La rettificazione della circonferenza

Il problema della rettificazione della circonferenza, cioè di riuscire a calcolare la lunghezza della circonferenza, ha appassionato molti eminenti filosofi dell'antica Grecia, Questo problema venne risolto in modo soddisfacente e non contraddittorio rispetto alle convinzioni del tempo da Eudosso di Cnido (IV secolo a.C.). Egli fornì il lemma che costituisce la base del metodo di esaustione: "date due grandezze aventi un certo rapporto (nessuna delle quali sia zero) è possibile trovare un multiplo dell'una che superi l'altra".

Metodo di esaustione

Se da una qualsiasi grandezza si sottrae una parte non inferiore alla sua metà, e se dal resto si sottrae ancora non meno della sua metà, e se questo processo di sottrazione viene continuato, alla fine rimarrà una grandezza inferiore a qualsiasi grandezza dello stesso genere precedentemente assegnata.

I matematici precedenti avevano suggerito di risolvere il problema inscrivendo e circoscrivendo alla circonferenza dei poligoni aventi un numero di lati sempre crescente; in tal modo la misura di ogni lato approssima sempre di più l'arco di circonferenza sotteso e il perimetro dei poligoni approssima la misura della circonferenza.

Nasceva però a questo punto un problema: è possibile sostenere che "alla fine" i poligoni si identificheranno con la circonferenza e che i rispettivi lati potranno essere considerati archi "infinitesimali" della stessa?

Antifonte affermava che questo era possibile, ma così facendo confutava il concetto di infinito come infinito potenziale contraddicendo così il pensiero di Aristotele: le asserzioni di Antifonte portavano infatti a considerare la circonferenza come un poligono con un numero infinito di lati e ad accettare perciò la stessa come un infinito attuale. Aristotele ovviamente contestò le affermazioni di Antifonte: egli affermò infatti che l'insieme dei poligoni inscritti (e circoscritti) nella circonferenza è un insieme illimitato nel senso che per ogni poligono con un numero comunque elevato di lati ne esisterà un altro con un numero di lati ancor più elevato che non potrà coincidere con la circonferenza perché ammetterà dopo di se' un ulteriore poligono con un numero di lati ancora maggiore ... riproponendo quindi il concetto di infinito come processo di ecceterazione e quindi come infinito potenziale.

Come precedentemente detto il problema della rettificazione della circonferenza poté essere risolto solo grazie al Lemma di Eudosso, mediante una reductio ad absurdum (provando che il risultato non può non essere quello, si dimostra infatti, poiché due negazioni successive affermano, che deve necessariamente essere quello).

Supponiamo infatti che la lunghezza C della circonferenza di raggio r non sia 2pr, ma sia un numero più piccolo cioè

(¹ ) C < 2pr

Ma allora per il Lemma di Eudosso è possibile trovare un poligono inscritto nella circonferenza con un numero sufficientemente grande di lati, il perimetro del quale, certamente minore della circonferenza, ha misura maggiore di C .

Supponiamo al contrario

(² ) C > 2pr

ma allora è possibile, analogamente a quanto visto prima, trovare un poligono circoscritto alla circonferenza il cui perimetro è minore di C.

essendo perciò assurdo supporre sia (¹ ) che (²) non resta che affermare che

C = 2pr

"Questo procedimento ineccepibile dal punto di vista logico-formale non è altro che il panno logico con il quale l'infinito potenziale nasconde le vergogne dell'infinito attuale. È qui evidente un problema fondamentale risolto da Cantor nell'Ottocento: è possibile solo una suddivisione del continuo in un numero quanto si voglia grande di parti, solo una infinità potenziale di suddivisioni, oppure si può pensare il continuo come una infinità in atto di componenti ultime, altissime, indivisibili?" (L. Lombardo Radice).

L'Infinito in matematica (sommario)