{"id":6782,"date":"2017-11-06T12:23:23","date_gmt":"2017-11-06T11:23:23","guid":{"rendered":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/?page_id=6782"},"modified":"2024-07-18T12:23:47","modified_gmt":"2024-07-18T10:23:47","slug":"la-curvatura-dalla-geometria-alla-cosmologia","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/stellenovae\/la-curvatura-dalla-geometria-alla-cosmologia\/","title":{"rendered":"La curvatura: dalla Geometria alla Cosmologia"},"content":{"rendered":"

\u00a0a cura di Paolo Sirtoli<\/a><\/h4>\n

english version <\/a><\/a><\/p>\n

<\/span><\/u><\/h3>\n

Appunti e (soprattutto) complementi delle lezioni tenute presso il
\nLiceo Scientifico Statale “L. Mascheroni” di Bergamo<\/h4>\n
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Versione 1.2
\nultima revisione: 29 giugno 2008
\n<\/span><\/p>\n<\/div>\n

\n

<\/h2>\n

1-D: la curvatura di una linea<\/h3>\n

Se pensiamo ad una generica linea immersa in un piano, la curvatura \u00e8 intuitivamente la misura di quanto essa devia rispetto alla tangente. Inoltre ci accorgiamo immediatamente che si tratta di una propriet\u00e0 locale <\/b>e non globale<\/b>. In altre parole, ha senso definire la curvatura in un punto, ma non significa nulla parlare di “curvatura di una linea”.
\nLa curvatura in un punto P si calcola come<\/p>\n

(1)<\/p>\n

E’ facile verificare che la retta, in base a questa definizione, ha curvatura nulla. Pensiamo ora alla linea curva pi\u00f9 semplice: la circonferenza. La sua curvatura \u00e8 costante per tutti i punti e vale k<\/i>=1\/R. Come era logico aspettarsi, quanto maggiore \u00e8 il raggio, tanto minore sar\u00e0 la curvatura della circonferenza; inoltre se consideriamo la retta come una circonferenza di raggio infinito, ritroviamo consistentemente che la sua curvatura \u00e8 zero.<\/p>\n

Il cerchio osculatore<\/h3>\n

Per misurare la curvatura k<\/i> dovremmo procedere con un passaggio al limite, che \u00e8 un’operazione non sempre immediata da eseguire. Fortunatamente esiste una formula esplicita per determinare la curvatura; a tale scopo consideriamo due punti A e B che individuano un tratto di linea di lunghezza a cavallo del punto P. Se costruiamo la circonferenza che passa per questi tre punti, essa approssimer\u00e0 sempre meglio la linea man mano che tende a zero. Dunque se conosciamo il raggio R di questa circonferenza, possiamo riutilizzare la formula k<\/i>=1\/R che avevamo visto prima!
\nTrovare quella circonferenza \u00e8 facile perch\u00e9 non \u00e8 altro che il cerchio osculatore<\/b> (nome dovuto a Leibniz, lo definiva circulum osculans, <\/i> vale a dire la circonferenza che “bacia” la linea in quel punto). La formula per trovare il raggio del cerchio osculatore prevede il calcolo della derivata prima y’ e seconda y” nel punto considerato, ed \u00e8 la seguente:<\/p>\n

(2)<\/p>\n

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\n

L’animazione mostra la determinazione del cerchio osculatore nel punto centrale come limite delle circonferenze che passano per i tre punti, con i due punti estremi tendenti a quello centrale.<\/p>\n

Fonte dell’illustrazione: Yoshihiko Tazawa<\/em><\/p>\n

\n<\/blockquote>\n<\/blockquote>\n

E’ vero che il raggio \u00e8 una grandezza geometrica e dunque positiva, ma se non ci preoccupiamo di questo aspetto, il segno di r<\/i> indica semplicemente il verso della concavit\u00e0 della curva rispetto al nostro sistema di assi cartesiani.
\nEcco alcuni esempi significativi, che lo studente potr\u00e0 agevolmente verificare con un breve studio di funzione.
\nA sinistra in blu il grafico dell’equazione y=x\u00b2, a destra il grafico dell’equazione y=1\/x. In rosso sono tracciati i grafici della curvatura. Si noti che il segno della curvatura nel caso dell’iperbole equilatera rispecchia il verso della concavit\u00e0.<\/p>\n

<\/p>\n

<\/h5>\n
\n
\n

L’animazione mostra come varia la curvatura della linea, rappresentata dal cerchio osculatore in blu.<\/p>\n<\/blockquote>\n<\/blockquote>\n

Fonte dell’illustrazione: Yoshihiko Tazawa<\/em><\/p>\n

2-D: la curvatura di una superficie<\/h3>\n

Procediamo ora con lo studio della curvatura di una superficie regolare. La curvatura pi\u00f9 utile in relativit\u00e0 e’ detta anche gaussiana, in onore del grande matematico Carl Friedrich Gauss, che ne diede la descrizione.
\nConsideriamo la campana schiacciata disegnata a fianco: per trovare la curvatura di questa superficie nel punto all’apice, dobbiamo individuare la retta normale alla superficie in quel punto. Poi andiamo a considerare tutti i piani incernierati su tale retta: essi sezioneranno la superficie dando luogo a linee diverse, ciascuna caratterizzata da un cerchio osculatore in quel punto, e dunque da una curvatura. Ebbene, un teorema dovuto ad Eulero afferma che i piani che individuano la massima curvatura e quella minima (dette curvature principali) sono perpendicolari e Gauss defin\u00ec la curvatura (gaussiana) della superficie come il prodotto delle curvature principali<\/b>. In formula:<\/p>\n

(3)<\/p>\n

Consideriamo la sfera di raggio R: in tutti i suoi punti i piani che vanno a sezionarla descrivono sempre la stessa circonferenza, per cui la curvatura sar\u00e0 in tutti i punti 1\/R\u00b2.<\/p>\n

Fonte dell’illustrazione: “Le Scienze” n\u00b0282 – febbraio 1992<\/em><\/p>\n

I tre tipi di curvatura<\/h3>\n

Prestiamo ora attenzione al fatto che la curvatura ha un segno, dunque il prodotto (3) delle due curvature principali potr\u00e0 essere positivo o negativo a seconda che i due cerchi osculatori giacciano dalla stessa parte rispetto alla superficie, oppure da parti opposte.<\/p>\n

Domanda: com’\u00e8 la curvatura del cilindro? e quella del cono?<\/span>
\nContrariamente all’intuizione, queste superfici non sono affatto curve! Infatti in ogni punto possiamo individuare una sezione di curvatura minima (zero) che corrisponde ad una retta, pertanto la curvatura gaussiana, essendo il prodotto delle curvature principali, sar\u00e0 nulla.<\/p><\/blockquote>\n

