{"id":6723,"date":"2017-10-27T11:49:53","date_gmt":"2017-10-27T09:49:53","guid":{"rendered":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/?page_id=6723"},"modified":"2026-06-13T15:07:29","modified_gmt":"2026-06-13T13:07:29","slug":"le-maree-e-la-forza-centrifuga","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/le-maree-e-la-forza-centrifuga\/","title":{"rendered":"Le maree e la forza centrifuga"},"content":{"rendered":"\n

di Paolo Sirtoli <\/a><\/p>\n\n\n\n

11 luglio 2005<\/p>\n\n\n\n

english version <\/a><\/p>\n\n\n\n

Sul web, ma anche in molti libri di testo, si leggono spesso spiegazioni errate del fenomeno delle maree lunisolari. In particolare risulta erronea la spiegazione dell’esistenza del secondo lobo di marea, quello rivolto in direzione opposta alla Luna. Per spiegare questo fenomeno, infatti, molti autori fanno riferimento alla forza centrifuga, la quale per\u00f2, essendo una forza fittizia, non pu\u00f2 giocare alcun ruolo.<\/p>\n\n\n\n

La tesi corretta \u00e8 che per spiegare le maree sono necessari e sufficienti gli effetti della differenza <\/em>della forza di attrazione gravitazionale tra i punti della superficie terrestre ed il centro della Terra.
\nLa forza centrifuga che appare in molte trattazioni spesso \u00e8 esposta in modo errato; nei rari casi in cui \u00e8 trattata correttamente, serve solo in un sistema di riferimento rotante. E\u2019 quindi un artificio contabile, senza alcun effetto fisico sulle maree.<\/p>\n\n\n\n

Lo dimostreremo mettendoci in diversi sistemi di riferimento e calcolando l\u2019accelerazione totale per due soli punti di prova: i classici A e B di figura 2, rispettivamente il punto pi\u00f9 vicino alla Luna e l’opposto. Se il risultato sar\u00e0 identico al caso in cui compare la sola forza gravitazionale, potremo stare certi che le forze fittizie non giocano alcun ruolo.<\/p>\n\n\n\n

Molta confusione circa le forze di marea nasce infatti dall\u2019uso improprio del sistema di riferimento. Scegliere il sistema di riferimento \u00e8 il primo passo per affrontare con successo un problema di fisica. Se si compiono errori in questa fase fondamentale, pu\u00f2 succedere di tutto. Si possono mescolare concetti appartenenti a diversi sistemi di riferimento, ottenendo mostruosit\u00e0 logiche e fisiche.<\/p>\n\n\n\n

Un’altra questione che lascia perplessi \u00e8 il fatto che per ottenere il campo mareale si deve sottrarre dall’attrazione gravitazionale della Luna un campo uniforme<\/em>. Fin dal liceo sappiamo bene che in un sistema rotante le forze fittizie sono proporzionali alla distanza dall’asse di rotazione. Quindi, ci chiediamo, da dove scaturisce questo campo uniforme?
\nTutto questo sar\u00e0 svelato negli esempi che seguiranno.<\/p>\n\n\n\n

I sistemi di riferimento<\/b><\/h3>\n\n\n\n

La fisica insegna che ogni situazione reale pu\u00f2 essere descritta in modi diversi, a seconda del punto di vista dell\u2019osservatore. Ogni osservatore definisce un proprio sistema di riferimento (SR). Ad esempio, se io sono fermo al bordo di una strada, definir\u00f2 la strada come il mio SR, mentre se sono dentro un\u2019automobile, mi sar\u00e0 comodo definire l\u2019automobile stessa come mio SR.<\/p>\n\n\n\n

Se l’automobile percorre una curva stretta verso sinistra, l’osservatore solidale alla strada far\u00e0 il seguente ragionamento:<\/p>\n\n\n\n

\n

Per il principio di inerzia il passeggero tende a proseguire il suo moto rettilineo, tuttavia i pneumatici stanno imprimendo una direzione diversa al moto: la macchina curva verso sinistra, andando a comprimere il lato destro del passeggero.<\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

Il passeggero invece, che ritiene naturale assumere l’automobile come proprio SR, far\u00e0 il seguente ragionamento:<\/p>\n\n\n\n

\n

L’auto \u00e8 ferma rispetto a me, ma si trova immersa in un campo di forze che mi spinge verso destra, cio\u00e8 in direzione opposta al centro di rotazione. Si tratta allora di una forza centrifuga, che si manifesta quando l’automobile percorre una curva.<\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

Sono validi entrambi i ragionamenti, ma non si deve dimenticare che la forza centrifuga \u00e8 fittizia: l’unica forza reale \u00e8 quella centripeta perch\u00e9 \u00e8 data dall’adesione del pneumatico sulla strada. In ultima analisi essa si riconduce ad una delle quattro forze fondamentali: quella elettrica.<\/p>\n\n\n\n

E\u2019 per\u00f2 evidente che tutti i SR devono essere equivalenti, cio\u00e8 fornire le stesse predizioni numeriche per forze e accelerazioni. In sostanza, per tutti i SR devo poter applicare la seconda legge di Newton:<\/p>\n\n\n\n

