Pitagora e i segmenti incommensurabili
(biografia di Pitagora)

Uno dei dogmi del pitagorismo era stata la concezione secondo cui l'essenza di tutte le cose, sia in geometria, sia nelle questioni pratiche e teoriche della vita umana era spiegabile in termini di arithmos, cioè di proprietà intrinseche dei numeri interi e dei loro rapporti. Essi credevano che i corpi fossero costituiti di corpuscoli tutti uguali tra loro e disposti in forme geometriche. Questa convinzione in ambito geometrico portava a ritenere che anche i punti avessero un'estensione (sia pure piccolissima). Da ciò essi deducevano che un segmento dovesse essere formato da un numero finito di punti. Pertanto il rapporto di due segmenti doveva risultare uguale al rapporto di numeri interi che esprimevano quante volte il punto era contenuto in ciascuno dei due segmenti. In altre parole essi pensavano che il punto fosse il sottomultiplo comune a tutti i segmenti; cioè che tutti i segmenti fossero tra loro commensurabili.

Grandezze commensurabili

Due grandezze omogenee si dicono commensurabili quando ammettono una grandezza omogenea alle prime due che è contenuta un numero intero di volte in ciascuna di esse

Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo isoscele essi furono però costretti ad ammettere l'esistenza di grandezze incommensurabili: scoprirono infatti l'incommensurabilità della diagonale del quadrato rispetto a ciascuno dei cateti.

Detti l e d il lato e la diagonale di un quadrato supponiamo per assurdo che essi siano commensurabili cioè che il loro rapporto l/d sia esprimibile mediante una frazione p/q con p e q numeri interi.

Per il Teorema di Pitagora è

d² = l²+l² = 2l² da cui d²/l² = 2l²/l² = 2 ma è anche d²/l² = p²/q² da cui p²/q² = 2 cioè

(*) p² = 2q²

ma allora p² è pari e contiene il fattore 2 un numero pari di volte (è elevato al quadrato), mentre 2q² contiene il fattore 2 un numero dispari di volte (indipendentemente dal fatto che q sia pari o dispari); è quindi assurdo supporre vera la (*) e l'assurdo nasce dall'aver supposto d e l commensurabili.

Ma se d e l sono incommensurabili, cosa succede se si tenta di determinare il rapporto l/d?

Riportando sulla diagonale prima l, poi 1/10 l, poi 1/100 l,... si ha:

l<d; 1,4 l<d; 1,41 l<d; ...

e così via all'infinito; cioè il rapporto tra grandezze incommensurabili è espresso mediante un numero decimale illimitato aperiodico (se fosse periodico sarebbe riducibile a frazione) che viene chiamato numero irrazionale.

L'esistenza di grandezze incommensurabili e conseguentemente dei numeri irrazionali contraddiceva non solo le convinzioni filosofiche dei pitagorici, ma metteva anche in crisi il concetto di infinito della filosofia greca; non c'è da meravigliarsi perciò del fatto che fu proibito ai membri della setta di rivelare ad altri queste scoperte considerate blasfeme e sconcertanti.

Il numero irrazionale, inoltre, sembrava contraddire la verità per cui nulla esiste se non ciò che è attuale, infatti, pur sembrando sprovvisto di un'esistenza attuale (non può essere esibito come l'insieme di "tutte" le sue cifre), esso rappresenta indubbiamente "qualcosa".

L'Infinito in matematica (sommario)