Gauss scopr\u00ec che le uniche superfici dotate di geometria intrinseca, vale a dire che le figure quando si spostano su di esse non subiscono deformazioni, sono soltanto tre: il piano (k<\/i>=0) la sfera (k<\/i>=1) e la pseudosfera(1)<\/a><\/sup> (k<\/i>=-1). In pratica gli “abitanti” di queste superfici possono edificare delle geometrie per descrivere il loro mondo. Invece gli abitanti di altri mondi a curvatura non costante vedrebbero effetti stranissimi, che non consentirebbero loro di edificare una geometria: ad esempio le figure, spostate in certe zone, si dilaterebbero, in altre zone si contrarrebbero!
\nNel 1854 Riemann ha determinato il tipo di geometria in funzione della curvatura: \u00e8 euclidea se la curvatura \u00e8 nulla, sferica se la curvatura \u00e8 positiva, iperbolica se la curvatura \u00e8 negativa.<\/p>\n

Domanda: le superfici con curvatura \u00b12 o \u00b13, a differenza di quelle con curvatura \u00b11, non sono dotate di geometria intrinseca?
\n<\/span>Si lo sono, la vera distinzione non sta nel valore assoluto della curvatura, ma nel segno. L’importante \u00e8 che la curvatura sia la stessa in ogni punto.<\/p>\n

Domanda: il fatto di avere curvatura costante c’entra qualcosa con l’omogeneit\u00e0 dello spazio? e con l’isotropia?<\/span>
\nSi. Come gi\u00e0 detto, se la curvatura non fosse uguale per tutti i punti, le figure geometriche subirebbero deformazioni in seguito a semplici traslazioni, e dunque i punti dello spazio non sarebbero equivalenti tra loro, cio\u00e8 lo spazio non sarebbe omogeneo. L’isotropia invece discende dal fatto che le curvature principali sono uguali in valore assoluto. Dunque la condizione di curvatura costante non implica affatto l’isotropia: la porzione di pseudosfera visibile a lato ha in ogni punto curvatura costante e pari a -1, ma le curvature principali variano, mantenendo costante il loro prodotto. Questa pseudosfera \u00e8 un esempio di spazio omogeneo ma non isotropo.
\nDal punto di vista fisico, in astronomia il principio cosmologico ha come felice conseguenza il fatto che lo spazio sia omogeneo ed isotropo. Infatti ci\u00f2 conduce, tra le innumerevoli possibilit\u00e0, a considerare solo tre geometrie globali dell’Universo: quella piatta, quella sferica e quella iperbolica, naturalmente tutte e tre a curvatura costante.<\/p><\/blockquote>\n

Fonte della prima illustrazione: “Gravit\u00e0 e Spazio-tempo” di J. Wheeler, Zanichelli<\/em>
\nFonte della seconda illustrazione: “La matematica del Novecento” di P. Odifreddi, Einaudi<\/em><\/p>\n

<\/h2>\n

La geometria sferica<\/h3>\n

Sulle superfici con curvatura positiva e costante viene definita una geometria sferica. Ecco le principali propriet\u00e0:
\n– per un punto esterno ad una retta data non passa alcuna retta parallela ad essa
\n– la somma degli angoli interni di un triangolo \u00e8 maggiore di p<\/span> radianti
\n– il rapporto tra circonferenza e raggio \u00e8 minore di 2p
\n<\/span>– l’estensione della superficie \u00e8 finita<\/p>\n

Domanda: la Terra ha curvatura positiva, dunque sulla sua superficie \u00e8 definita una geometria sferica. Dato che i paralleli della superficie terrestre non si incontrano mai, non c’\u00e8 contraddizione con una delle propriet\u00e0 enunciate prima?
\n<\/span>No perch\u00e9 i paralleli non sono rette! Le rette sono definite nelle variet\u00e0 riemanniane come le linee che rendono minima la distanza tra due punti. Nella geometria sferica le rette sono archi di cerchio massimo, vale a dire archi del cerchio che passa per i due punti considerati, e il cui centro coincide con il centro della sfera.<\/p><\/blockquote>\n

Vedi anche il sito “La geometria sulla sfera<\/a>” di P. Lazzarini.<\/p>\n

La geometria iperbolica<\/h3>\n

Sulle superfici a curvatura negativa e costante viene definita una geometria iperbolica. Ecco le principali propriet\u00e0:
\n– per un punto esterno ad una retta data si possono tracciare infinite rette parallele ad essa
\n– la somma degli angoli interni di un triangolo \u00e8 minore di p<\/span> radianti
\n– il rapporto tra circonferenza e raggio \u00e8 maggiore di 2p
\n<\/span>– l’estensione della superficie \u00e8 infinita
\nSembrerebbe impossibile rappresentare la pseudosfera in una porzione di piano, a causa della finitezza di quest’ultima regione. Invece esistono diverse rappresentazioni, la pi\u00f9 interessante \u00e8 quella di Poincar\u00e9 perch\u00e9 \u00e8 conforme, cio\u00e8 conserva gli angoli e la forma delle figure geometriche. Il celebre incisore Maurits Cornelis Escher realizz\u00f2 quattro opere nelle quali fece uso della rappresentazione di Poincar\u00e9. Qui sopra vediamo limite del cerchio IV<\/i>, meglio nota come “angeli e diavoli”. Nella geometria iperbolica tutte le figure hanno pari estensione, ma nella proiezione sul piano euclideo esse si ammassano verso il limite del cerchio.
\nPer studiare le propriet\u00e0 della geometria iperbolica il dipartimento di Matematica della Rice University ha messo a punto un applet chiamato NonEuclid<\/a>, con il quale si possono verificare le propriet\u00e0 enunciate sopra.<\/p>\n

Fonte dell’illustrazione: “Il grande, il piccolo e la mente umana” di R. Penrose, Raffaello Cortina editore<\/em><\/p>\n

Vedi anche il sito “Modelli per la geometria non euclidea<\/a>” di P. Lazzarini. <\/span><\/h5>\n

