>\n
  1. \n

    determinare chi sono i valori candidati<\/i> per
    \nak<\/sub><\/i> e bk<\/sub><\/i> (tali valori dovranno
    \nevidentemente dipendere dalla funzione f<\/i>);<\/p>\n<\/li>\n

  2. \n

    determinare le condizioni affinch\u00e9 la serie
    \ncos\u00ec definita converga puntualmente<\/i> alla funzione f<\/i>,
    \ncio\u00e8 tali che: <\/p>\n

    \"\"\/<\/p>\n<\/li>\n

    <\/font><\/ol>\n

    Cominciamo discutendo il primo punto. A tal fine ricordiamo
    \nil seguente risultato (che si mostra semplicemente per induzione, integrando
    \npi\u00f9 volte per parti): <\/font><\/p>\n


    <\/font><\/p>\n

    Lemma 1. <\/b>Valgono le seguenti relazioni: <\/font><\/p>\n

    \"\"\/<\/font><\/p>\n


    <\/font><\/p>\n

    Al fine di determinare i “candidati” ad essere i
    \ncoefficienti della serie di Fourier S<\/i> associata ad f<\/i>,
    \nsupponiamo di conoscere tale serie e di sapere che tale serie converge
    \nuniformemente<\/i> alla funzione f<\/i>: <\/font><\/p>\n

    \"\"\/<\/font><\/p>\n

    Moltiplichiamo ora entrambi i membri dell’equazione sopra
    \nper cos(mx<\/i>) (con m<\/i> numero naturale) ed integriamo fra –\"\"\/ e \"\"\/, cio\u00e8 su un periodo della funzione
    \n(sarebbe stato equivalente integrare su un generico intervallo
    \n[a<\/i>,\u00a0a<\/i>\u00a0+\u00a02\"\"\/)). Portando
    \nl’integrale all’interno della sommatoria (cosa resa “lecita” dal fatto che
    \nper ipotesi la serie S<\/i> converge uniformemente), otteniamo: <\/font><\/p>\n

    \"\"\/<\/font><\/p>\n

    Usando ora il lemma enunciato in precedenza, possiamo
    \nconcludere che: <\/font><\/p>\n

    \"\"\/<\/font><\/p>\n

    che vale anche per m<\/i>\u00a0=\u00a00 in virt\u00f9
    \ndel fattore 1\u00a0\/\u00a02, inserito ad hoc<\/i> nell’espressione della
    \nserie. Analogamente, ripetendo lo stesso procedimento di prima,
    \nmoltiplicando questa volta per sin(mx<\/i>), si ottiene: <\/font><\/p>\n

    \"\"\/<\/font><\/p>\n

    I coefficienti ak<\/sub><\/i> e bk<\/sub><\/i>
    \nsi chiamano coefficienti di Fourier<\/i> relativi alla funzione
    \nf<\/i>(x<\/i>). Osserviamo che per come sono stati definiti tali
    \ncoefficienti, questi sono apparentemente indipendenti<\/i> (in
    \nrealt\u00e0 dei legami esistono) dalla regolarit\u00e0 della f<\/i>:
    \ndipendono solo dalla sua integrabilit\u00e0<\/i>, cio\u00e8 \u00e8
    \nsufficiente che la funzione sia integrabile<\/i> nell’intervallo [-\"\"\/,\u00a0\"\"\/). Questo permette di definire la
    \nserie di Fourier (almeno come serie formale) per una vasta gamma di funzioni
    \n(non necessariamente continue); altro \u00e8 il problema della convergenza
    \ndelle serie cos\u00ec definite. <\/font><\/p>\n

    \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Mostreremo ora un
    \nteorema di convergenza sotto ipotesi (abbastanza deboli) di
    \nregolarit\u00e0, cio\u00e8 nel caso di funzioni regolari a tratti<\/i>.
    \n<\/font><\/p>\n


    <\/font><\/p>\n

    Definizione 2. <\/b>Sia f<\/i> una funzione
    \nperiodica di periodo 2\"\"\/. Diremo che f<\/i> \u00e8
    \nregolare a tratti<\/i> se:<\/p>\n

    <\/font><\/p>\n

      <\/p>\n
    • \n

      \u00e8 continua in [-\"\"\/,\u00a0\"\"\/) tranne al pi\u00f9 in un numero finito di punti \"\"\/ nei quali esistono finiti i limiti destro e sinistro;
      \ncio\u00e8 per ogni i<\/i>\u00a0=\u00a01,\u00a0…,\u00a0N<\/i>: <\/p>\n