(1) <\/span>   <\/span>\"\[a_{ine} = \frac{\vec{F}}{m}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Il pedice serve ad indicare il sistema di riferimento a cui si riferisce la grandezza: in questo caso stiamo eguagliando l’accelerazione in un sistema di riferimento inerziale al rapporto tra forze agenti e massa del corpo.<\/p>\n\n\n\n

Vi sono per\u00f2 particolari SR che si distinguono da tutti gli altri. Sono quelli in moto accelerato. Se vogliamo che il principio enunciato sopra sia valido, dobbiamo introdurre in questi sistemi delle forze fittizie, che nel caso del moto circolare, sono la cosiddetta forza centrifuga e l’accelerazione complementare, o di Coriolis, dal nome di colui che enunci\u00f2 il relativo teorema nel 1835.
\nSi chiamano fittizie perch\u00e9 non hanno realt\u00e0 fisica, emergono solo in particolari sistemi di riferimento. Le uniche forze degne di tale nome sono le quattro forze fondamentali: quella gravitazionale, elettrica, nucleare debole e nucleare forte. Nessun effetto fisico pu\u00f2 scaturire da una forza fittizia: esister\u00e0 sempre un SR in cui tale forza scompare.<\/p>\n\n\n\n

Un’altra differenza tra le forze reali e quelle fittizie si evidenzia alla luce della terza legge di Newton. Le forze reali sono sempre accompagnate da forze di reazione. La terza legge di Newton stabilisce che “se un corpo A esercita una forza sul corpo B, allora B esercita una forza eguale ed opposta sul corpo A”. Tuttavia le forze fittizie non sono esercitate da corpi materiali. Esse non hanno “sorgenti”, sono semplicemente degli artifici contabili per far tornare i conti nei sistemi di riferimento rotanti.
\nEcco perch\u00e9 non possiamo trovare alcuna forza di reazione a forze fittizie e quindi ecco perch\u00e9 non possiamo applicare la terza legge di Newton alle forze fittizie. Non vi \u00e8 alcun “corpo A” che sta esercitando la forza fittizia.<\/p>\n\n\n\n

In sistemi di riferimento non inerziali, la seconda legge della dinamica assumer\u00e0 quindi una forma diversa. Per un sistema di riferimento in moto rototraslatorio con velocit\u00e0 angolare costante, possiamo scrivere l’accelerazione vista dal riferimento inerziale come:<\/p>\n\n\n\n

(2) <\/span>   <\/span>\"\[a_{ine}=a_{sr}+a_{rot}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+2\,\vec{\omega}\times\vec v_{rot}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Cio\u00e8 l’accelerazione vista dal riferimento inerziale \u00e8 la somma dell’accelerazione del sistema di riferimento (sr), detta anche accelerazione di trascinamento<\/em>, della accelerazione manifestata nel sistema di riferimento in rotazione (rot) e di due quantit\u00e0 chiamate, rispettivamente, accelerazione centripeta e di Coriolis.<\/p>\n\n\n\n

Quindi se vogliamo che anche nel sistema di riferimento non inerziale valga la seconda legge di Newton, ricordando la (1) e la (2) dovremo scrivere:<\/p>\n\n\n\n

(3) <\/span>   <\/span>\"\[a_{rot}=\frac{\vec{F}}{m}-a_{sr}-\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})-2\,\vec{\omega}\times\vec v_{rot}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Nel prosieguo dell’articolo vedremo diversi casi, che tratteremo secondo lo stesso schema:<\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. sceglieremo un sistema di riferimento, prendendo nota delle sue accelerazioni rispetto ad un sistema di riferimento inerziale<\/li>\n\n\n\n
  2. studieremo la cinematica nel nuovo sistema di riferimento, valutando le accelerazioni dei nostri punti di prova A e B<\/li>\n\n\n\n
  3. scriveremo l’equazione fondamentale (3) eguagliando l’accelerazione osservata nel punto precedente alla somma di diverse componenti:\n
      \n
    1. l’accelerazione reale, vale a dire quella gravitazionale \"\frac{F_g}{m}\"<\/li>\n\n\n\n
    2. nei SR non inerziali in moto traslatorio comparir\u00e0 una accelerazione fittizia opposta all’accelerazione del SR (\"-a_{sr}\").<\/li>\n\n\n\n
    3. nei SR non inerziali in moto rotatorio compariranno l’accelerazione centrifuga<\/em> \"\,-\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})\" sempre diretta in direzione opposta al centro della rotazione e quella di Coriolis \"-2\,\vec{\omega}\times\vec v_{rot}\" la cui direzione dipende dalla velocit\u00e0 del punto rispetto al centro del SR.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n\n\n\n
    4. nella formula (3) l’eguaglianza non sar\u00e0 rispettata, perch\u00e9 i punti A e B sono pensati solidali alla figura terrestre, ma l’accelerazione di marea tende a deformarla. Ecco perch\u00e9 introdurremo una accelerazione residua indicata con \u0394, che indicher\u00e0 direzione e intensit\u00e0 dell’accelerazione di marea. Riassumendo, l’equazione cardinale sar\u00e0

