Piergiorgio Odifreddi
Storia dei paradossi,
inciampo e trampolino della conoscenza
Ciascun periodo storico ha i propri paradossi, che concepisce e affronta alla propria maniera. I Greci li consideravano paralogismi, “oltre la logica”, cioè puri e semplici errori di ragionamento. Per i medievali divennero insolubilia, cioè problemi insolubili o dilemmi inspiegabili. Per i moderni essi sono antinomie, “contro le regole”, o, appunto, paradossi, “oltre l’opinione corrente”, cioè indizi di problemi del senso comune. Poiché la storia dei paradossi è letteralmente uno sterminato spettacolo di varietà, con scene che vanno dalla tragedia greca all’operetta, dobbiamo qui limitarci a mostrarne alcuni estratti.
Paradossi filosofici
I primi paradossi registrati dalla storia sono dovuti ai Greci del secolo VI a. C. Due di questi si contendono la palma del più famoso, oltre che del più venerando. Il primo è quello del mentitore, in genere attribuito a Epimenide di Creta, che disse «i Cretesi sono bugiardi». L’aspetto più paradossale della faccenda è però che questo non è affatto un paradosso. Se anche l’affermazione viene intesa come “tutti i Cretesi dicono sempre il falso”, tutto ciò che ne segue è infatti che se viene pronunciata da Epimenide non può essere vera, e dunque che ci deve essere qualche Cretese che a volte dice il vero. Il che non significa che quel Cretese debba proprio essere Epimenide. Né, se anche lo fosse, che proprio quella debba essere l’affermazione vera di cui egli parla. Ignaro di queste ovvietà, Paolo di Tarso si scagliò nella Lettera a Tito contro il povero Epimenide, sostenendo che egli era “un ribelle, un ciarlone, un seduttore” e che “si sarebbe dovuto tappargli la bocca”, e mostrando con ciò che sia l’irrazionalità dei predicatori che l’intolleranza dell’inquisizione hanno radici lontane.
Per ottenere un vero paradosso basta però modificare l’affermazione di Epimenide, e dire “io sto mentendo”. In questo caso non solo l’affermazione non può essere vera (altrimenti sarebbe una menzogna, e dunque sarebbe falsa), ma non può neppure essere falsa (altrimenti essa non sarebbe una menzogna, e dunque sarebbe vera).
Le varianti del paradosso del mentitore sono innumerevoli. Per citarne una divertente, ecco una storia vera. Un giorno un bambino ne disse una troppo grossa, e il padre lo trascinò per un orecchio al Ponte dei Bugiardi, che secondo lui sarebbe caduto quando fosse stato attraversato da un bugiardo. Il bambino, spaventato, confessò di aver mentito. Ma quando i due, riappacificati, attraversarono il ponte, questo crollò ugualmente, perché anche il padre aveva mentito: non c’è infatti nessun Ponte dei Bugiardi.
Il secondo paradosso classico è quello di Achille e la tartaruga, dovuto a Zenone di Elea. Questa volta Achille piè veloce concede un vantaggio alla tartaruga zampa lenta, ma così facendo non riuscirà mai a raggiungerla. Quando egli avrà colmato il vantaggio che le ha concesso, essa avrà infatti percorso un nuovo tratto. E quando Achille avrà percorso quel nuovo tratto essa ne avrà percorso un altro, e così via all’infinito. Un paradosso analogo era noto anche al sofista cinese Hui Tsi nel secolo IV a. C. in questa forma: se ogni giorno si dimezza un bastone lungo un piede, ne rimarrà sempre qualcosa anche dopo diecimila generazioni.
Nel Medioevo Tommaso d’Aquino capovolse gli argomenti zenoniani, per mostrare non un paradosso, ma l’esistenza di Dio. Ad esempio, se si vuole evitare un regresso all’infinito del tipo di quello di Achille e la tartaruga, deve esistere un essere che muove senza essere mosso. Tommaso lo chiamò primo motore, e il suo rombo riecheggia nel primo verso del Paradiso di Dante, che parla appunto de “la gloria di colui che tutto move” (c’era da aspettarselo che non avremmo avuto pace dai motori neppure in cielo).
Gregorio da Rimini si chiese se Dio, a differenza di Achille, poteva aggirare il paradosso, e rispose di sì. Ad esempio, egli può creare una pietra infinita nel giro di un’ora, perché basta che crei una pietra di un chilo, che le aggiunga un chilo dopo mezz’ora, un altro chilo dopo un quarto d’ora, un altro dopo sette minuti e mezzo, e così via.