Il maggiolone VW<\/h3>\n

A titolo di esempio curioso mostriamo una elaborazione grafica della carrozzeria del “mitico” maggiolone Volkswagen, i cui colori indicano la curvatura della superficie. Si noti che dove la curvatura \u00e8 negativa, i cerchi osculatori principali giacciono da parti opposte rispetto alla superficie. Si noti anche che il tetto, intuitivamente curvo, in realt\u00e0 \u00e8 solo piegato, e la sua geometria rimane piatta.
\nPer completezza diciamo che i punti in cui la curvatura \u00e8 positiva si dicono ellittici<\/i>, dove la curvatura \u00e8 negativa iperbolici<\/i>, se la curvatura totale \u00e8 nulla ma una delle curvature principali \u00e8 diversa da zero, si dicono parabolici<\/i>, se invece entrambe le curvature sono zero, planari<\/i>.<\/p>\n

Fonte dell’illustrazione: sito web … non me lo ricordo !!<\/em><\/p>\n

Il theorema egregium<\/i> di Gauss<\/h3>\n

Finora abbiamo considerato linee e superfici immerse rispettivamente nel piano e nello spazio. Dunque per valutarne la curvatura siamo ricorsi ad uno spazio con una dimensione in pi\u00f9. Gauss scopr\u00ec che la curvatura \u00e8 una propriet\u00e0 intrinseca<\/b>, cio\u00e8 pu\u00f2 essere misurata “da dentro”, senza dover pensare a dimensioni superiori. Il grande matematico era proverbialmente molto esigente: ad esempio scopr\u00ec la geometria iperbolica, ma non pubblic\u00f2 nulla per non dover contrastare le obiezioni dei kantiani(2)<\/a><\/sup>. Stavolta per\u00f2 il risultato era di tale importanza che egli stesso lo chiam\u00f2 theorema egregium<\/i>.
\nVediamo quattro modi per misurare “internamente” la curvatura di una superficie:
\n1 – l’aiuola<\/b>
\nGli abitanti di una sfera potrebbero utilizzare una corda per tracciare una circonferenza sul terreno (come fanno i giardinieri), misurare la lunghezza di tale circonferenza e valutarla in rapporto a 2p <\/span>volte il raggio. Ad esempio una persona al polo nord tiene un capo di una corda lunga 10.000 km e altre persone tracciano sulla Terra con l’altra estremit\u00e0 una circonferenza, che approssimativamente \u00e8 l’equatore terrestre. Il punto della questione \u00e8 il seguente: gli uomini si aspettano di misurare una circonferenza di 2p <\/span> 10.000 km = 62.800 km, ma in realt\u00e0 la circonferenza misura solo 40.000 km! Da ci\u00f2 si deduce che la superficie terrestre \u00e8 curva positivamente.
\n2 – il quadrato<\/strong>
\nUn abitante di una sfera parte da un punto (A, nella figura accanto) e procede in linea retta per una quantit\u00e0 x. Poi svolta di 90\u00b0 a destra, si sposta ancora in linea retta di x metri e poi ripete in modo da tracciare un quadrato. Se il punto di arrivo non coincide col punto di partenza, cio\u00e8 se il quadrato non si chiude, allora \u00e8 un chiaro indizio che quella superficie \u00e8 curva.
\n3 – il trasporto parallelo<\/b>
\nUn omino al polo nord ha l’incarico di marciare in direzione dell’equatore con un vincolo strettissimo: tenere un giavellotto sempre nella stessa direzione rispetto al suo percorso. Una volta all’equatore gli viene chiesto di spostarsi lateralmente lungo l’equatore mantenendo fissa la direzione del giavellotto. Infine gli viene chiesto di tornare al polo nord, con il solito vincolo. Qui, con somma sorpresa, l’omino scopre che la direzione del giavellotto all’arrivo non coincide affatto con quella di partenza, nonostante per tutto il cammino egli non lo abbia mai ruotato!
\n<\/a>4 – le montagne di Gauss<\/b>
\nTre omini sono sulla vetta di tre montagne molto lontane, ma reciprocamente visibili, e ciascuno punta un goniometro per misurare l’ampiezza dell’arco formato dalle altre due vette. Chiaramente ci si aspetta che la somma dei tre angoli sia pari a p<\/span>, in realt\u00e0 \u00e8 maggiore!
\nStoricamente si attribuisce a Gauss l’intenzione di misurare tale eccesso nei calcoli relativi alla rete geodetica della regione di Gottinga, ma ci\u00f2 \u00e8 quasi certamente falso (si veda la biografia di Gauss<\/a> ad opera di W.K. Buhler, Springer-Verlag, 1981). Gauss infatti era troppo accorto per non rendersi conto che gli errori sperimentali avrebbero mascherato l’eccesso effettivo.<\/p>\n

Fonte della prima illustrazione: “Gravit\u00e0 e Spazio-tempo” di J. Wheeler, Zanichelli<\/em>
\nFonte della seconda illustrazione: “The Feynman lectures on physics” di Feynman, Leighton e Sands, Addison-Wesley<\/em><\/p>\n

<\/h2>\n

3-D: la curvatura dello spazio<\/h3>\n

Analogamente a quanto si \u00e8 fatto per misurare la curvatura dello spazio bidimensionale, \u00e8 possibile procedere alla misura della curvatura dello spazio tridimensionale. Si tratta cio\u00e8 di disegnare figure geometriche nello spazio e misurare gli scarti della loro geometria rispetto a quanto previsto dalla geometria di Euclide.<\/p>\n

La somma degli angoli interni di un triangolo, la chiusura di un percorso quadrato, la misura del raggio di una sfera sono tutte misure utili a caratterizzare lo spazio tridimensionale. Concentriamoci sull’ultima.
\nImmaginiamo di tracciare una enorme sfera. Se potessimo misurarne accuratamente la superficie ed il raggio, potremmo valutare la curvatura dello spazio. Infatti ci si aspetteremmo una superficie S=4p<\/span>R\u00b2. Ogni deviazione sar\u00e0 da imputare alla curvatura dello spazio descritto dalla sfera.
\nC’\u00e8 un problema: questa misura non caratterizza completamente<\/em> la curvatura. Si tratta infatti di un valore medio. La specifica completa della curvatura dello spazio richiede ben sei numeri, che vanno a definire il tensore di Riemann.<\/p>\n

Lo spazio \u00e8<\/em> curvo<\/h3>\n

Prendiamo il nostro pianeta, la Terra. Esso ha forma approssimativamente sferica. Se potessimo misurarne con precisione arbitraria la superficie e se potessimo anche misurarne direttamente il raggio, troveremmo una strana discrepanza. Il raggio risulta pi\u00f9 corto di 1,5 millimetri rispetto a quello ricavato dalla formula S=4p<\/span>R\u00b2. Inutile rifare le misure in cerca di un errore: \u00e8 proprio cos\u00ec.
\nLo spazio racchiuso dalla Terra \u00e8 curvo. Se facessimo lo stesso esperimento con il Sole, molto pi\u00f9 grande e massiccio, otterremmo un ammanco di ben 500 metri!<\/p>\n