      \"\"\/<\/p>\n<\/li>\n

    • \n

      ha derivata continua eccetto nei punti \"\"\/ ed eventualmente in altri punti \"\"\/
      \n(sempre in numero finito);<\/p>\n<\/li>\n

    • \u00e8 limitata.\n<\/li>\n

      <\/font><\/ul>\n

      Prima di arrivare a dimostrare il risultato principale,
      \nenunceremo alcuni risultati preliminari e cercheremo di fornire un accenno
      \ndella loro dimostrazione. <\/font><\/p>\n


      <\/font><\/p>\n

      Lemma 2. <\/b>Vale la seguente relazione: <\/i><\/font><\/p>\n

      \"\"\/<\/font><\/p>\n

      Dimostrazione. <\/i>Procediamo per induzione. <\/font><\/p>\n

        <\/p>\n
      • \n

        BASE INDUZIONE: per n<\/i>\u00a0=\u00a00
        \nl’identit\u00e0 sopra diventa <\/p>\n

        \"\"\/<\/p>\n

        che \u00e8 chiaramente vera.<\/p>\n<\/li>\n

      • \n

        PASSO INDUTTIVO: supponiamo che l’uguaglianza sia vera
        \nper n<\/i>\u00a0–\u00a01 e dimostriamola per n<\/i>. Si ha: <\/p>\n

        \"\"\/<\/p>\n

        Ricordando che (stiamo
        \nusando le formule di addizione per il seno) <\/p>\n

        \"\"\/<\/p>\n

        e sostituendo nell’espressione ottenuta
        \nsopra, possiamo ottenere la tesi per n<\/i>.<\/p>\n<\/li>\n

        <\/font><\/ul>\n

        Osservazione 2. <\/b>Questa uguaglianza ci permette anche
        \ndi concludere un altro fatto: <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato che (per
        \nk<\/i>\u00a0\"\"\/\u00a00): <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Analogamente si fa vedere che <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n


        <\/font><\/p>\n

        Dimostriamo ora un secondo lemma che riveste una grande
        \nimportanza, soprattutto nella teoria avanzata delle serie di Fourier.<\/p>\n

        <\/font><\/p>\n

        Lemma 3 (Disuguaglianza di Bessel). <\/b>Sia
        \nF<\/i>(t<\/i>) una funzione integrabile e periodica di periodo
        \n<\/i>2\"\"\/ e siano ak<\/sub>, bk<\/sub> i suoi
        \ncoefficienti di Fourier. Si ha: <\/i><\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Dimostrazione. <\/i>Si consideri la somma <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Si ha evidentemente (in quanto l’integrando \u00e8 una
        \nfunzione non negativa) <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Ricordando le espressioni dei coefficienti di Fourier, si
        \nottiene: <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Analogamente, tenendo conto del lemma \"1\": <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Quindi, mettendo assieme tutti i risultati ottenuti: <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        e di conseguenza: <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Passando al limite per n<\/i> che tende all’infinito si
        \nottiene la tesi. <\/font><\/p>\n


        <\/font><\/p>\n

        Osservazione 3. <\/b>Il risultato precedente ci
        \npermette di concludere un’interessante propriet\u00e0 dei coefficienti di
        \nFourier (che \u00e8 quella che useremo effettivamente per dimostrare il
        \nnostro risultato di convergenza). Supponiamo che F<\/i> sia una funzione
        \ndi quadrato integrabile<\/i> (cio\u00e8 \"\"\/); allora segue dalla disuguaglianza del lemma precedente che
        \n<\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        e quindi (per la condizione necessaria di Cauchy per la
        \nconvergenza di una serie) possiamo concludere <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Di conseguenza: <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        per ogni funzione di quadrato integrabile in [-\"\"\/,\u00a0\"\"\/). \u00c8 importante notare che tale
        \nrisultato continua ad essere valido (ma con dimostrazione meno immediata)
        \nanche nel caso in cui la F<\/i> sia soltanto integrabile<\/i> (si veda il
        \nlemma di Riemann-Lebesgue, per la cui dimostrazione rimandiamo ai testi
        \nconsigliati in bibliografia). <\/font><\/p>\n


        <\/font><\/p>\n

        Concludiamo questa (breve) rassegna di risultati
        \ntecnici, enunciando un ulteriore risultato (che altri non \u00e8 che una
        \nsemplice conseguenza del teorema di Rolle). Tale risultato \u00e8 anche
        \nnoto in letteratura con il nome di “Teorema di Cauchy”. <\/font><\/p>\n