Più recentemente, James Thompson ha proposto una versione del paradosso in termini tecnologicamente più moderni. Se accendiamo una lampadina, la spegniamo dopo mezz’ora, la riaccendiamo dopo un quarto d’ora, e così via, allo scadere dell’ora la lampadina sarà accesa o spenta? Come già nel caso di Epimenide, la cosa assomiglia a un paradosso ma non lo è. Per convincersene, basta rifare la domanda supponendo questa volta che la lampadina sia lasciata accesa dopo mezz’ora, dopo un quarto d’ora, e così via. Entrambe le risposte sono possibili: è possibile infatti spegnere una lampadina esattamente dopo un’ora che è stata accesa, o lasciarla invece accesa. Il confine fra il vero paradosso e il semplice rompicapo è dunque estremamente labile, e ci sembra che questo sia un altro bel paradosso.
Paradossi matematici
Si potrebbe pensare che la matematica, la branca del sapere con la più solida tradizione di precisione e consistenza, sia la più immune dai paradossi. La sua storia ne è invece costellata, anche se ha spesso saputo rivolgere a suo favore le apparenti difficoltà create da contraddizioni vere o presunte. Il più antico paradosso matematico è la scoperta che la diagonale del quadrato è incommensurabile col lato, che metteva in crisi l’opinione pitagorica corrente che tutto fosse esprimibile con numeri (razionali). Il trauma che ne derivò permane tuttora nelle parole “irrazionale” e “assurdo”. La prima deriva da ratio, cioè rapporto, e significa letteralmente “non esprimibile mediante una frazione”. La seconda deriva da surdus, che è il nome con cui si chiamavano le radici quadrate di interi che non sono quadrati (come appunto 2, la cui radice è la misura della diagonale rispetto al lato), e significa dunque “derivabile dall’irrazionale”. La soluzione del paradosso si ebbe con l’introduzione dei numeri reali: una volta fatto il passo, il risultato dei pitagorici cessò di essere contradditorio per diventare la dimostrazione di un teorema, del fatto cioè che la radice di 2 è un numero reale irrazionale.
Anche il paradosso di Zenone, già citato, è essenzialmente di natura matematica. Il suo contenuto si può appunto ridurre al fatto che un segmento è uguale alla sua metà, più la metà della metà, più la metà della metà della metà, e così via. Ciò che i Greci trovarono assurdo fu che una quantità finita fosse scomponibile in una somma infinita di quantità non nulle. Introdotto nel secolo XVII il concetto di serie come somma infinita, si potè invece vedere il ragionamento di Zenone come la dimostrazione del fatto che una certa serie (un mezzo più un quarto piò un ottavo... ) ha una somma finita (uno). Per venire ai giorni nostri, nel 1899 il filosofo Josiah Royce immaginò una mappa geografica perfetta. Poiché ogni particolare del territorio vi è rappresentato, essa deve contenere un’immagine di se stessa, la quale deve contenere un’immagine di se stessa, e così via. L’argomento dovrebbe essere una dimostrazione per assurdo dell’impossibilità di una mappa perfetta, ma dal punto di vista matematico si trasforma in un teorema: l’infinita successione delle immagini della mappa una dentro l’altra individua semplicemente un punto del territorio, che viene a coincidere con la sua immagine sulla mappa. Se in generale si può dunque dire che “la mappa non è il territorio”, in una mappa perfetta deve comunque esistere un punto fisso, in cui essa e il territorio sono invece la stessa cosa. Il paradosso matematico più famoso del secolo fu scoperto da Bertrand Russell nel 1902. Lasciando perdere la sua originaria versione insiemistica, la sua essenza si può comprendere in maniera puramente linguistica. Definiamo un aggettivo come autoreferente se esso si applica a se stesso, ed eteroreferente negli altri casi. Ad esempio, “corto” è autoreferente perché è corto, ma “lungo” è eteroreferente perché non è lungo. Il paradosso si ottiene chiedendosi di che tipo sia “eteroreferente”. Se fosse autoreferente si applicherebbe a se stesso, e dovrebbe allora essere eteroreferente. Se fosse eteroreferente non si applicherebbe a se stesso, e non essendo quindi eteroreferente dovrebbe allora essere autoreferente. Il ruolo storico del paradosso di Russell fu di provocare dapprima una crisi, e poi una ristrutturazione della teoria degli insiemi, da cui nacque il sistema assiomatico che ancor oggi ne costituisce la base.
Ancora più radicale fu il ruolo dei paradossi in un altro campo della matematica, la topologia. Questa addirittura nacque, all’inizio del secolo, proprio dallo studio di alcune curve e superfici paradossali. Un primo esempio è la striscia di Möbius, che si ottiene facendo fare un mezzo giro a una striscia di carta, e incollandone gli estremi: si ottiene così una superficie a una sola faccia! Un secondo esempio è la curva di Koch, che invece si può soltanto approssimare. Si parte da un segmento, lo si divide in tre, e sul terzo centrale si costruisce un triangolo equilatero. Si ripete poi il procedimento all’infinito, su ciascun segmento. La curva diventa sempre più lunga, perché ogni volta tre segmenti lasciano il posto a quattro della stessa lunghezza. Al limite si ottiene dunque una curva limitata di lunghezza infinita! Essa è un tipico esempio di quei frattali che oggi, lungi dall’essere considerati paradossali, sono invece divenuti espressioni artistiche della matematica moderna.
