L'Infinito
in matematica (sommario) Cantor e i paradossi dell'infinito attuale
(biografia di Cantor)
"Chiamiamo equivalenti due insiemi M ed N, se è possibile porli in una relazione tale che ad ogni elemento di uno di essi corrisponda un elemento e uno soltanto dell'altro".
Questa definizione di equivalenza, o, come si dice oggi, di equipotenza, è nella sua semplicità ed apparente banalità, una grande scoperta infatti grazie a questa definizione, estesa da Cantor anche agli insiemi infiniti, fu possibile risolvere i paradossi che avevano fermato Galilei.
Primo Paradosso: una parte può essere uguale al tutto purché non vi siano ambiguità nel significato che si dà alla parola uguale: se per uguale infatti si intende identico (per colore, per forma,...) allora certamente una parte non potrà mai essere uguale al tutto, perché il tutto contiene necessariamente qualche elemento che nella parte, proprio perchè parte, non sta. Ma se per uguale si intende equipotente nel senso della definizione di Cantor sopra riportata, cioè uguale per numero, allora questo è possibile. E' possibile perciò che una parte sia uguale per numero al tutto, ma solo nel caso che gli insiemi siano infiniti: questa è infatti una caratteristica degli insiemi infiniti.
Un insieme S si chiama infinito se è equipotente ad una sua parte propria; nel caso opposto si chiama finito. Questa definizione apparsa nel quinto paragrafo del libro "Il finito e l'infinito" di Dedekind, capovolge un modo di pensare millenario: si era sempre definito l'infinito a partire dal finito, come non-finito; ora invece è il finito ad essere non-infinito. |
Secondo Paradosso: i punti dello spazio sono tanti quanti quelli di un segmento piccolo a piacere.
Dimostriamo questa affermazione in tre momenti:
1. Un quadrato di lato unitario ha tanti punti quanti un suo lato.
Si tratta di costruire una corrispondenza biunivoca tra i punti del quadrato e i punti di un suo lato.
Su un sistema di riferimento cartesiano sia Q
un quadrato di vertici (0,0); (0,1); (1,1), (1,0)
un punto P del quadrato avrà coordinate (x, y) dove x e y sono misure di segmenti non maggiori del lato; essi sono perciò numeri compresi tra 0 e 1 e possono essere scritti in forma decimale:
x = 0,a1a2a3... y = 0,b1b2b3...
dove ai e bi sono cifre comprese tra 0 e 9 (ad esempio 0,97563...); ci sono allora due possibilità:
t = 0,a1b1a2b2a3b3...
che identifica univocamente un punto del lato del quadrato.
Viceversa ad un qualunque punto del lato cui corrisponde univocamente il numero
t = 0,t1t2t3t4t5t6...
si può far corrispondere la coppia ordinata
x = 0,t1t3t5... y = 0,t2t4t6...
che individua un punto del quadrato.
La corrispondenza biunivoca tra punti del quadrato
e punti di un suo lato è così costruita e l'affermazione
iniziale è perciò dimostrata.
2. Un cubo di lato unitario ha tanti punti
quanti un suo lato.
Analogamente a quanto visto sopra ad un punto P del cubo corrisponde una terna di punti (x, y, z) con x, y e z compresi tra 0 e1. Siano perciò
x = 0,a1a2a3... y = 0,b1b2b3... z = 0,c1c2c3...
si può allora far corrispondere ad essi il punto
t = 0,a1b1c1a2b2c2a3b3c3...
anche esso compreso tra 0 e1. Viceversa al punto
t = 0,t1t2t3t4t5t6...
si può far corrispondere il punto del cubo di coordinate
x = 0,t1t4... y = 0,t2t5... z = 0,t3t6...
ed anche in questo caso si è costruita una corrispondenza biunivoca tra tutto il cubo ed un suo lato.
3. Lo spazio ha tanti punti quanti un segmento piccolo a piacere.
Basterà pensare di ingrandire il cubo fino a fargli invadere tutto lo spazio. D'altra parte il suo lato, che "è diventato" una retta, contiene tanti punti quanti un segmento piccolo a piacere come fa vedere, meglio di una lunga spiegazione, la figura:
Conseguenza sorprendente di queste affermazioni è
che la dimensionalità non costituisce un criterio per stabilire
la potenza di un insieme (infatti segmento, quadrato, cubo, spazio
sono tutti equipotenti).
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