      Forza reale – forze fittizie = m * (accelerazione + \"\Delta\")<\/p>
      <\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

      Un’ultima considerazione va dedicata al classico trabocchetto sui sistemi di riferimento. Il lettore provi a rispondere alla seguente domanda: il seguente sistema di riferimento sta traslando o ruotando? La risposta nel prosieguo dell’articolo.<\/p>\n\n\n

      \n
      \"\"\/<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

      Fig. 1 – il sistema di riferimento sta ruotando o traslando? <\/em><\/p>\n\n\n\n

      Il modello fisico<\/h3>\n\n\n\n

      Cominciamo col dire che la spiegazione completa delle maree, che renda conto della loro periodicit\u00e0 e intensit\u00e0, \u00e8 estremamente complessa. Qui ci limiteremo a considerare un modello semplificato che vede la Terra sferica, liscia e omogenea, coperta da un velo uniforme d\u2019acqua. Attorno ad essa rivolve una Luna puntiforme in orbita circolare, o meglio, entrambe rivolvono attorno al comune centro di massa. Trascuriamo la presenza del Sole, che qualitativamente non aggiunge nulla al modello.<\/p>\n\n\n\n

      Dato che la rotazione terrestre non ha effetti sull\u2019esistenza delle due ondate di marea, supporremo che la Terra non stia ruotando su se stessa<\/strong> e che quindi mantenga l\u2019orientamento rispetto alle stelle fisse. Se il lettore avesse delle perplessit\u00e0 su questo punto, lo invitiamo a considerare che la rotazione della terra provoca s\u00ec una deformazione della sua figura, ma simmetrica rispetto all’asse. Di conseguenza la Terra si trasformer\u00e0 da sfera a ellissoide oblato, ma l’equatore manterr\u00e0 la forma circolare. Quindi la rotazione terrestre non ha effetto sull’esistenza delle maree.<\/p>\n\n\n\n

      Alcuni dati fisici: nel nostro modello abbiamo un pianeta, la Terra, di massa \"M_T=5.9742\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}\" ed il suo satellite, la Luna, di massa \"M_L=7.36\cdot10^{22}\,\mathrm{kg}\".<\/p>\n\n\n\n

      <\/em>
      \nFig. 2 <\/em><\/p>\n\n\n\n

      Il rapporto di massa vale 81,17 la loro distanza R<\/i> vale 384.400 km.
      \nIl centro di massa CM dista dal centro della Terra<\/p>\n\n\n\n

      (4) <\/span>   <\/span>\"\[c=R\cdot\frac{M_L}{M_T+M_L}=4678\,\text{km}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      Dato che il raggio equatoriale terrestre r<\/i> vale 6378 km, il centro di massa \u00e8 interno alla Terra, alla profondit\u00e0 di \"r-c=1700\,\mathrm{km}\".
      \nIl centro della Terra descrive dunque un cerchio di raggio c<\/i> attorno al CM, anche la Luna descrive un cerchio, ma di raggio \"R-c\".
      \nLa velocit\u00e0 angolare di questi moti si ricava dalla terza legge di Keplero:<\/p>\n\n\n\n

      (5) <\/span>   <\/span>\"\[\omega^2=\frac{G(M_T+M_L)}{R^3}=7.101877\cdot10^{-12}\,\text{rad}^2/\text{s}^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      Caso 1: la caduta libera<\/h3>\n\n\n\n

      Affrontiamo ora il problema delle maree nel modo pi\u00f9 semplice: come se la Terra fosse in caduta libera verso la Luna. Immaginiamo di fotografare la situazione nell\u2019istante in cui la distanza tra i centri \u00e8 proprio R<\/i>. Per analizzare la situazione ci mettiamo in un sistema di riferimento solidale col centro della Terra. Dato che si tratta di un sistema di riferimento non inerziale poich\u00e9 \u00e8 accelerato dall’attrazione gravitazionale della Luna, dovremo introdurre una accelerazione fittizia uguale ed opposta:<\/p>\n\n\n\n

      (6) <\/span>   <\/span>\"\[-\frac{GM_L}{R^2}=-3.322\cdot10^{-5}\,\mathrm{m/s^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      rivolta cio\u00e8 in direzione opposta alla Luna.<\/p>\n\n\n\n

      Cinematica<\/b><\/p>\n\n\n\n

      Dal punto di vista cinematico, in questo sistema di riferimento fotografato all’istante in cui la Terra e la Luna si trovano alla distanza R, tutti i punti della superficie terrestre sono fermi, la Luna invece corre incontro alla Terra di moto accelerato.<\/p>\n\n\n\n

      Dinamica<\/b><\/p>\n\n\n\n

      Calcoliamo l’accelerazione totale di A e B, facendo riferimento all’equazione (3) come la somma di:
      \n– accelerazione gravitazionale lunare
      \n– accelerazione fittizia
      \nIl risultato verr\u00e0 eguagliato alla accelerazione cinematica del punto, pensato solidale con la figura terrestre, pi\u00f9 una componente, chiamata \"\Delta\", che rappresenta la forza di marea, cio\u00e8 quella forza che tende a deformare la superficie terrestre.<\/p>\n\n\n\n

