Il problema posto si risolve sfruttando la legge di conservazione dell’Energia Meccanica che è una grandezza propria di ogni sistema meccanico ed è la somma di Energia Cinetica e Energia Potenziale.
L’energia cinetica K di un corpo è data dall’espressione
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dove m è la massa e v la velocità del corpo. Essa rappresenta la quantità di energia trasportata dal corpo e associata al suo stato di moto1.
L’energia potenziale del corpo dipende dal tipo di forze conservative che agiscono nello spazio in cui il corpo si muove2. Questa energia è legata alla posizione e non allo stato di moto o di quiete. Nel caso in esame l’energia potenziale presente è quella gravitazionale che è data dall’espressione
dove G è una costante universale, M è la massa della Terra, m quella del corpo e r la distanza tra i due centri di massa, il segno negativo è dovuto al fatto che la forza di gravità è attrattiva.
Dato che dobbiamo ragionare in assenza di aria allora la forza di gravità è l’unica presente e quindi, essendo conservativa, lungo tutto il moto deve conservarsi l’energia meccanica. Nell’istante iniziale del moto la distanza tra i due centri di massa sarà praticamente pari al raggio terrestre R (circa 6375km), mentre le velocità iniziale sarà v0. Allora l’energia meccanica in questo istante è
Considerando invece l’istante in cui il corpo ha raggiunto l’altezza massima H rispetto alla superficie terrestre la stessa quantità di energia meccanica sarà espressa solo dall’energia potenziale, dato che in questo istante il corpo sarà fermo (altrimenti l’altezza non sarebbe massima in quanto il corpo starebbe ancora salendo oppure già scendendo) cioè
Uguagliando queste due espressioni (che, in virtù della conservazione, devono rappresentare la stessa quantità di energia meccanica) si ottiene un’equazione
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Risolvendo questa equazione otteniamo l’espressione voluta
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È interessante fare qualche considerazione sull’equazione e sul risultato che se ne ricava. Innazitutto notiamo che il secondo membro dell’equazione è certamente negativo (al massimo può essere nullo se H è infinito), mentre il primo membro è la somma di un termine positivo e uno negativo. Questa equazione può essere risolta, con significato fisico, solo se anche il primo membro è negativo. Questo significa che non per tutti i valori della velocità iniziale esiste un’altezza massima. Inponendo che il primo membro sia negativo
si ricava la condizione che il corpo raggiunge un’altezza massima e torna indietro solo se
Il valore a destra di questa espressione rende nullo il denominatore dell’espressione per H, quindi corrisponde ad una distanza infinita. Per tale motivo questo valore della velocità è detto di fuga, in quanto è la velocità minima necessaria ad un corpo per allontanarsi indefinitamente dalla Terra, in corrispondenza della quale però la velocità del corpo diminuisce verso zero man mano che la distanza dalla Terra aumenta. Valori superiori permettono un allontanamento indefinito pur conservando sempre un valore della velocità strettamente maggiore di una quantità positiva (velocità residua che corrisponde ad un’energia cinetica pari al primo membro dell’equazione di bilancio energetico).
1 Da non confondere con l’energia contenuta nel corpo per effetto del moto dei suoi costituenti microscopici e delle interazioni che tengono insieme queste costituenti che va sotto il nome di Energia Interna, e che è studiata approfonditamente dalla Termodinamica.
2 Anche se si usa l’espressione "energia potenziale del corpo" non bisogna commettere l’errore di pensare che questa energia sia trasportata dal corpo, nel senso che si sposta con esso: questa energia è contenuta nel campo di forze presente nello spazio circostante e non è possibile sfruttare questa energia senza interagire con il campo stesso. La differenza dovrebbe essere chiara riflettendo sul fatto che l’energia cinetica di un corpo può essere "rubata" solo entrando in interazione (per esempio, mediante un urto) con il corpo che la trasporta, mentre l’energia potenziale di un corpo non può essere usata solo interagendo con il corpo stesso (a meno che non ci sia prima una conversione potenziale-cinetica); infine la realtà del campo di forze (e dell’energia che possiede e trasporta) è evidente dal fatto che le onde elettromagnetiche (che sono un campo elettromagnetico in movimento) trasportano energia (che è di tipo potenziale), la quale può essere assorbita direttamente entrando in interazione con esse.