Pensiamo ora ad un altro esperimento. Stavolta consideriamo una sfera che stia al di fuori della Terra, ma nelle sue vicinanze. Per meglio figurarcela, disponiamo una miriade di masse di prova a disegnare una sfera perfetta. Rimuoviamo i vincoli che tenevano le massettine al loro posto e stiamo a vedere quello che accade.
\nIn modo quasi impercettibile, la sfera cambia forma: viene schiacciata lateralmente e viene stirata lungo la direzione del centro della Terra. Il suo volume non cambia, ma la sua forma si.<\/p>\n

Viene spontaneo chiedersi se quindi lo spazio attorno ad un pianeta sia curvato positivamente o negativamente. La nozione di spazio a curvatura positiva, negativa o nulla, funziona solo per spazi geometrici che si chiamano “omogenei” in virt\u00f9 del fatto che le propriet\u00e0 metriche sono invarianti al variare del posto e ruotando attorno ad ogni posto. La presenza di una sorgente di curvatura (di gravit\u00e0) rompe l’omogeneit\u00e0 dello spazio e non si ricade pi\u00f9 in nella classe degli spazi tridimensionali omogenei. Quindi si ha sempre uno spazio NON euclideo, ma non \u00e8 sufficiente la classificazione degli spazi omogenei per catalogarlo, ci vuole una classificazione pi\u00f9 fine dovuta alla geometria differenziale riemanniana.<\/p>\n

Fonte delle illustrazioni: “Gravit\u00e0 e Spazio-tempo” di J. Wheeler, Zanichelli<\/em><\/p>\n

L’Universo \u00e8 curvo? – 1<\/h3>\n

Il primo studioso a proporre un esperimento per determinare la geometria dello spazio cosmico fu il matematico Lobachevski. L’idea si basava su una caratteristica dello spazio iperbolico (l’unica geometria non-euclidea che conosceva). In un Universo di siffatta curvatura, la parallasse delle stelle non pu\u00f2 scendere sotto un certo limite. Persino la stella pi\u00f9 remota deve mostrare una parallasse, correlata con la lunghezza caratteristica k<\/em>.
\nLa circonferenza di un cerchio di raggio r<\/em> in uno spazio iperbolico di lunghezza caratteristica k<\/em> \u00e8 data da<\/p>\n

C = p<\/span> k (er\/k<\/span><\/sup> –<\/span> e-r\/k<\/span><\/sup>) = 2p<\/span> k sinh(r\/k)<\/p>\n

Dato che sinh(x<\/em>) = x<\/em> + x<\/em>3<\/span><\/sup>\/3! +…, segue che C approssima 2p<\/span> r<\/em> per k<\/em> che va all’infinito.<\/p>\n

Il fatto che la parallasse di Sirio fosse di 1″,24 implicava che la lunghezza caratteristica fosse almeno 166.000 unit\u00e0 astronomiche. Ovvero 2,6 anni-luce. Chiaramente ulteriori osservazioni di stelle pi\u00f9 lontane, quindi con parallassi molto inferiori, forniscono valori di k<\/em> molto pi\u00f9 grandi.<\/p>\n

Un altro tentativo di misurare direttamente la geometria dell’Universo fu effettuato negli anni trenta del secolo scorso da Edwin Hubble, contando le galassie contenute in volumi crescenti di spazio. In analogia con il caso bidimensionale, l’intenzione era quella di misurare il rapporto tra V e 4\/3p<\/span>R\u00b3: se fosse stato minore di 1 ci\u00f2 avrebbe dimostrato che l’Universo ha curvatura positiva, in caso contrario, negativa. L’assunzione fondamentale era che le galassie fossero distribuite uniformemente, dunque il loro conteggio costituiva una misura del volume V, mentre il raggio R veniva determinato dalla misura del redshift delle galassie. Hubble arriv\u00f2 alla conclusione, che egli stesso riteneva pesantemente afflitta da errori sistematici, che il volume aveva un incremento minore di quanto previsto dalla geometria euclidea, e il raggio di curvatura dell’Universo poteva essere di circa 100 milioni di anni-luce. Questo metodo \u00e8 ormai abbandonato per vari motivi: principalmente perch\u00e9 le galassie non sono affatto distribuite uniformemente.<\/p>\n

Il modo oggi ritenuto migliore per valutare la curvatura dell’Universo si basa sulla relativit\u00e0 generale: lo vedremo pi\u00f9 avanti.<\/p>\n

4-D*: lo spazio-tempo di Minkowski<\/h3>\n

Dopo la storica pubblicazione di Einstein del 1905 nella quale egli mostr\u00f2 che la simultaneit\u00e0, lo spazio ed il tempo non dovevano pi\u00f9 essere considerati assoluti, il matematico Hermann Minkowski nel 1908 raccolse queste indicazioni e costru\u00ec il palcoscenico matematico adeguato per la teoria della relativit\u00e0. Lo spazio ed il tempo non costituivano pi\u00f9 entit\u00e0 indipendenti, ma venivano fuse in un unica entit\u00e0 dotata di propriet\u00e0 stupefacenti.
\nA dispetto del nome, per la teoria della relativit\u00e0 esistono due quantit\u00e0 assolute:
\n– per ogni sistema di riferimento la velocit\u00e0 della luce \u00e8 costante ed il suo valore \u00e8 299.792,458 km\/s
\n– per ogni sistema di riferimento la separazione spazio-temporale tra due eventi (chiamata metrica<\/i>) \u00e8 costante e si calcola come ds\u00b2 = dx\u00b2 + dy\u00b2 + dz\u00b2 – d(ct)\u00b2 (3)<\/a><\/sup>.
\nE’ dunque una sciocchezza parafrasare la teoria della relativit\u00e0 con l’espressione “tutto \u00e8 relativo”!
\nDa questi due principi deriva che due osservatori in moto relativo misurano diversamente le lunghezze e le durate, in particolare essi constatano una reciproca contrazione delle lunghezze nella direzione del moto e una reciproca dilatazione dei tempi.<\/p>\n