      Facendo attenzione al verso dei vettori, per A possiamo scrivere:<\/p>\n\n\n\n

      (7) <\/span>   <\/span>\"\[\frac{GM_L}{(R-r_A)^2}-\frac{GM_L}{R^2}=0+\Delta\]\"<\/p>
      \n

        <\/span>   <\/span>\"\[\Delta=1.13\cdot10^{-6}\,\mathrm{m/s^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      Mentre per B potremo scrivere:<\/p>\n\n\n\n

      (8) <\/span>   <\/span>\"\[\frac{GM_L}{(R+r_B)^2}-\frac{GM_L}{R^2}=0+\Delta\]\"<\/p>
      \n

        <\/span>   <\/span>\"\[\Delta=-1.07\cdot10^{-6}\,\mathrm{m/s^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      L\u2019ordine di grandezza \u00e8 \"10^{-7}\,\mathrm{g}\" cio\u00e8 un decimilionesimo dell\u2019accelerazione di gravit\u00e0.<\/p>\n\n\n\n


      \nFig. 3: L’accelerazione gravitazionale dovuta alla Luna per tre punti della Terra.<\/em><\/p>\n\n\n\n


      \nFig. 4: Dopo aver sottratto l’accelerazione fittizia di questo particolare sistema di riferimento, emergono forze che tendono a stirare il pianeta lungo la congiungente Terra-Luna.<\/em><\/p>\n\n\n\n


      \nFig. 5: Effettuando il calcolo per tutti i punti dell’equatore terrestre, emerge il noto campo di forza mareale.<\/em><\/p>\n\n\n\n

      Ecco dimostrata l\u2019esistenza di due ondate di marea, in direzioni opposte e lievemente diverse per intensit\u00e0, essendo maggiore quella rivolta verso la Luna. E\u2019 tutto ci\u00f2 che serve: l\u2019effetto di marea \u00e8 dovuto soltanto al gradiente della forza di gravit\u00e0.<\/p>\n\n\n\n

      Va sottolineato che l’altezza delle maree non \u00e8 dovuta allo “stiramento” delle masse d’acqua. Come si vede dalla terza figura, in alcuni punti della superficie la forza di marea \u00e8 tangente ad essa, ci\u00f2 implica che le acque sono spinte verso il punto sublunare o quello antilunare, ove si raccolgono.<\/p>\n\n\n\n

      Il fatto che nella realt\u00e0 la Terra e la Luna siano in orbita reciproca comporta una accelerazione centripeta o centrifuga (dipende dal sistema di riferimento). E\u2019 per\u00f2 interessante mostrare che essa non ha alcun ruolo nella formazione delle maree<\/i>, come si vedr\u00e0 negli esempi seguenti.<\/p>\n\n\n\n

      Caso 2: il sistema inerziale<\/h3>\n\n\n\n

      In questo secondo esempio e in quelli successivi, supporremo che la Terra e la Luna siano in orbita circolare.<\/p>\n\n\n\n

      Scegliamo il sistema di riferimento inerziale nel centro di massa del sistema Terra-Luna. Tale punto \u00e8 fermo<\/i> rispetto al resto dell\u2019Universo, inoltre il sistema di riferimento non ruota, dunque nella nostra trattazione non compariranno forze fittizie.<\/p>\n\n\n\n


      \nFig. 6 <\/em><\/p>\n\n\n

      \n
      \"\"\/<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

      Fig. 7 – A sinistra: la situazione vista da un sistema di riferimento inerziale. Il sistema di riferimento scelto per studiare il problema \u00e8 anch’esso inerziale ed \u00e8 marcato con le frecce di colore arancio.
      A destra, la dimostrazione visiva che ogni punto della Terra descrive circonferenze uguali, dunque uguali al moto del dentro della Terra attorno al CM.<\/em>
      <\/p>\n\n\n\n

      Cinematica<\/b><\/p>\n\n\n\n

      Il centro della Terra descrive un’orbita circolare di raggio c<\/em> attorno al CM, con velocit\u00e0 angolare \u03c9<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

      Per quanto riguarda i punti della superficie terrestre, occorre evitare un fraintendimento, peraltro molto comune.<\/p>\n\n\n\n

      Dire che il centro della Terra ruota attorno al CM non significa che tutta la Terra stia ruotando attorno a tale punto! La Terra infatti, per come abbiamo schematizzato la situazione, \u00e8 ferma rispetto alle stelle fisse. Non ruota su se stessa, sta traslando<\/i>. Ecco dunque la risposta al quesito di figura 1. Tutti i suoi punti descrivono cerchi di eguale raggio c<\/em> ma di centro diverso.<\/p>\n\n\n\n


      \nFig. 8<\/em><\/p>\n\n\n\n

      Essa si muove attorno al centro di massa mantenendo la sua figura parallela a se stessa. Non esiste pertanto alcuna forza fittizia (centrifuga) associata alla presunta rotazione della Terra attorno a CM.<\/p>\n\n\n\n

