I numeri transfiniti

"Dopo Kant ha acquistato cittadinanza tra i filisofi la falsa idea che il limite ideale del finito sia l'assoluto, mentre in verità tale limite può venir pensato solo come transfinito [...] e precisamente come il minimo di tutti i transfiniti..." (G. Cantor 1885).

L'idea dominante fino a Cantor era stata infatti che se l'infinito esiste allora è unico, è l'assoluto oltre il quale non si può andare. Cantor dimostrò invece che esistono infiniti più grandi e infiniti più piccoli.

Si definisce numerabile ogni insieme che possa essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali N, cioè sia equipotente ad N (nella definizione di Cantor data nella sezione precedente), e si definisce potenza del numerabile o X ₀ tale numero cardinale infinito.

Cantor dimostrò con estrema semplicità due fatti apparentemente straordinari e cioè che i numeri interi (...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) e i numeri razionali sono insiemi numerabili.

I numeri interi sono un insieme numerabile

L'affermazione sarà provata se si riuscirà a costruire una corrispondenza biunivoca tra N e Z (= insieme degli interi). Per fare ciò basterà ordinare gli elementi di Z in modo opportuno (non necessariamente corrispondente a quello naturale): 0 1 -1 2 -2 3 -3 ... la corrispondenza biunivoca con N è presto fatta:     0 1  2 3  4 5  6 ... | |  | |  | |  |  | 0 1 -1 2 -2 3 -3 ...

I numeri razionali sono un insieme numerabile

Anche in questo caso basterà ordinare i razionali in modo "adeguato", tenendo conto tra l'altro che non esiste un ordinamento naturale, cioè secondo grandezza, per le frazioni visto che tra due razionali se ne può sempre trovare un altro. Converrà ordinare quindi le frazioni nel senso della freccia: Si potrà ora costruire una corrispondenza biunivoca tra Q (l'insieme dei razionali) ed N nel modo seguente:      1  2  3  4  5 ...   |   |   |   |   |  | 1/1 2/1 1/2 1/3 2/2 ... Si presti attenzione al fatto che i numeri razionali 1/1, 2/2, così come 3/3 e tutti quelli della forma n/n, costituiscono dei numeri razionali distinti. Non deve trarre in inganno il fatto che tali numeri sono equivalenti al numero 1. Con il numero 1 indichiamo la classe di equivalenza i cui elementi sono quei numeri razionali che espressi in forma frazionaria si scrivono n/n. La corrispondenza biunivoca viene quindi salvaguardata.

Gia da questi esempi si può vedere come molti insiemi che sembrano più grandi dei numeri naturali siano in realtà numerabili, ma non ogni insieme infinito è numerabile.

Dimostrando quest'ultima affermazione il 12 Dicembre 1873 Cantor fece fare un passo avanti al pensiero matematico e filosofico e provò l'esistenza dell'infinito attuale transfinito, sempre accrescibile, non assoluto.

Infatti l'insieme dei punti di un segmento non è numerabile:

si supponga per assurdo che i numeri reali compresi tra 0 e 1 (cioè il segmento di estremi 0 e 1) siano numerabili; essi potranno allora essere espressi come numeri decimali e potranno essere ordinati secondo l'ordine numerabile:

a₁ = 0,a₁₁a₁₂a₁₃...

a₂ = 0,a₂₁a₂₂a₂₃...

...

ma allora il numero

b = 0,b₁b₂b₃...

tale che

b_k = 9 se a_kk =1 e b_k = 1 se a_kk ≠ 1

è diverso da tutti quelli elencati ed è compreso tra 0 e 1, contro l'ipotesi di aver elencato tutti i numeri reali tra 0 e 1.

Conseguenza di ciò è che i punti di un segmento sono più dei naturali, cioè più di X₀ . essi saranno X₁ (con X₀ < X₁) ed X₁ si chiamerà potenza del continuo.

"Questa dimostrazione appare degna di nota non solo a causa della sua grande semplicità, ma, specificatamente, anche perché il principio in essa seguito si lascia senz'altro estendere al Teorema generale, che le potenze di insiemi ben definiti non abbia alcun massimo, ossia, il che è lo stesso, che ad ogni insieme dato L può essere messo a fianco un altro indieme M di potenza maggiore di L" (G. Cantor).

Prima di affrontare la dimostrazione del Teorema generale di cui parla Cantor, è opportuno ricordare il seguente teorema:

dato un insieme A di n elementi, tale cioè che

| A | = n (misura di A)

l'insieme delle sue parti, ossia l'insieme i cui elementi sono i sottinsiemi di A, in simboli P(A), avrà 2ⁿ elementi, cioè

|P(A)| = 2ⁿ (misura delle parti di A)

Conseguenza di ciò è che l'insieme delle parti di P(A) avrà allora 2ⁿ elementi e così via.

È questo dunque il metodo per costruire insiemi di potenza via via crescente all'infinito: partendo dai numeri naturali avremo:

_X0

|N| = X₀    |P(N)| = 2^X0     |P(P(N)))| = 2^|P(N)| ...

Cantor riuscì così a dimostrare l'esistenza di infiniti numeri transfiniti maggiori di X₀.

Egli dimostrò inoltre che 2^X0 = X₁, cioè che la potenza del continuo ha la stessa cardinalità dell'insieme delle parti di N.

Cantor ipotizzò, ma non riuscì a dimostrarlo, che il continuo è la potenza immediatamente successiva al numerabile (ipotesi del continuo).

L'Infinito in matematica (sommario)