Domanda: il segno meno nella metrica implica che lo spazio-tempo ha curvatura negativa? cio\u00e8 ha una geometria iperbolica?<\/span>
\nNo, se la segnatura fosse (+ + + +) ci\u00f2 implicherebbe solamente che lo spazio-tempo sarebbe una variet\u00e0 riemanniana. La questione della curvatura rimane aperta: potrebbe essere positiva, nulla o negativa. Invece la segnatura (+ – – -), chiamata anche iperbolica normale, ne fa una variet\u00e0 semi-riemanniana, cio\u00e8 il ds\u00b2 pu\u00f2 anche essere negativo. Ci\u00f2 non implica che lo spazio-tempo sia curvo negativamente e dunque iperbolico, rimane comunque piatto.
\nEcco alcune propriet\u00e0 dello spazio-tempo inteso come variet\u00e0 semi-riemanniana:
\n– non esiste una lunghezza minima per una linea che unisce due eventi, esiste invece una lunghezza massima, che corrisponde al tempo proprio massimo. Il succo della legge d’inerzia nel quadro della relativit\u00e0 generale \u00e8 che i corpi si muovono in modo da massimizzare il tempo proprio. Questo \u00e8 a volte chiamato principio di massimo invecchiamento<\/i>.<\/p>\n

Domanda: se lo spazio-tempo causalmente connesso \u00e8 iperbolico, c’\u00e8 un qualche legame con l’incisione di Escher vista prima?<\/span>
\nSi, questa relazione \u00e8 illustrata nella figura a fianco: il cono \u00e8 lo spazio-tempo di Minkowski, la cui equazione \u00e8 (ct)\u00b2-x\u00b2-y\u00b2=0. Le superfici a scodella sono le due falde di un paraboloide iperbolico, che \u00e8 l’analogo della sfera nella geometria iperbolica. Cos\u00ec come la superficie della sfera \u00e8 il “mondo” per la geometria sferica, cos\u00ec il paraboloide iperbolico \u00e8 il “mondo” per la geometria iperbolica, e si chiama spazio di Lobacevskij. Esso ha distanza unitaria dall’origine e pertanto la sua equazione \u00e8 (ct)\u00b2-x\u00b2-y\u00b2=1. Ed ecco la connessione: la proiezione stereografica dal punto (-1;0;0) trasforma lo spazio di Lobacevskij nel disco di Poincar\u00e8, che giace nel piano ct=0.<\/p>\n

Fonte dell’illustrazione: “Il grande, il piccolo e la mente umana” di R. Penrose, Raffaello Cortina editore<\/h5>\n

Domanda: si \u00e8 detto che il paraboloide iperbolico qui sopra ha una geometria iperbolica, per\u00f2 la superficie appare curvata positivamente: com’\u00e8 possibile?<\/span>
\nNon bisogna comunque confondere la curvatura di una superficie come superficie dello spazio euclideo, e il suo essere modello del piano iperbolico con una metrica non euclidea. Ad esempio, i modelli di Klein-Beltrami e i Poincar\u00e9 hanno curvatura nulla se pensati come superfici euclidee (sono parti del piano euclideo), ma curvatura costante negativa se pensati come superfici iperboliche (con una misura diversa di distanza o angoli). Nel caso del paraboloide, appare s\u00ec curvato positivamente se inteso come superficie immersa nello spazio euclideo, ma la metrica di Minkowski definita su di esso fa s\u00ec che la sua geometria sia iperbolica.<\/p>\n

Domanda: non potremmo considerare il tempo come coordinata immaginaria? in tal caso t\u00b2 varrebbe -|t\u00b2| e dunque la segnatura tornerebbe ad essere la “solita” (+ + + +)<\/span>
\nEffettivamente alcuni calcoli nella teoria quantistica dei campi prevedono la continuazione analitica del tempo da coordinata reale ad immaginaria (rotazione di Wick), e lo spazio-tempo diventa riemanniano. Ad esempio la teoria di Hartle e Hawking sull’origine non singolare dell’Universo \u00e8 basata sull’uso del tempo immaginario perch\u00e9 quando le dimensioni dell’Universo sono inferiori a 10-43<\/span><\/sup>m si suppone valida la gravit\u00e0 quantistica. Tuttavia ci sono alcune grosse difficolt\u00e0: \u00e8 impossibile mettere in relazione il tempo come coordinata immaginaria con la geometria differenziale della relativit\u00e0 generale, inoltre la rotazione di Wick si applica solamente in assenza di gravit\u00e0 (cosa essa significhi in uno spazio-tempo genericamente curvo \u00e8 ancora in fase di studio). A dire il vero Hawking ha dimostrato che i buchi neri hanno una temperatura equivalente, e dunque emettono radiazione, proprio usando la rotazione di Wick nell’intenso campo gravitazionale attorno ai buchi neri.
\nInfine, si noti che solo la metrica iperbolica normale (+ – – -) consente di distinguere(4)<\/a><\/sup>, attraverso il segno del ds\u00b2 eventi in relazione causale da eventi causalmente disgiunti.<\/p><\/blockquote>\n

Il principio di equivalenza<\/h3>\n

Esponiamo ora un altro pilastro della relativit\u00e0, apparentemente scorrelato col concetto di curvatura. Due astronauti in una capsula da cui non si pu\u00f2 vedere l’esterno svolgono alcuni esperimenti: uno lascia cadere un grave, l’altro si pesa su una bilancia.
\nIl punto cruciale \u00e8 che non esistono esperimenti che possano distinguere tra due situazioni: la capsula in moto uniformemente accelerato e la capsula ferma in un campo gravitazionale esterno. Se non esistono prove, dobbiamo dedurre che le due situazioni sono equivalenti. Un campo gravitazionale \u00e8 dunque equivalente ad un sistema di riferimento uniformemente accelerato, nel quale si manifestano forze apparenti.
\nA rigore questo \u00e8 vero solo per un punto entro l’astronave. Tuttavia, se immaginiamo un campo gravitazionale uniforme, esso imiter\u00e0 perfettamente un sistema di riferimento accelerato.<\/p>\n

Fonte dell’illustrazione: “Invito alla Fisica vol.3” di P. Tipler, Zanichelli<\/em><\/p>\n

<\/h5>\n

La curvatura dello spazio-tempo<\/h3>\n

Finora abbiamo parlato dello spazio, ma la curvatura coinvolge anche il tempo, e addirittura in modo misurabile sperimentalmente. Infatti nel 1959 Pound e Rebka misero un orologio atomico alla base di una torre alta 22 metri, e uno alla sommit\u00e0. Essi riuscirono a misurare che il tempo scorre pi\u00f9 lentamente in un campo gravitazionale pi\u00f9 intenso.<\/p>\n