      E\u2019 sbagliato allora il seguente calcolo. Alcuni autori vogliono calcolare l\u2019effetto della forza centrifuga operando come segue: se \u00e8 vero che la Terra ruota attorno al CM, allora l\u2019accelerazione centrifuga in A vale \"\omega^2(r-c)=1.207\cdot10^{-5}\,\mathrm{m/s^2}\" mentre in B vale \"\omega^2(r+c)=7.852\cdot10^{-5}\,\mathrm{m/s^2}\".<\/p>\n\n\n

      \n
      \"\"\/<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

      Fig. 9 <\/em><\/p>\n\n\n\n

      Si ottiene l\u2019assurdo che l\u2019intensit\u00e0 della accelerazione centrifuga in B vale circa 6,5 volte quella in A. Probabilmente \u00e8 questo fatto a trarre in inganno coloro i quali affermano che la marea opposta alla Luna \u00e8 provocata dalla forza centrifuga!<\/p>\n\n\n\n

      D\u2019altra parte, questo calcolo porta ad una accelerazione che \u00e8 pi\u00f9 di 70 volte quella di marea, quindi c\u2019\u00e8 davvero qualcosa di sbagliato.<\/p>\n\n\n\n

      E’ invece corretto affermare che tutti i punti della Terra descrivono un cerchio di raggio c<\/em> e subiscono quindi una accelerazione di intensit\u00e0 \"\omega^2c=3.322\cdot10^{-5}\,\mathrm{m/s^2}\" diretta verso il centro del cerchio.<\/p>\n\n\n\n

      Dinamica<\/b><\/p>\n\n\n\n

      Dato che il SR scelto \u00e8 inerziale, non compaiono forze fittizie, l’unica forza sar\u00e0 quella – reale – dovuta all’attrazione gravitazionale.<\/p>\n\n\n\n

      Per il punto A possiamo scrivere:<\/p>\n\n\n\n

      (9) <\/span>   <\/span>\"\[\frac{GM_L}{(R-r_A)^2}=\omega^2c+\Delta\]\"<\/p>
      \n

        <\/span>   <\/span>\"\[\Delta=1.13\cdot10^{-6}\,\mathrm{m/s^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      La forza di marea quindi \u00e8 rivolta in direzione della Luna, come nel caso precedente.<\/p>\n\n\n\n

      Per il punto B possiamo scrivere:<\/p>\n\n\n\n

      (10) <\/span>   <\/span>\"\[\frac{GM_L}{(R+r_B)^2}=\omega^2c+\Delta\]\"<\/p>
      \n

        <\/span>   <\/span>\"\[\Delta=-1.07\cdot10^{-6}\,\mathrm{m/s^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      In questo caso la forza di marea \u00e8 rivolta in direzione opposta alla Luna.<\/p>\n\n\n\n

      Torniamo a \"\omega^2c\" e rielaboriamo questa quantit\u00e0, tenendo conto della definizione di c<\/i> e di \"\omega^2\" viste nelle equazioni (4) e (5).<\/p>\n\n\n\n

      (11) <\/span>   <\/span>\"\[\omega^2c=\frac{G(M_T+M_L)}{R^3}\cdot R\cdot\frac{M_L}{M_T+M_L}=\frac{GM_L}{R^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      Cio\u00e8 il campo uniforme di accelerazioni centripete ha la stessa intensit\u00e0 dell\u2019attrazione lunare al centro della Terra! Naturalmente questa non \u00e8 una coincidenza, \u00e8 l\u2019espressione matematica del fatto che il centro della Terra \u00e8 in orbita, attratto dalla Luna.<\/p>\n\n\n\n

      Abbiamo quindi ottenuto gli stessi risultati anche se la Terra e la Luna orbitano l\u2019una attorno all\u2019altra.<\/p>\n\n\n\n

      Caso 3: complicato ma istruttivo<\/h3>\n\n\n\n

      Scegliamo il sistema di riferimento ancora nel centro di massa, ma stavolta in rotazione con velocit\u00e0 angolare pari al sistema Terra-Luna, che pertanto appariranno fisse. Di conseguenza nella nostra trattazione dovremo introdurre per ogni punto della Terra due accelerazioni fittizie: quella centrifuga e quella di Coriolis. La prima ha origine in CM e intensit\u00e0 \"\omega^2P\" dove P<\/i> \u00e8 la distanza del punto dal CM.
      \nLa seconda ha intensit\u00e0 \"2\,\omega v=2\,\omega^2\,r\" ed il verso \u00e8 dato dal prodotto vettoriale tra \u03c9<\/em> e v<\/em>, cambiato di segno.<\/p>\n\n\n\n


      \nFig. 10<\/em><\/p>\n\n\n

      \n
      \"\"\/<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

      Fig. 11 – A sinistra: la situazione vista da un sistema di riferimento inerziale. Questa volta il sistema di riferimento che andremo a scegliere ruota in modo da mantenere ferme la Terra e la Luna.
      \nA destra: \u00e8 evidente che in questo sistema di riferimento la Terra esibisce una rotazione sul proprio asse. Inoltre, sorge un campo di forze centrifughe con centro in CM. Nella rappresentazione manca il campo di forze di Coriolis. <\/em><\/p>\n\n\n\n

