Le sezioni di Dedekind
(biografia di Dedekind)

R. Dedekind nel 1872 affrontò e risolse come due aspetti di uno stesso problema le due grandi questioni che avevano messo in crisi l'infinito potenziale aristotelico: i numeri irrazionali e il "continuo".

Egli si chiese che cosa caratterizzasse il continuo rispetto ai razionali.

Galilei e Leibniz avevano affermato che la "continuità" dei punti di una retta fosse dovuta alla loro densità, cioè al fatto che tra due punti qualsiasi esiste sempre un terzo punto.

Tuttavia anche i numeri razionali godono di questa proprietà, ma non formano un continuo; non è possibile cioè costruire una corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta e i numeri razionali: infatti si fissi sulla retta r un punto O ed una unità di misura u e si faccia corrispondere ad un numero razionale a il punto P della retta la cui distanza da O sia individuata dal segmento di lunghezza a.

Si crea così una corrispondenza tra i punti della retta ed i numeri razionali; tale corrispondenza, però, non è biunivoca perché ad infiniti punti della retta non corrisponde alcun numero razionale come nel caso del punto Q del seguente disegno la cui distanza da O è pari alla lunghezza della diagonale del quadrato di lato 1, che come è noto, è

Per risolvere i due aspetti di questo problema, cioè dare una definizione di continuità e "scoprire" i numeri "mancanti" per creare una corrispondenza biunivoca con la retta, Dedekind procedette nel seguente modo:

fissò assiomaticamente una proprietà che caratterizzasse la continuità della retta;
definì i numeri "reali" in modo da poter costruire una biiezione tra una retta e tali numeri.

Relativamente al primo problema Dedekind stabilì che l'essenza della continuità non sta tanto nella densità dei suoi punti, quanto in una proprietà esattamente contraria, cioè nella particolare natura della divisione di un segmenti in due parti mediante un punto giacente su di esso: in qualsiasi divisione di un segmento (o di una retta) in due classi tali che ciascun punto appartenga ad una ed una sola classe e che ogni punto della prima classe si trova a sinistra di ciascun punto dell'altra, c'è uno ed un solo punto che determina la divisione.

Il secondo problema fu risolto osservando che ogni numero razionale x individua analogamente una "sezione" del corpo razionale, individua cioè una coppia di classi A₁, A₂tali che ogni numero di A₁ è minore di ciascun numero di A₂, mentre x è il più grande numero di A₁ o il più piccolo di A₂; esso risulta comunque univocamente determinato dalla coppia (A₁, A₂) per cui si può dire che x sia la coppia (A₁, A₂).

Ma non sempre una coppia (A₁, A₂) che sia una sezione dei razionali può individuare un numero razionale, così come ad una sezione (cioè ad un punto) della retta non sempre corrisponde un razionale (è il caso del punto Q dell'esempio precedente); ogni volta che ciò accade, allora, è legittimo, pensò Dedekind, "creare" un nuovo numero y che corrisponda alla coppia (A₁, A₂), cioè che sia esso stesso la coppia (A₁, A₂). Tale numero è un irrazionale.

La proprietà di continuità del corpo reale (razionali e irrazionali), risulta così collegata alla continuità della retta e tuttavia la definizione di numero reale, e in particolare di numero irrazionale, è del tutto "sganciata" da una eventuale rappresentazione geometrica; è proprio questo che conferisce agli irrazionali "dignità" di numero: il fatto che la loro esistenza prescinda da una qualsiasi visualizzazione geomerica.

"Tuttavia l'irrazionale non è un infinito attuale in senso categorico, esso è piuttosto l'invisibile soluzione di un processo illimitato e teleologicamente ordinato. E' perciò opportuno vedere nella 'sezione' di Dedekind non tanto un 'taglio' che indichi una effettiva locazione del numero, quanto piuttosto una approssimazione successiva a due limiti tra loro adiacenti della classe inferiore A₁ e della classe superiore A₂ ed è perlomeno discutibile, in linea di principio, configurarsi il limite di tale processo come un'entità realmente osservabile, quale potrebbe apparire un punto geometrico: il numero irrazionale è lo stesso processo" (P.Zellini).

L'Infinito in matematica (sommario)