Questa \u00e8 la dimostrazione che lo spazio-tempo attorno alla Terra \u00e8 curvo. Vediamolo in termini geometrici. Nel grafico spazio-temporale a fianco, mettiamo un oggetto fermo alla quota h1<\/span><\/sub>. In 100 secondi esso traccer\u00e0 la linea d’Universo BD, parallela all’asse x.
\nAllo stesso tempo consideriamo un altro oggetto, alla quota h2<\/span><\/sub>, 100 metri al di sopra di h1<\/span><\/sub>. Dato che si trova in un campo gravitazionale meno intenso, essendo pi\u00f9 lontano dalla Terra, sperimenter\u00e0 uno scorrere del tempo pi\u00f9 rapido, se rapportato al tempo che scorre alla quota h1<\/span><\/sub>. Dunque, in 100 secondi misurati dal proprio orologio, traccer\u00e0 la linea d’Universo AC, pi\u00f9 corta di BD. I punti C e D non sono simultanei, dunque il quadrato non si chiude!
\nEsattamente come per il caso bidimensionale, questo significa che lo spazio-tempo \u00e8 curvo.<\/p>\n

Fonte della prima illustrazione: “Gravit\u00e0 e Spazio-tempo” di J. Wheeler, Zanichelli<\/em>
\nFonte della seconda illustrazione: “The Feynman lectures on physics” di Feynman, Leighton e Sands, Addison-Wesley<\/em><\/p>\n

Il moto in uno spazio-tempo curvo<\/h3>\n

In uno spazio-tempo piatto l’analogo della linea retta, ovvero la linea d’Universo pi\u00f9 breve tra due eventi A e B, \u00e8 un moto rettilineo uniforme. Ricordiamo infatti che la metrica dello spazio-tempo \u00e8 ds\u00b2 = d(ct)\u00b2 – dx\u00b2 – dy\u00b2 – dz\u00b2.
\nLa traiettoria rettilinea rende minima la quantit\u00e0 spaziale – dx\u00b2 – dy\u00b2 – dz\u00b2. Per la parte temporale occorre ricordare che qualsiasi variazione della velocit\u00e0 comporta uno scorrere del tempo pi\u00f9 lento, di un fattore rad(1-v\u00b2\/c\u00b2). Quindi il termine d(ct)\u00b2 \u00e8 massimo per un moto uniforme. La retta nello spazio-tempo \u00e8 allora la combinazione di percorso e velocit\u00e0 che rende massimo il termine ds\u00b2, che rappresenta il tempo proprio<\/em>, cio\u00e8 quello percepito dall’oggetto in movimento.<\/p>\n

Cosa succede quando lo spazio-tempo diventa curvo, ad esempio in presenza di gravit\u00e0?
\nIl principio sopra enunciato non cambia, cio\u00e8 l’oggetto si muove massimizzando il tempo proprio.
\nSi abbiano due punti A e B sulla superficie terrestre. Qual \u00e8 la retta, o meglio la geodetica<\/em>, che unisce A e B dal punto di vista dello spazio-tempo?
\nRicordiamo che dobbiamo massimizzare il tempo proprio, cio\u00e8 ds\u00b2 = d(ct)\u00b2 – dx\u00b2 – dy\u00b2 – dz\u00b2. Se vogliamo massimizzare il tempo dovremo evitare variazioni di velocit\u00e0 oppure dovremo portarci lontano dalla Terra, dove il tempo scorre pi\u00f9 velocemente. Peccato che portarci in alto implica la diminuzione di ds\u00b2 perch\u00e9 stiamo aumentando dx\u00b2, dy\u00b2 e dz\u00b2.<\/p>\n

Un bel problema di ottimizzazione, dunque. Se risolviamo matematicamente il problema, troviamo che la soluzione \u00e8 una parabola. Esattamente la traiettoria balistica, come se lanciassimo l’orologio con direzione e velocit\u00e0 iniziale ben definiti, e lasciassimo fare il resto alla gravit\u00e0.<\/p>\n

La gravit\u00e0 \u00e8 infatti una manifestazione della curvatura dello spazio-tempo perch\u00e9 trasforma le linee rette di un moto in uno spazio-tempo piatto in traiettorie curve, percorse di moto accelerato, in modo che anche il tempo venga distorto.<\/p>\n

La geometrodinamica<\/h3>\n

Si potrebbe chiamare in questo modo la teoria della relativit\u00e0 di Einstein, dato che \u00e8 la fusione di geometria (dello spazio-tempo) e dinamica, vale a dire lo studio del moto e delle forze. La forza di gravit\u00e0, visualizzata da Newton come un vettore, \u00e8 ora intesa come effetto della curvatura dello spazio-tempo.
\nL’equazione fondamentale della geometrodinamica sembra semplice ed innocua, in realt\u00e0 riassume 10 equazioni non lineari e per di pi\u00f9 le grandezze coinvolte non sono numeri, bens\u00ec tensori. Questo capolavoro della fisica ha consentito lo studio dei buchi neri, delle propriet\u00e0 dell’Universo e l’investigazione delle onde gravitazionali.<\/p>\n

La croce di Einstein<\/h3>\n

Si tratta di una spettacolare prova della deflessione della luce da parte di un campo gravitazionale molto intenso. La fotografia a fianco sembra mostrare cinque oggetti distinti, in realt\u00e0 sono soltanto due!
\nL’oggetto al centro della configurazione \u00e8 una galassia massiccia che devia i raggi luminosi provenienti da un oggetto molto pi\u00f9 lontano e li fa convergere verso la Terra come se provenissero da direzioni diverse.
\nLa cosa per\u00f2 non pu\u00f2 lasciarci indifferenti: i fotoni sono particelle di massa nulla, perch\u00e9 mai dovrebbero rispondere ad un campo gravitazionale?
\nUna analogia potr\u00e0 chiarire il motivo. Avete mai visto un treno in grado di curvare? La risposta \u00e8 ovviamente no, perche’ il treno pu\u00f2 solo andare diritto! Allora in che modo esso pu\u00f2 descrivere delle curve? Pu\u00f2 farlo se i binari sono curvi! La luce fa esattamente questo: procede diritta, senza curarsi dell’attrazione gravitazionale, ma quest’ultima piega i binari costituiti dallo spazio-tempo, e cos\u00ec la luce pur procedendo diritta, si ritrova ad avere deviato. Ulteriori esperimenti hanno mostrato che il campo gravitazionale rallenta i segnali che transitano nelle vicinanze del Sole.<\/p>\n