      Possiamo esprimere questo campo di accelerazioni centrifughe in un modo pi\u00f9 semplice: come la somma di un campo radiale, con origine nel centro della Terra, e un campo di accelerazioni uguali e parallele.<\/p>\n\n\n\n


      \nFig. 12<\/em><\/p>\n\n\n

      \n
      \"\"\/<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

      Fig. 13<\/em><\/p>\n\n\n\n

      Infatti il vettore P pu\u00f2 essere scomposto in due vettori: \"\vec{P}=\vec{c}+\vec{r}\".<\/p>\n\n\n\n

      E dunque anche \"\omega^2\vec{P}=\omega^2\vec{c}+\omega^2\vec{r}\".<\/p>\n\n\n\n

      Notiamo che \"\omega^2\vec{c}\" \u00e8 una grandezza costante: non dipende dal punto P<\/i> considerato, mentre la grandezza \"\omega^2\vec{r}\" \u00e8 una accelerazione radiale isotropa.<\/p>\n\n\n\n

      Alcuni autori si sono fatti ingannare da quest\u2019ultimo campo, attribuendogli un significato fisico reale. Spesso gli si attribuisce la facolt\u00e0 di contribuire al rigonfiamento equatoriale. In realt\u00e0 non \u00e8 possibile che esista tale forza, per giunta soltanto in questo sistema di riferimento!<\/p>\n\n\n\n

      Questo campo radiale viene compensato dalle forze di Coriolis, come si legger\u00e0 di seguito.<\/p>\n\n\n\n

      Occorre prestare molta attenzione al seguente fatto: se il sistema di riferimento \u00e8 in rotazione ma la Terra \u00e8 fissa rispetto al resto dell\u2019Universo, essa in tale rappresentazione apparir\u00e0 in rotazione con una velocit\u00e0 angolare opposta<\/em>! (vedi animazione)<\/p>\n\n\n\n


      \nFig. 14<\/em><\/p>\n\n\n\n

      Cinematica<\/b><\/p>\n\n\n\n

      Il centro della Terra \u00e8 fermo, invece tutti i punti della superficie terrestre, in particolare i nostri A e B, ruotano in senso orario e quindi esibiscono una accelerazione di intensit\u00e0 \"\omega^2\vec{r}\" diretta verso il centro della Terra.<\/p>\n\n\n\n

      Dinamica<\/b><\/p>\n\n\n\n

      Calcoliamo le accelerazioni dei punti A e B, come somma di:
      \n– accelerazione gravitazionale lunare
      \n– componente uniforme dell\u2019accelerazione centrifuga
      \n– componente radiale dell\u2019accelerazione centrifuga
      \n– accelerazione di Coriolis.<\/p>\n\n\n\n

      Facendo attenzione al verso dei vettori, per il punto A possiamo scrivere:<\/p>\n\n\n\n

      (12) <\/span>   <\/span>\"\[\frac{GM_L}{(R-r_A)^2}-\omega^2c+\omega^2r_A-2\omega^2r_A=-\omega^2r_A+\Delta\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      ma tutti i termini in \"\omega^2r_A\" si cancellano, dunque<\/p>\n\n\n\n

        <\/span>   <\/span>\"\[\Delta=1.13\cdot10^{-6}\,\mathrm{m/s^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      Per il punto B sar\u00e0, ricordando che i vettori \"\vec{r_A}\" e \"\vec{r_B}\" sono opposti,<\/p>\n\n\n\n

      (13) <\/span>   <\/span>\"\[\frac{GM_L}{(R+r_B)^2}-\omega^2c-\omega^2r_B+2\omega^2r_B=\omega^2r_B+\Delta\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      anche stavolta tutti i termini in \"\omega^2r_B\" si cancellano, dunque<\/p>\n\n\n\n

        <\/span>   <\/span>\"\[\Delta=-1.07\cdot10^{-6}\,\mathrm{m/s^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      La cancellazione dei termini in \"\omega^2r\" non deve meravigliare: un po\u2019 di immaginazione fa capire che la rotazione dovuta al sistema di riferimento viene esattamente compensata dalla controrotazione. Tutta questa confusione deriva dalla scelta del sistema di riferimento: nel nostro modello fisico la Terra se ne sta pacificamente ferma rispetto alle stelle fisse.<\/p>\n\n\n\n

      Noi invece la vogliamo descrivere in un sistema di riferimento rotante: \u00e8 chiaro che essa dovr\u00e0 esibire una controrotazione.<\/p>\n\n\n\n

      Il campo radiale dunque viene cancellato. Rimane il solo campo uniforme, proprio come nel secondo caso.<\/p>\n\n\n\n