        <\/font><\/p>\n

        Lemma 4. <\/b>Se f<\/i>(x<\/i>) e
        \ng<\/i>(x<\/i>) sono continue in <\/i>[a<\/i>,\u00a0b<\/i>] e
        \nderivabili in <\/i>(a<\/i>,\u00a0b<\/i>) e se
        \ng’<\/i>(x<\/i>)\u00a0\"\"\/\u00a00, allora esiste un punto
        \n\"\"\/ tale che <\/i><\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Dimostrazione. <\/i>\u00c8 sufficiente applicare il
        \nteorema di Rolle alla funzione <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n


        <\/font><\/p>\n

        Abbiamo ora tutti gli strumenti per dimostrare il
        \nrisultato che ci interessa. <\/font><\/p>\n


        <\/font><\/p>\n

        Teorema 1. <\/b>Sia f<\/i>(x<\/i>) una funzione
        \nperiodica di periodo <\/i>2\"\"\/ e regolare a tratti; la serie
        \ndi Fourier della f <\/i><\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        converge a f<\/i>(x<\/i>) nei punti in cui la f
        \n\u00e8 continua. Inoltre, in un punto x<\/i>0<\/sub> di
        \ndiscontinuit\u00e0 la serie converge alla media dei limiti sinistro e
        \ndestro, cio\u00e8 <\/i><\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Osservazione 4. <\/b>Nei punti x<\/i> in cui la funzione
        \n\u00e8 continua si ha evidentemente <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Quindi, defininendo la funzione <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        (cio\u00e8 modifichiamo la f<\/i>, cambiando il suo
        \nvalore nei punti di discontinuit\u00e0), possiamo dire che la serie di
        \nFourier converge puntualmente alla funzione cos\u00ec definita. <\/font><\/p>\n

        Dimostrazione. <\/i>Scriviamo come il solito <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Ricordando la definizione dei coefficienti di Fourier,
        \nabbiamo: <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        dove nel penultimo passaggio abbiamo fatto il cambio di
        \nvariabili u<\/i>\u00a0=\u00a0t<\/i>\u00a0–\u00a0x<\/i> e nell’ultimo
        \nabbiamo cambiato il dominio di integrazione, sfruttando la periodicit\u00e0
        \ndella funzione (\u00e8 indifferente su quale intervallo
        \n[a<\/i>,\u00a0a<\/i>\u00a0+\u00a02\"\"\/) si decida di
        \nintegrare). <\/font><\/p>\n

        \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Ricordando ora il lemma
        \n2 si ottiene <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        D’altra parte, tenendo conto dell’osservazione 1, <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        e dunque <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Poniamo ora <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        La funzione G<\/i>(t<\/i>) \u00e8 continua in [-\"\"\/,\u00a0\"\"\/), tranne al pi\u00f9 nei punti
        \nd<\/i>\u00a0–\u00a0x<\/i> (dove d<\/i> \u00e8 un punto di
        \ndiscontinuit\u00e0 della f<\/i>), nei quali ha un salto, e nell’origine.
        \nVediamo cosa succede quando stiamo sufficientemente vicino all’origine:
        \nquesto \u00e8 infatti un punto “pericoloso” in quanto la funzione potrebbe
        \ndiventare illimitata, visto che si annulla il denominatore. Osserviamo che
        \nprendendo |t<\/i>| sufficientemente piccolo, in modo che tra t<\/i> e 0
        \n(o tra 0 e t<\/i>, a seconda del segno di t<\/i>) la funzione G<\/i>
        \nsia regolare (cio\u00e8 non ci cadano punti di discontinuit\u00e0, che
        \nsono in numero finito), e applicando il lemma 4, si trova <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        dove \"\"\/ \u00e8 un numero (che dipende
        \nda t<\/i>) compreso tra t<\/i> e 0 (o equivalentemente tra 0 e t<\/i>).
        \nLa funzione G<\/i> \u00e8 allora limitata in un intorno dello 0 e dunque
        \nin tutto l’intervallo [-\"\"\/,\u00a0\"\"\/) (altrove
        \nnon ci sono problemi di limitatezza). Inoltre, essendo G<\/i>(t<\/i>)
        \ncontinua tranne che in un numero finito di punti, risulter\u00e0
        \nintegrabile. D’altra parte si ha <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Osserviamo che le funzioni <\/font><\/p>\n

