Piergiorgio Odifreddi
Calcoli di varia umanità
Gli aspetti scientifici della matematica sono ben noti: meno note sono le applicazioni alle scienze umane, a lungo considerate refrattarie a un trattamento formale e preciso. Per sfatare questo mito negativo, vogliamo mostrare come anche insospettabili aspetti della vita umana, dalla procreazione al matrimonio, si prestino a una presentazione matematica.
Nascite
Il dilemma apparentemente insolubile presentato dalla nascita viene formulato mediante la fatidica domanda: viene prima l’uovo o la gallina? La scienza ha dato una risposta alla domanda nel 1957, quando Francis Crick, scopritore nel 1953 della struttura del DNA insieme a James Watson, e vincitore nel 1962 del premio Nobel per la medicina grazie a tale scoperta, formulò allora quello che chiamò il dogma centrale della biologia.
Come spiega nella sua autobiografia, egli non intese l’espressione dogma nel senso di “verità di fede”, bensì di “assunto fondamentale” posto alla base della spiegazione molecolare dei meccanismi darwiniani dell’evoluzione. Che cosa dice dunque tale dogma?
Semplicemente, che si va dall’informazione contenuta negli acidi nucleici (DNA e RNA) e nelle sequenze di aminoacidi (triplette di nucleotidi A, T, C, G) alle proteine, ma non viceversa. In particolare, che non si può creare un organismo senza avere prima la sua informazione genetica, e quindi che l’uovo viene prima della gallina. Questa conclusione può risultare sorprendente, ma essa era già implicita nelle teorie di Darwin, senza dover scomodare Crick e il DNA.
Ad esempio, nel secolo scorso, Samuel Butler ironizzava appunto sul darwinismo presentandolo, letteralmente, come la teoria secondo cui la gallina non è che un mezzo per la riproduzione dell’uovo. Teoria che oggi ha una riformulazione seria nel concetto di gene egoista, divulgato da Richard Dawkins in un omonimo libro del 1976, secondo cui gli organismi (uomini compresi) non sono altro che mezzi per la riproduzione dei geni: in particolare, non solo i geni vengono prima degli organismi, ma sono essi le vere unità della selezione naturale!
In una direzione complementare, lo stesso Butler si spinse fino ad affermare provocatoriamente, nel romanzo Erewhon del 1872, che l’uomo potrebbe non essere altro che un mezzo per la riproduzione delle macchine! Un secolo dopo, l’effettiva proliferazione delle macchine sul pianeta, e il ruolo che esse hanno assunto nella nostra vita, dovrebbe spingerci a meditare seriamente su questa possibilità, e sulle proposte che Butler avanzava per rimediarvi (deliziosamente descritte nei capitoli XXIII-XXV del suo romanzo). Abbandonando l’ironia di Butler, vorremmo però considerare più da vicino la possibilità che le macchine possano autoriprodursi, a rischio di offendere la suscettibilità di qualcuno. La risposta, positiva, avrà interessanti conseguenze per il problema da cui siamo partiti.
Anzitutto, consideriamo una macchina C che sia un costruttore universale, nel senso che sappia costruire una qualunque macchina M di un certo tipo, a partire da una sua descrizione m. In particolare, la macchina C può costruire una copia di se stessa, a partire dalla propria descrizione c. Ma questa non è ancora una soluzione al problema dell’autoriproduzione: si parte infatti dalla macchina C e da una sua descrizione c, e si ottiene soltanto una copia della macchina C stessa, senza una copia della sua descrizione c.
Per ovviare al problema, consideriamo allora una macchina F che sia una fotocopiatrice universale, nel senso che sappia riprodurre una copia di qualunque descrizione m. Accoppiando le macchine C ed F, se ne può ottenere una nuova A che, a partire dalla descrizione m, ne faccia una copia, costruisca M, e le inserisca la copia di m. La macchina A con la propria descrizione è ora effettivamente autoriproducentesi, perché costruisce A e le inserisce la descrizione a.