      Il centro della Terra \u00e8 sottoposto al campo uniforme di accelerazioni \"\omega^2c\" e all\u2019accelerazione di gravit\u00e0 lunare che, come abbiamo visto, hanno valore identico. La somma \u00e8 zero, infatti il centro della Terra \u00e8 fermo. Il che \u00e8 perfettamente ragionevole: le forze fittizie servono proprio per poter applicare la consueta legge \"F=ma\". Pertanto, se nel sistema di riferimento il centro della Terra appare fermo, \u00e8 perch\u00e9 l\u2019attrazione gravitazionale della Luna e la forza fittizia sono identiche.<\/p>\n\n\n\n

      Di nuovo, i valori numerici tornano, nonostante il sistema di riferimento abbia introdotto delle complicazioni.<\/p>\n\n\n\n

      Il lettore sar\u00e0 rimasto di certo perplesso a proposito della rotazione della Terra. Ci preme ribadire che anche se introducessimo una rotazione terrestre nel modello fisico, l\u2019effetto sarebbe di aumentare il diametro equatoriale della Terra, facendola diventare un ellissoide oblato. Tale deformazione per\u00f2 \u00e8 simmetrica e non produce le maree.<\/p>\n\n\n\n

      Caso 4: nel centro della Terra<\/h3>\n\n\n\n

      Scegliamo il sistema di riferimento nel centro della Terra e solidale rispetto alle stelle fisse. E\u2019 quello pi\u00f9 usato per rappresentare il campo vettoriale delle forze di marea. L\u2019unico inconveniente \u00e8 che tale campo vettoriale sar\u00e0 in rotazione, ma per i nostri scopi baster\u00e0 immaginarlo congelato ad un istante.<\/p>\n\n\n\n

      Dobbiamo ricordare quello visto nel caso 2: la Terra non sta ruotando, bens\u00ec traslando secondo un percorso circolare<\/em>! Di conseguenza nella nostra trattazione dovremo introdurre soltanto una accelerazione fittizia uniforme, rivolta in direzione opposta alla Luna, con intensit\u00e0 \"\omega^2c\". Essa \u00e8 dovuta al fatto che il centro del sistema di riferimento sta ruotando attorno a CM.
      \nGli assi del sistema di riferimento infatti non variano l’orientazione rispetto alle stelle fisse: questo sistema di riferimento – come quello di figura 1 – sta traslando.<\/p>\n\n\n\n


      \nFig. 15<\/em><\/p>\n\n\n

      \n
      \"\"\/<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

      Fig. 16 – A sinistra, la situazione vista da un sistema di riferimento inerziale. In questo quarto caso il sistema scelto \u00e8 solidale col centro della Terra. La situazione \u00e8 dunque analoga al secondo caso.
      A destra, infatti, \u00e8 evidenziato il campo uniforme di forze centrifughe.<\/em>
      <\/p>\n\n\n\n

      Cinematica<\/b><\/p>\n\n\n\n

      Il CM ruota attorno al centro della Terra con velocit\u00e0 angolare \u03c9<\/em>. Tutti i punti della Terra invece sono fermi.<\/p>\n\n\n\n

      Dinamica<\/b><\/p>\n\n\n\n

      Calcoliamo le accelerazioni dei punti A e B, come somma di:
      \n– accelerazione gravitazionale lunare
      \n– accelerazione fittizia.<\/p>\n\n\n\n

      Facendo attenzione al verso dei vettori: l\u2019accelerazione di A sar\u00e0<\/p>\n\n\n\n

      (14) <\/span>   <\/span>\"\[\frac{GM_L}{(R-r_A)^2}-\omega^2c=0+\Delta\]\"<\/p>
      \n

        <\/span>   <\/span>\"\[\Delta=1.13\cdot10^{-6}\,\mathrm{m/s^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      Mentre quella di B sar\u00e0:<\/p>\n\n\n\n

      (15) <\/span>   <\/span>\"\[\frac{GM_L}{(R+r_B)^2}-\omega^2c=0+\Delta\]\"<\/p>
      \n

        <\/span>   <\/span>\"\[\Delta=-1.07\cdot10^{-6}\,\mathrm{m/s^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      Di nuovo, il risultato \u00e8 identico al caso 2, qui per\u00f2 \u00e8 forse pi\u00f9 facile accettare l\u2019esistenza di un campo uniforme di accelerazioni fittizie perch\u00e9 viene \u201ctrasferito\u201d al sistema di riferimento.<\/p>\n\n\n\n

      L\u2019attrazione gravitazionale della Luna sul centro della Terra \u00e8 esattamente pari all\u2019accelerazione centrifuga: non esistendo forze nette, la Terra appare ferma.<\/p>\n\n\n\n

      Caso 5: nel centro della Luna<\/h3>\n\n\n\n

      Scegliamo il sistema di riferimento nel centro della Luna e rotante assieme alla Terra. Apparentemente si tratta di una scelta bizzarra, di nessun interesse pratico, invece mostra un punto di vista nel quale sorgono pi\u00f9 forze fittizie, ma ancora una volta \u2013 sorprendentemente \u2013 si compensano e lasciano il \u201csolito\u201d risultato finale.<\/p>\n\n\n\n