        \"\"\/,\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\"\"\/<\/font><\/p>\n

        sono limitate e quindi di quadrato integrabile<\/i>.
        \nQuindi, passando al limite per n<\/i> tendente all’infinito e usando
        \nl’osservazione 2, segue immediatamente la tesi: <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        <\/p>\n

        <\/font><\/p>\n

        A mo’ di conclusione, voglio fornire alcuni spunti
        \nper (eventuali) successive riflessioni o approfondimenti (che per motivi di
        \nspazio e tempo non possono essere qui trattati in maniera dettagliata, ma di
        \ncui la bibliografia fornita rappresenta un’ottimo riferimento). <\/font><\/p>\n

        \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Il risultato dimostrato
        \nci ha permesso di sviluppare una funzione f<\/i> (periodica) come somma di
        \nfunzioni armoniche principali<\/i>, che rappresentano una base<\/i> per
        \nil nostro spazio (o sistema completo<\/i>). \u00c8 lampante l’analogia
        \ncon quanto si fa abitualmente negli spazi vettoriali di dimensione finita:
        \ncercare di rappresentare un vettore in termini di un sistema di riferimento
        \nscelto come base, trovandone le coordinate<\/i> rispetto a tale sistema.
        \nNel nostro caso, lo spazio vettoriale delle funzioni di quadrato integrabile
        \n(che si indica a volte con L2<\/sup>([-\"\"\/,\u00a0\"\"\/)), e che contiene chiaramente le funzioni regolari a tratti)
        \n\u00e8 uno spazio vettoriale di dimensione infinita (numerabile), quindi
        \npotremmo pensare alla serie di Fourier come allo sviluppo della nostra
        \nfunzione f<\/i> rispetto al sistema <\/font><\/p>\n

        \"\"\/<\/font><\/p>\n

        Di conseguenza, i coefficienti di Fourier possono essere
        \nvisti come le coordinate<\/i> della f<\/i> rispetto a tale sistema.
        \n<\/font><\/p>\n

        \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Il sistema \"\"\/ \u00e8 chiamato sistema trigonometrico
        \nprincipale<\/i>. Osserviamo che tale sistema \u00e8 ortogonale<\/i>
        \nnell’intervallo [-\"\"\/,\u00a0\"\"\/) nel seguente
        \nsenso: in tale intervallo l’integrale del prodotto di due qualsiasi
        \ndifferenti funzioni di \"\"\/ \u00e8 zero,
        \nmentre l’integrale del quadrato di ciascuna funzione \u00e8 diverso da zero
        \n(vedi lemma 1); si parla di ortogonalit\u00e0<\/i> in quanto tale
        \nintegrale pu\u00f2 essere inteso come un prodotto scalare<\/i> in
        \nL2<\/sup>([-\"\"\/,\u00a0\"\"\/)) e quindi si
        \nestende la nozione di ortogonalit\u00e0 data negli spazi di dimensione
        \nfinita. <\/font><\/p>\n

        \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Naturalmente, \"\"\/ non \u00e8 l’unico sistema ortogonale e
        \ncompleto che si pu\u00f2 definire in tale spazio. Quindi, lo sviluppo di
        \nFourier non \u00e8 che un caso particolare dello sviluppo della f<\/i>
        \nrispetto ad un qualsiasi sistema ortogonale di funzioni. I risultati
        \ndimostrati possono essere quindi riesaminati in un contesto pi\u00f9 ampio
        \ne interessante, che permette di comprendere meglio la “filosofia” che sta
        \ndietro la teoria classica di Fourier. <\/font><\/p>\n

        <\/p>\n

        <\/font><\/p>\n

        Bibliografia:<\/b><\/font><\/p>\n

        [1] E.\u00a0Giusti, Analisi matematica 2<\/i>,
        \nBollati-Boringhieri (1983)<\/p>\n

        <\/font><\/p>\n

        [2] W.\u00a0Rudin, Analisi reale e complessa<\/i>,
        \nBollati-Boringhieri (1974)<\/p>\n

        <\/font><\/p>\n

        [3] A.\u00a0N.\u00a0Kolmogorov, S.\u00a0V.\u00a0Fomin,
        \nElementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale<\/i>, Edizioni
        \nMir (1980)<\/p>\n

        <\/p>\n

        Impaginato da Gino Favero<\/p>\n

        <\/font><\/p>\n

        <\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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