Achille e la Tartaruga

Uno dei più famosi paradossi dell'infinito potenziale è quello di "Achille e la tartaruga" in cui Zenone di Elea (V secolo a.C.) sembra dimostrare l'impossibilità del moto.

Supponiamo che Achille sia due volte più veloce della tartaruga e che entrambi gareggino lungo un percorso di un metro. Supponiamo inoltre che Achille dia mezzo metro di vantaggio alla tartaruga.

Quando Achille avrà percorso mezzo metro, la tartaruga si troverà più avanti di Achille di un quarto di metro; quando Achille avrà percorso quel quarto, la tartaruga si troverà avanti di un ottavo di metro e così via all'infinito cioè Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Se osserviamo il percorso di Achille troviamo che esso è dato da infiniti tratti che costituiscono la successione

1/2 ; 1/2 + 1/4 = 3/4; 3/4 + 1/8 = 7/8; 7/8 + 1/16 = 15/16; ... ; (2ⁿ - 1)/2ⁿ

ed è facile osservare che questa successione tende a 1. Vediamo così che una somma di quantità finite in un numero illimitato non è necessariamente finita.

Cosa significa l'espressione "tende a 1"?

Se indichiamo con s_n la somma dei primi n tratti percorsi da Achille allora s_n, per quanto grande sia n, si avvicina a 1, pur rimanendone sempre minore.

La differenza tra 1 ed s_n, per n opportunamente grande, si fa più piccola di un qualsiasi numero per quanto piccolo da noi scelto.

È questa una proprietà caratteristica del Limite definito nell'Ottocento da Weierstrass.
Limite di una successione

Si dice che una successione di numeri s_n ammette limite S

se

(per ogni epsilon maggiore di zero esiste un n segnato tale che la differenza in modulo tra l'ennesimo elemento della succesione s e il limite S è minore di epsilon per ogni n maggiore o uguale a n segnato)

**Limite di una successione**
Si dice che una successione di numeri s_n ammette limite S se (per ogni epsilon maggiore di zero esiste un n segnato tale che la differenza in modulo tra l'ennesimo elemento della succesione s e il limite S è minore di epsilon per ogni n maggiore o uguale a n segnato)

Con la nozione matematica di limite si può dunque disporre della soluzione del paradosso. Infatti, pur conservando l'idea di un processo e di una potenzialità illimitata, il limite ha il potere di risolvere tale potenzialità in una unità formale.

È perciò possibile esprimere concretamente la soluzione finale di un processo illimitato senza rinunciare al carattere potenziale di quest'ultimo: l'inesauribilità di questo processo resta un fatto irrinunciabile, ma non per questo dobbiamo accontentarci di soluzioni approssimate. Il valore 1 è un limite che "comprende" tutta la successione (2ⁿ- 1)/2ⁿ , è una soluzione della potenzialità di sviluppo di tale successione, pur mantenendosi sempre al di fuori di questa.

L'Infinito in matematica (sommario)