      Cinematica<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      La Terra e la Luna sono ferme, ma la Terra ruota sul proprio asse in senso orario con velocit\u00e0 angolare \u03c9<\/em>.
      \nTutti i punti della superficie terrestre dunque hanno una accelerazione centripeta di modulo \"\omega^2r\".<\/p>\n\n\n

      \n
      \"\"\/<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

      Fig. 17 – A sinistra, la situazione vista da un sistema di riferimento inerziale. In questo quinto caso il sistema scelto \u00e8 solidale col centro della Luna e rototraslante.
      \nA destra sono evidenziati i due campi di forze apparenti: uno uniforme e l’altro radiale centrato sulla Luna. Nella rappresentazione manca il campo di forze di Coriolis. <\/em><\/p>\n\n\n\n

      Dinamica<\/strong><\/p>\n\n\n\n

      Questo sistema di riferimento non solo ruota su se stesso, ma compie un percorso circolare attorno al CM. Pertanto \u00e8 in moto rototraslatorio<\/em>, che genera ben tre campi di forze apparenti.<\/p>\n\n\n\n

      Uno \u00e8 uniforme, con accelerazione di intensit\u00e0 \"\omega^2(R-c)\" ed \u00e8 dovuto alla traslazione del centro del sistema di riferimento attorno al CM.
      \nGli altri due sono dovuti alla rotazione del SR attorno alla propria origine. Essa genera una accelerazione centrifuga di intensit\u00e0 \"\omega^2x\" dove con x<\/em> abbiamo indicato la distanza dalla Luna dal punto di cui vogliamo calcolare l’accelerazione. Genera poi una accelerazione di Coriolis la quale – come gi\u00e0 detto – ha intensit\u00e0 \"2\omega v=2\omega^2r\" ed il verso \u00e8 dato dal prodotto vettoriale tra \u03c9<\/em> e v<\/em>, cambiato di segno.<\/p>\n\n\n\n

      Ripetiamo il calcolo delle accelerazioni per i punti A e B, come somma di:
      \n– accelerazione gravitazionale lunare
      \n– accelerazione fittizia uniforme
      \n– accelerazione fittizia centrifuga
      \n– accelerazione fittizia di Coriolis<\/p>\n\n\n\n

      Facendo attenzione al verso dei vettori: l\u2019accelerazione di A sar\u00e0<\/p>\n\n\n\n

      (16) <\/span>   <\/span>\"\[\frac{GM_L}{(R-r_A)^2}+\omega^2(R-c)-\omega^2(R-r_A)-2\omega^2r_A=-\omega^2r_A+\Delta\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      ma tutti i termini in \"\omega^2r_A\" e \"\omega^2R\" si cancellano, dunque<\/p>\n\n\n\n

        <\/span>   <\/span>\"\[\Delta=1.13\cdot10^{-6}\,\mathrm{m/s^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      Mentre quella di B sar\u00e0, ricordando che i vettori \"\vec{r_A}\" e \"\vec{r_B}\" sono opposti,<\/p>\n\n\n\n

      (17) <\/span>   <\/span>\"\[\frac{GM_L}{(R+r_B)^2}+\omega^2(R-c)-\omega^2(R+r_B)+2\omega^2r_B=\omega^2r_B+\Delta\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      anche stavolta tutti i termini in \"\omega^2r_B\" e \"\omega^2R\" si cancellano, dunque<\/p>\n\n\n\n

        <\/span>   <\/span>\"\[\Delta=-1.07\cdot10^{-6}\,\mathrm{m/s^2}\]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

      Di nuovo, abbiamo ottenuto lo stesso risultato dei due casi precedenti.<\/p>\n\n\n\n

      Conclusione<\/h3>\n\n\n\n

      Fermiamoci a riflettere su un fatto importante, emerso nelle diverse trattazioni.<\/p>\n\n\n\n

      Alla attrazione lunare nei diversi punti della superficie terrestre si deve sottrarre sempre un campo uniforme<\/em>, il cui valore guarda caso \u00e8 esattamente pari all\u2019attrazione lunare al centro della Terra. Perch\u00e9?<\/p>\n\n\n\n

      La risposta sta nel significato profondo della condizione \u201cessere in orbita attorno ad un corpo celeste\u201d. Questa condizione \u00e8 equivalente, sotto tutti i punti di vista, all\u2019essere in caduta libera.
      \nLa Terra \u00e8 in caduta libera verso la Luna, attratta dalla forza gravitazionale. Per questo motivo essa subisce una accelerazione uniforme di intensit\u00e0 \"\frac{GM_L}{R^2}\". Dato che per\u00f2 non cade in moto rettilineo ma \u00e8 in orbita, tale accelerazione lineare si \u201ctrasforma\u201d in una accelerazione centripeta \"\omega^2c\", di pari intensit\u00e0.<\/p>\n\n\n\n

      Il fatto che la Terra ruoti attorno al CM o su se stessa purtroppo getta fumo negli occhi: questi effetti non introducono alcuna deformazione mareale, in compenso hanno buon gioco a confondere le idee.<\/p>\n\n\n\n

      Ecco, infine, un widget interattivo che comprende tutti i casi finora illustrati.<\/p>\n\n\n