Il meccanismo appena descritto fornisce un modello matematico della riproduzione biologica: la descrizione m svolge il ruolo di un gene (un segmento di DNA) che codifica l’informazione per la riproduzione; F (uno speciale enzima, detto RNA polimerasi) ha la funzione di duplicare il materiale genetico in un segmento di RNA; C (un insieme di ribosomi) costruisce proteine secondo l’informazione di questo segmento; A è una cellula autoriproducentesi. Naturalmente il modello è semplificato, per il fatto che i geni contengono soltanto una codifica parziale delle informazioni necessarie per la riproduzione, il che produce copie non perfettamente identiche all’originale. Ma copie non identiche si possono ottenere anche fornendo ad A descrizioni di macchine leggermente diverse da A stessa, modellando così mutazioni di vario genere.
A scanso di equivoci, il modello appena presentato per l’autoriproduzione delle macchine ha preceduto, e non seguito, il lavoro di Crick e Watson: esso è stato elaborato da John von Neumann nel 1951, come primo passo della sua effettiva costruzione di automi cellulari autoriproducentesi. La versione più semplice di tali automi è il cosiddetto gioco della vita, inventato da John Conway nel 1970.
Consiste di una scacchiera illimitata, ciascuna casella della quale si accende (nasce) a un dato istante se esattamente 3 caselle adiacenti erano accese nell’istante precedente, e rimane accesa (viva) se 2 o 3 caselle adiacenti erano accese: nel caso contrario si spegne (muore), per isolamento o sovrappopolazione. Benché il gioco fosse stato introdotto per altri motivi, si scoprì in seguito che esistono appunto configurazioni di caselle accese che hanno la capacità di autoriprodursi, dopo un certo periodo, da un’altra parte della scacchiera. Fatto ancora più interessante, queste configurazioni possono venir raggiunte spontaneamente dall’evoluzione dell’automa, quando si parta da configurazioni casuali.
Gli automi cellulari mostrano dunque che l’autoriproduzione è un fenomeno che può interessare da un lato universi particolarmente semplici, e dall’altro “organismi” non biologici.
Inoltre, non richiede interventi miracolosi di nessun genere: ovviamente non a ogni nascita, come pensava Cartesio, ma neppure una volta per tutte, come ci raccontano svariate mitologie, dalla Genesi al Popul Vuh. Detta più esplicitamente: la vita non è, da sola, un motivo sufficiente per credere né all’esistenza di Dio, né a un ordine dell’universo.
Compleanni
Il compleanno è una delle ricorrenze più personali nella nostra vita, e scoprire che qualcun altro è nato lo stesso nostro giorno ci procura sempre una piccola sorpresa. La cosa ha una giustificazione matematica: poiché, lasciando da parte gli anni bisestili, ci sono 365 giorni in un anno, la probabilità che i compleanni di due persone siano uguali è solo 1 su 365, cioè meno dello 0,3 per cento, mentre la probabilità che essi siano diversi 364 su 365, cioè più del 99,7 per cento.
Data una terza persona, la probabilità che non sia nata nello stesso giorno di una delle due precedenti è però 363 su 365, perché questa volta ci sono due possibilità. La probabilità che, fra i tre, non ce ne siano due con lo stesso compleanno è dunque 364 x 363 su 365 x 365 (perché le probabilità si moltiplicano). La cosa sorprendente è che, continuando nello stesso modo, la probabilità che fra 24 persone non ce ne siano due con lo stesso compleanno diventa 364 x ... x 342 su 36523, cioè 46 su 100: la probabilità che due fra esse abbiano lo stesso compleanno è dunque 54 su 100, cioè più del 50 per cento. E con 40 persone la probabilità aumenta addirittura al 90 per cento. Questa è una delle tipiche stranezze della probabilità: mentre in teoria sono necessarie 365 persone per avere la certezza assoluta che due fra esse abbiano lo stesso compleanno, in pratica ne sono sufficienti 40 per avere una altissima probabilità, e dunque una quasi certezza. Per effettuare una verifica empirica basterà confrontare le date di nascita degli alunni di una classe scolastica, o di un gruppo sufficientemente nutrito di amici, eventualmente scommettendo contro gli scettici.