Fonte dell’illustrazione: Le Scienze, quaderni n\u00b071<\/em><\/p>\n

L’Universo \u00e8 curvo? – 2<\/h3>\n

Come si \u00e8 anticipato, il metodo pi\u00f9 utilizzato in cosmologia per determinare la curvatura dell’Universo si basa sulla relativit\u00e0 generale. Secondo la teoria, la curvatura dell’Universo \u00e8 completamente determinata dal suo contenuto di materia-energia e determina il destino finale del cosmo secondo la tabella a fianco. Il problema per\u00f2 \u00e8 valutare con precisione il contenuto di materia o di energia. Se ci si limita all’evidenza osservativa, contando e “pesando” le galassie visibili, allora il contenuto dell’Universo \u00e8 circa l’1% di quanto serve per avere un Universo chiuso. Al massimo, includendo l’elusiva materia oscura mediante valutazioni grossolane, si pu\u00f2 arrivare al 30%.
\nUn altro metodo, che sta fornendo risultati inattesi<\/a>, \u00e8 la misurazione dell’intensit\u00e0 luminosa e del redshift di supernovae lontane. Ebbene, esse risultano il 25% pi\u00f9 deboli del previsto(5)<\/a><\/sup>, ci\u00f2 \u00e8 spiegabile in due modi:
\n1 – l’Universo ha curvatura negativa, infatti, come per la superficie a sella nella quale la circonferenza \u00e8 pi\u00f9 estesa di 2p<\/span>R, in tre dimensioni la luce emessa dalla stella lontana si diluisce in un guscio pi\u00f9 ampio di 4p<\/span>R\u00b2 e dunque la luminosit\u00e0 risulta pi\u00f9 bassa.
\n2 – l’Universo \u00e8 piatto, e dunque la luminosit\u00e0 della supernova \u00e8 pi\u00f9 bassa perch\u00e9 semplicemente si trova a maggiore distanza, ma allora il redshift misurato \u00e8 inferiore al valore richiesto dalla distanza perch\u00e9 in quell’epoca l’Universo si stava espandendo pi\u00f9 lentamente del previsto. Se ci\u00f2 \u00e8 vero, possiamo dire che oggi l’Universo si sta espandendo pi\u00f9 velocemente del previsto, e dunque, dato che l’unico effetto esercitato dalla materia-energia \u00e8 quello di rallentare l’espansione, allora ne deduciamo che deve esistere una misteriosa forza repulsiva in grado di accelerare l’espansione dell’Universo. Questa forza non \u00e8 troppo misteriosa perch\u00e9 venne postulata dallo stesso Einstein, sotto forma di costante cosmologica L<\/span>, affinch\u00e9 l’Universo fosse statico. Quando poi Hubble mise in evidenza l’espansione cosmica, Einstein cap\u00ec di avere mancato una previsione grandiosa e ritenne la costante cosmologica l’errore pi\u00f9 grande della sua vita scientifica. Oggi si torna a considerare L<\/span> proprio per spiegare questa anomalia.
\nLo scenario attualmente in voga prevede che l’Universo sia piatto, come richiesto dalla teoria inflazionaria, ma che esista solo il 25% della materia per raggiungere la densit\u00e0 critica, il restante 75% deriva dall’energia del vuoto espressa dalla costante cosmologica.
\nLe osservazioni dei satelliti che verranno lanciati dal 2005 al 2008 consentiranno di studiare le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo e, speriamo, di sciogliere l’enigma.<\/p>\n

La macchina del tempo<\/h3>\n

Finora abbiamo descritto la curvatura dello spazio-tempo come principio esplicativo della gravit\u00e0. Tuttavia potrebbe anche avere un risvolto pratico attraverso la costruzione di una macchina del tempo.
\nIl primo scienziato a pubblicare su una rivista scientifica seria le caratteristiche di una macchina del tempo “realistica” \u00e8 stato il fisico matematico Frank Tipler nel 1974 (Rotating cylinders and the possibility of a global causality violation, Physical Review D<\/i>, 9, pp. 2203-2206). Nell’articolo(6)<\/a><\/sup> l’autore mostra che un cilindro di lunghezza infinita (ma ipotizza che anche un cilindro di lunghezza finita potrebbe essere adeguato) la cui superficie ruoti ad una velocit\u00e0 almeno pari a c<\/i>\/2 deforma a tal punto lo spazio-tempo che, nelle vicinanze del cilindro, spostarsi nello spazio equivale a viaggiare nel tempo, come se quest’ultimo fosse una dimensione puramente geometrica. E dunque qualche giro attorno al cilindro ci porterebbe indietro nel tempo, fino al limite massimo costituito dal momento in cui il cilindro si \u00e8 formato.<\/p>\n

Fonte dell’illustrazione: “Tempo” di C. Pickover, Raffaello Cortina editore<\/em><\/p>\n

<\/h5>\n

Per saperne di pi\u00f9:<\/p>\n

Wheeler, Gravit\u00e0 e spazio-tempo<\/em>, Zanichelli
\nSchwinger, L’eredit\u00e0 di Einstein<\/em>, Zanichelli
\nCorso di laurea in Fisica<\/p>\n

\n

Ringrazio John Baez, Alessandro Duci, Nicola Fusco, Valter Moretti e Piergiorgio Odifreddi per le discussioni ed i chiarimenti; Mario Vitali e Pietro Rota per avermi dato l’occasione di approfondire questi argomenti.<\/p>\n

Da aggiungere:
\n– il concetto di lunghezza caratteristica negli spazi curvi
\n– il concetto di geodetica
\n– lo spazio-tempo di Schwartzschild e il “tornio del vasaio”<\/p>\n

<\/a>Per chi volesse approfondire i temi, segnalo il bel libro di Franco Nuzzi “Storia e analisi del concetto di curvatura. Dalla geometria alla cosmologia”.
\nPu\u00f2 essere ordinato anche via Internet.<\/p>\n

\n

Note:<\/strong><\/p>\n

(<\/a>1) – Di solito si chiama pseudosfera<\/i> il modello di geometria iperbolica, cos\u00ec come la sfera<\/i> lo \u00e8 per la geometria sferica. Tuttavia c’\u00e8 qualche difficolt\u00e0: infatti un teorema di Hilbert dice che non esistono modelli della geometria iperbolica che siano immergibili nello spazio euclideo, e su cui si misurino distanze e angoli nella maniera euclidea.
\nIl teorema lascia solo quattro possibilit\u00e0: i modelli euclidei devono o non essere immergibili nello spazio euclideo, o essere parziali, o cambiare la misura euclidea della distanza, o cambiare la misura euclidea degli angoli.
\nLa pseudosfera vera e propria (visibile a fianco) \u00e8 un modello parziale: infatti ha un buco, mentre il piano iperbolico no. Il modello di Klein-Beltrami misura gli angoli in maniera diversa da quella euclidea. Quello di Poincar\u00e9 misura le distanze in maniera diversa. Il modello piu’ naturale di tutti, e dal quale quelli soliti si ottengono con opportune proiezioni, e’ il cosiddetto modello di Weierstrass: un iperboloide di rotazione, su cui si misuri la distanza secondo la metrica di Minkowski.<\/p>\n

