{"id":1277,"date":"2006-06-13T00:00:00","date_gmt":"2006-06-12T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"1277","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/1277\/","title":{"rendered":"Cosa sono le sommatorie? E&#8217; possibile calcolare una sommatoria che da uno ad infinito?"},"content":{"rendered":"<p>La definizione formale di somma estesa ad un numero infinito di termini pu\u00f2 essere data in termini di limite; infatti data una successione reale x<sub>n<\/sub>, \u00e8 possibile senza alcun problema definire la somma x<sub>1<\/sub>+&#8230;+x<sub>k<\/sub>, denotata anche con <\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">S<sub>k<\/sub>=&#8721;<sub>n=1,&#8230;,k <\/sub>x<sub>n<\/sub><\/div>\n<p>Si \u00e8 ottenuta quindi una nuova successione S<sub>k<\/sub> che potrebbe ammettere limite per k -&gt; +&#8734;, denotato con <\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">S=&#8721;<sub>n<\/sub> x<sub>n   <\/sub><\/div>\n<p>Nel caso in cui questo limite risulti finito, si dice che la serie degli x<sub>n<\/sub> risulta convergente.<\/p>\n<p>Ci sono vari metodi per studiare il comportamento delle serie, e spesso uno non riesce a dire di pi\u00f9 che il comportamento della serie stessa; ovvero \u00e8 molto difficile, in generale, calcolare il valore esatto di una serie convergente.<\/p>\n<p>In certi casi notevoli questa operazione \u00e8 invece possibile; per esempio il caso delle serie geometriche, date dalla successione x<sub>n<\/sub>=q<sup>n<\/sup>, per un certo q assegnato numero reale, con n naturale (0 compreso). In tal caso si ha<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">(1+q+q<sup>2<\/sup>+&#8230;+q<sup>k<\/sup>)(1-q)=1+q+q<sup>2<\/sup>+&#8230;+q<sup>k<\/sup>-q-q<sup>2<\/sup>+&#8230;+q<sup>k+1<\/sup> =1-q<sup>k+1<\/sup>,<\/div>\n<p>da cui<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">S<sub>k<\/sub>=(1-q<sup>k+1<\/sup>) \/ (1-q);<\/div>\n<p>passiamo ora al limite per k -&gt; +&#8734;: q<sup>k+1<\/sup> -&gt; 0 se |q|&lt;1, mentre invece non ammette limite se q=1 o q=-1, o diverge negli altri casi. Quindi la serie geometrica di termine q<sup>n<\/sup> converge se e solo se |q|&lt;1, ed in tal caso la somma vale<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">S=1 \/ (1-q).<\/div>\n<p>Ci sono altre serie notevoli per cui \u00e8 possibile il calcolo della somma, per esempio quando si intravede nella serie stessa lo sviluppo in serie di una funzione nota. A titolo di esempio, data la successione x<sub>n<\/sub>=1\/ n!, la serie<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">&#8721;<sub>n <\/sub>x<sub>n  <\/sub><\/div>\n<p>converge, e, ricordando che <\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">e<sup>x<\/sup>=&#8721;<sub>n <\/sub>x<sup>n<\/sup>\/ n!,<\/div>\n<p>si trova <\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">1=e<sup>0<\/sup>=&#8721;<sub>n <\/sub>x<sub>n<\/sub> . <\/div>\n<p><sub><\/p>\n<p><\/sub><sub><br \/><\/sub><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-1277","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1277","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1277"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1277\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1277"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1277"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1277"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}