Paradossi economici
Il primo paradosso economico risale al tempo di Pietro il Grande, quando a San Pietroburgo esisteva un casinò che permetteva di giocare qualunque gioco d’azzardo, in cambio di un prezzo d’entrata. Il casinò era, ad esempio, disposto a permettere a un giocatore di giocare a testa e croce con una moneta, e a raddoppiare la posta fino a quando fosse uscito testa per la prima volta. Quanto avrebbe dovuto essere disposto a pagare un giocatore per poter partecipare al gioco? Uno dei fondamenti dell’economia, già nel Settecento, era che una possibile misura dell’aspettativa di guadagno in una data situazione fosse il prodotto del guadagno ottenibile per la probabilità di ottenerlo. Una misura dell’aspettativa di guadagno totale era allora la somma delle aspettative di guadagno per ogni possibile situazione. Poiché, nel caso del casinò, a ogni tiro il guadagno si raddoppia, ma la probabilità di arrivarci si dimezza, l’aspettativa di guadagno a ogni tiro è sempre la stessa: l’aspettativa di guadagno totale è dunque infinita. Il giocatore dovrebbe allora essere disposto a giocarsi tutto ciò che ha, pur di poter partecipare. Il che contrasta con l’ovvia osservazione che più paga per giocare, minore è la probabilità che riesca a guadagnare più di quanto ha pagato.
Nel 1713 Jacob Bernoulli risolse il paradosso notando che il valore del denaro non è assoluto, e dipende invece da quanto se ne ha: una stessa somma vale tanto per chi ne ha molto meno, e poco per chi ne ha molto di più. Per calcolare l’aspettativa di guadagno si deve dunque moltiplicare la probabilità non per il guadagno effettivo, ma per quanto esso vale per il giocatore, che costituisce la sua cosiddetta utilità. Supponendo ad esempio che l’utilità decresca in maniera logaritmica, il guadagno totale cessa di essere infinito per diventare molto piccolo, e il paradosso scompare. La nozione di utilità è da allora entrata a far parte dell’economia, anche se spesso si censura la sua più ovvia conseguenza: che costa di più accontentare un ricco che molti poveri. Mentre l’utilità ha risolto un paradosso, ne ha dunque introdotto un altro ancora peggiore: il fatto, cioè, che il progetto dell’economia capitalista, che tende appunto a far arricchire i ricchi a scapito dei poveri, è semplicemente antieconomico! Oltre al denaro nudo e crudo, l’economia si interessa più in generale di politiche, nel senso di strategie e comportamenti. In questo campo il paradosso più interessante è stato trovato nel 1950 da Albert Tucker, e va sotto il nome di dilemma del prigioniero. In termini economici, lo si può ad esempio formulare come una storia di compravendita per corrispondenza. Al venditore non conviene inviare la merce, perché se il compratore non paga inviargliela sarebbe una perdita, mentre se il compratore paga non inviargliela sarebbe un guadagno secco. Analogamente, al compratore non conviene pagare, perché se il venditore non invia la merce pagargliela sarebbe una perdita, mentre se il venditore la invia pagargliela sarebbe un guadagno secco. Così ragionando, il venditore non dovrebbe inviare la merce, e il compratore non dovrebbe pagare. Ma questo renderebbe impossibile il commercio per corrispondenza, e andrebbe contro gli interessi di entrambi, che sono comprare e vendere. Una situazione da dilemma del prigioniero si presenta in sostanza ogni volta che un comportamento non vantaggioso per entrambi i contendenti viene preferito a un altro considerato più vantaggioso per entrambi, a causa di un eccesso di razionalità o di sfiducia reciproca: la continuazione delle guerre, il mancato disarmo, la corruzione generalizzata. Più in generale, tutti i comportamenti sociali a cui si addice la recriminazione “se solo tutti smettessimo di fare così”, e di cui i nostri lettori sapranno trovare esempi a bizzeffe da soli nella vita quotidiana. Il dilemma del prigioniero è uno dei banchi di prova della moderna teoria dei giochi. Questa fornisce un fondamento matematico alle strategie economiche e politiche, e viene regolarmente usata dai pianificatori di strategie industriali e governative. Dal punto di vista della teoria, l’unico comportamento razionale nel dilemma del prigioniero è appunto la non cooperazione. Il che mostra, forse, che gli sbeffeggiatori dell’economia come di una non-scienza, fra i quali non mancano gli economisti stessi, non hanno poi tutti i torti a ridicolizzarne le pretese di razionalità.