Data una terza persona, la probabilità che non sia nata nello stesso giorno di una delle due precedenti è però 363 su 365, perché questa volta ci sono due possibilità. La probabilità che, fra i tre, non ce ne siano due con lo stesso compleanno è dunque 364 x 363 su 365 x 365 (perché le probabilità si moltiplicano). La cosa sorprendente è che, continuando nello stesso modo, la probabilità che fra 24 persone non ce ne siano due con lo stesso compleanno diventa 364 x ... x 342 su 36523, cioè 46 su 100: la probabilità che due fra esse abbiano lo stesso compleanno è dunque 54 su 100, cioè più del 50 per cento. E con 40 persone la probabilità aumenta addirittura al 90 per cento. Questa è una delle tipiche stranezze della probabilità: mentre in teoria sono necessarie 365 persone per avere la certezza assoluta che due fra esse abbiano lo stesso compleanno, in pratica ne sono sufficienti 40 per avere una altissima probabilità, e dunque una quasi certezza. Per effettuare una verifica empirica basterà confrontare le date di nascita degli alunni di una classe scolastica, o di un gruppo sufficientemente nutrito di amici, eventualmente scommettendo contro gli scettici.
Divorzi
A venticinque anni di distanza dalla vittoria del “NO“ nel referendum per l’abolizione della legge sul divorzio (avvenuta il 14 maggio 1974), possiamo tornare sull’argomento con animo più sereno.
Condivideremo allora che sarebbe cosa buona e salutare che i matrimoni fossero stabili, e che dopo la cerimonia nuziale tutte le coppie vivessero felici e contente come nelle fiabe.
A maggior ragione, condivideremo però anche il timore del Salvatore stesso (Vangelo secondo Matteo, XXVI, 41, e Vangelo secondo Marco, XIV, 38), che ammonì che lo spirito è forte, ma la carne debole: il che tende purtroppo a favorire i divorzi, per non parlare degli adultèri. Il nostro interesse nella faccenda sta nel fatto che è possibile dimostrare matematicamente che si può mischiare il diavolo e l’acqua santa: mediante una scelta oculata di successivi matrimoni e divorzi, si può raggiungere effettivamente una situazione di globale stabilità matrimoniale!
Diremo allora che un marito è felicemente sposato se non ci sono al mondo donne che preferisce alla moglie, e che preferiscono lui al proprio marito: in tal caso egli ha la miglior donna che può sperare di avere, e deve starsene buono e contento. Analogamente per una moglie felicemente sposata.
Il problema è dunque vedere come sia possibile trovare una situazione in cui tutti i matrimoni sono stabili, con entrambi i coniugi di ciascuna coppia felicemente sposati. L’idea è semplice: i matrimoni stabili vengono lasciati come sono; quelli in cui uno dei due coniugi non è felicemente sposato possono venire sciolti, permettendo al coniuge insoddisfatto di sposare qualcun altro. A ogni divorzio si migliora dunque la situazione, perché qualcuno finisce per sposarsi meglio.
La cosa funziona se le persone sono serie: se hanno cioè una lista di preferenze che classifica in modo lineare tutte le persone dell’altro sesso.
In tal caso si arriva a una situazione di stabilità: ad esempio, ogni uomo può divorziare al più un numero di volte uguale al numero delle donne, se ha sposato per prima quella che preferiva di meno, per seconda la penultima della lista, ed è risalito via via fino alla prima. Il numero di divorzi è dunque al più uguale al prodotto del numero degli uomini per il numero delle donne: numeri che sarebbe bene fossero uguali, se nessuno deve rimanere a bocca asciutta.
Se le persone non sono serie la cosa può invece non avere mai fine. Ad esempio, uomo non serio sarebbe uno che avesse una lista circolare del tipo: preferisco Anna a Beatrice, Beatrice a Claudia, ... Ursula a Valeria, Valeria a Zerlina, e Zerlina ad Anna. La matematica si rivela dunque più sensata dell’integralismo: invece di fingere candidamente che tutto vada per il meglio, salvo poi scoprire che in molti matrimoni tutto andava invece per il peggio, essa si limita ad accettare l’uomo (e, ovviamente, la donna) per quello che è, permettendo sbagli e rimedi.
L’unica richiesta che la matematica fa è la consistenza (in questo caso, delle liste di preferenza): richiesta particolarmente difficile da realizzare, come dimostrano gli sfortunati tempi moderni, ma almeno non impossibile quanto le pretese dei nostri avversari.