(<\/a>2) – La superba costruzione della geometria euclidea, con il potente apparato deduttivo che prende le mosse dai cinque postulati e rende ragione delle propriet\u00e0 di tutte le figure geometriche, aveva fatto credere a Kant e ai suoi seguaci che fosse razionalmente necessaria<\/b>.
\nIl primo a pensare che la geometria dovesse invece ricevere conferma e determinazione dall’esperienza fu proprio Gauss.
\nEinstein nell’opera Il significato della relativit\u00e0<\/i> afferma: “sono convinto che i filosofi hanno sempre avuto un effetto dannoso sul progresso del pensiero scientifico poich\u00e9 hanno sottratto molti concetti fondamentali al dominio dell’empirismo, nel quale si trovavano sotto il nostro controllo, e li hanno portati alle intangibili altezze dell’a priori<\/i>“.
\nEgli si riferiva ai concetti di spazio e di tempo, ma la citazione ci pare adeguata anche al rapporto tra geometria e realt\u00e0.<\/p>\n

(<\/a>3) – La distanza nella geometria euclidea si esprime tramite il teorema di Pitagora applicato alle coordinate. Dunque la separazione tra due punti nello spazio vale
\nds\u00b2 = dx\u00b2 + dy\u00b2 + dz\u00b2.
\nSi definisce segnatura<\/b> l’insieme dei segni delle coordinate al quadrato, in questo caso \u00e8 (+ + +).
\nNello spazio-tempo di Minkowski la separazione tra due eventi si esprime come
\nds\u00b2 = d(ct)\u00b2 – dx\u00b2 – dy\u00b2 – dz\u00b2
\nla cui segnatura \u00e8 (+ – – -) oppure come
\nds\u00b2 = dx\u00b2 + dy\u00b2 + dz\u00b2 – d(ct)\u00b2
\ncon segnatura (+ + + -).
\nLe due forme sono perfettamente equivalenti, e la scelta dell’una o dell’altra \u00e8 dettata dal fatto che con la prima forma il ds\u00b2 \u00e8 sempre positivo all’interno del cono di luce. Alcuni libri, ad esempio quelli scritti dai fisici delle particelle, preferiscono la prima forma perch\u00e9 ovviamente tutta la fisica si svolge entro il cono di luce e il ds\u00b2 risulta piacevolmente positivo. Invece i fisici relativisti generalmente optano per la seconda forma, pi\u00f9 elegante perch\u00e9 mantiene il carattere di generalizzazione della metrica ordinaria.
\nVa detto che la quantit\u00e0 ds<\/i>\/c<\/i> ha un preciso significato fisico: \u00e8 il tempo proprio<\/b>, sperimentato dal punto in moto. Sotto questa luce, vale a dire considerata come propriet\u00e0 oggettiva, \u00e8 perfettamente comprensibile perch\u00e9 ds<\/i> sia uguale in tutti i sistemi di riferimento.<\/p>\n

(<\/a>4) – Consideriamo due coppie di eventi, la prima causalmente connessa, la seconda no. Le loro coordinate sono inventate, ma tali che nel primo caso l’evento B sia entro il cono di luce di A, mentre nel secondo caso B si trovi all’esterno.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
<\/td>\n<\/td>\n\n
<\/div>\n<\/td>\n
\n
<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n

tempo
\nreale<\/p>\n<\/td>\n

\n

convenzione
\nct-x<\/p>\n<\/td>\n

\n

ds\u00b2 = (ct)\u00b2 – x\u00b2
\n= 9-1 = 8<\/p>\n<\/td>\n

\n

ds\u00b2 = (ct)\u00b2 – x\u00b2
\n= 1-4 = -3<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

\n

convenzione
\nx-ct<\/p>\n<\/td>\n

\n

ds\u00b2 = x\u00b2 – (ct)\u00b2
\n= 1-9 = -8<\/p>\n<\/td>\n

\n

ds\u00b2 = x\u00b2 – (ct)\u00b2
\n= 4-1 = 3<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

\n

tempo
\nimmaginario<\/p>\n<\/td>\n

\n

convenzione
\nct-x<\/p>\n<\/td>\n

\n

ds\u00b2 = (ct)\u00b2 – x\u00b2
\n= -9-1 = -10<\/p>\n<\/td>\n

\n

ds\u00b2 = (ct)\u00b2 – x\u00b2
\n= -1-4 = -5<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

\n

convenzione
\nx-ct<\/p>\n<\/td>\n

\n

ds\u00b2 = x\u00b2 – (ct)\u00b2
\n= 1+9 = 10<\/p>\n<\/td>\n

\n

ds\u00b2 = x\u00b2 – (ct)\u00b2
\n= 4+1 = 5<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\n

Come si vede, qualunque sia la convenzione per la scrittura del ds\u00b2, solo la metrica con il tempo reale, dunque con la segnatura (+ – – -) d\u00e0 un senso alla nozione di causalit\u00e0 distinguendo, mediante il segno, eventi causalmente connessi da quelli non connessi.<\/p>\n

(<\/a>5) – Delle supernovae lontane possiamo misurare la luminosit\u00e0 apparente ed il redshift, cio\u00e8 lo spostamento delle righe spettrali. Quest’ultima propriet\u00e0 \u00e8 fondamentale perch\u00e9 la legge di Hubble stabilisce una proporzione diretta tra redshift e distanza, dunque da questa misura possiamo anche risalire alla distanza della supernova.
\nIl punto \u00e8 che se il redshift indica una distanza di 5 miliardi di anni-luce, ci si aspetta che la luminosit\u00e0 della supernova sia adeguata, invece \u00e8 pi\u00f9 bassa.<\/p>\n

(<\/a>6) – L’articolo di Frank Tipler digitalizzato:<\/p>\n

pagina 1 (GIF<\/a>, 210 kb)<\/p>\n

pagina 2 (GIF<\/a>, 210 kb)<\/p>\n

pagina 3 (GIF<\/a>, 210 kb)<\/p>\n

pagina 4 (GIF<\/a>, 210 kb)<\/p>\n

Per inviare commenti, critiche, suggerimenti: paolo.sirtoli@gmail.com<\/a><\/p>\n<\/blockquote>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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