Piergiorgio Odifreddi
Viaggio nel passato e ritorno
in compagnia del teorema di Pitagora
Il più classico teorema della matematica è probabilmente il teorema di Pitagora, che tutti i lettori conoscono certamente a memoria: “in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”. Sappiamo bene, però, che classiche sono quelle opere che si sanno citare senza averle mai lette. O, nel caso della matematica, quei teoremi che si sanno recitare senza averli mai dimostrati. Può dunque essere utile meditare per una volta sul teorema di Pitagora, anche perché la meditazione potrà riservare alcune interessanti sorprese.
Viaggio nel passato
La storia del teorema di Pitagora testimonia sia la nascita della matematica come scienza sia la vitalità delle idee matematiche nelle loro successive trasformazioni. Già i Babilonesi, 2000 anni prima di Cristo e 1500 prima di Pitagora, ne conoscevano l’enunciato, ma la prima dimostrazione pervenutaci è negli Elementi di Euclide, del 300 a. C. Prima di affrontare una dimostrazione, bisogna però avere qualcosa da dimostrare. In matematica un’idea si presenta con un’intuizione, spesso banale, e il teorema di Pitagora non fa eccezione. Senza nessuna pretesa di una (impossibile) verosimiglianza storica, possiamo immaginare che nel nostro caso qualcuno abbia prima o poi notato, ad esempio facendo la doccia o il suo equivalente antico, che le piastrelle quadrate del bagno si possono dividere a metà: metà piastrella è un triangolo rettangolo, e due piastrelle sono uguali a quattro metà. Non tutti i frequentatori dei bagni saranno stati particolarmente sagaci, ma qualcuno prima o poi deve essersi chiesto se l’osservazione precedente fosse un accidente dovuto al fatto che le piastrelle sono quadrate, o se invece qualcosa di simile valesse anche con piastrelle rettangolari. Ecco dunque nascere la proposta di una generalizzazione, nella forma dell’enunciato del teorema di Pitagora. Quello che però era evidente per le piastrelle quadrate non lo è più per quelle rettangolari (che creano questa situazione: interessante, ma con due rettangoli e un rombo al posto di tre quadrati). Non c’è quindi nessun motivo di credere che il passaggio dai quadrati ai rettangoli preservi la proprietà notata sopra, a meno di non trovare la convinzione in una dimostrazione. Che non deve essere particolarmente difficile: basta ridisporre i triangoli in modo diverso, e la prova si mostra da sé. Una volta dimostrato un enunciato, il matematico vede se può andare oltre e chiedersi, ad esempio, se è vero anche il suo inverso. Nel caso del teorema di Pitagora: se in un triangolo il quadrato costruito su uno dei lati è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati, il triangolo è rettangolo? Non c’è nessun motivo a priori che faccia sì che, se un enunciato è vero, lo sia anche il suo inverso: ad esempio, può darsi sia vero che se piove io esco con l’ombrello, senza che questo significhi che se esco con l’ombrello allora piove. Ma nel caso del teorema di Pitagora, per una fortunata coincidenza, anche il suo inverso è vero: in particolare, se un triangolo ha i lati di lunghezza 3, 4 e 5 allora è rettangolo, perché 32 + 42= 52. E questo fatto era già usato dai soliti Babilonesi per tracciare angoli retti, usando corde con 12 nodi equidistanti.
Le metamorfosi del teorema di Pitagora sono state molteplici nei secoli. Nel 1637 Cartesio introdusse la geometria cartesiana, in cui esso diventa la formula per calcolare la distanza di due punti date le loro coordinate. Nel 1829 e 1832 Nicholai Lobachevsky e Janos Bolyai introdussero la geometria iperbolica, caratterizzata dal fatto che il teorema di Pitagora non vale per qualche triangolo rettangolo. Nel 1854 Bernard Riemann introdusse la geometria riemanniana, caratterizzata invece dal fatto che il teorema di Pitagora vale per triangoli rettangoli piccolissimi (infinitesimi). E così via. Questi sviluppi mostrano come un granello di sabbia possa diventare con il tempo, nell’ostrica della comunità matematica, una perla che continua a risplendere nonostante la sua veneranda età.
Scorribande automobilistiche
La citazione appena fatta delle geometrie iperbolica e riemanniana lascia intravedere la possibilità che il teorema di Pitagora, lungi dall’essere universalmente valido, sia invece una proprietà molto speciale. In un senso ben preciso, anzi, è caratteristico della geometria euclidea. E anche senza addentrarci in complicate geometrie, è possibile fare esempi semplici di geometrie in cui il teorema di Pitagora fallisce. Il primo esempio è costituito da una scacchiera, in cui lo spazio non è continuo, ma discretizzato dalle caselle. Dividiamo, ad esempio, una scacchiera lungo una diagonale: si ottiene un triangolo rettangolo in cui sia i lati che la diagonale hanno una lunghezza di 8 caselle. In altre parole, nella geometria della scacchiera ci sono triangoli retti equilateri. Un secondo esempio, altrettanto comune, è la geometria degli automobilisti: anch’essi adottano, per questioni di forza maggiore, una geometria che non è quella solita. Andando infatti da un punto all’altro della città non si può, fortunatamente, procedere attraverso le case (stiamo parlando appunto di automobili, e non di ruspe), e si è invece costretti a girare attorno agli isolati, seguendo un percorso a zig zag lungo le strade. La distanza che interessa l’automobilista non è dunque quella euclidea, “in linea d’aria”, ma quella stradale. Se l’automobilista si trova in una città come Torino, dove vive il sottoscritto, fra le tante sfortune relative al traffico e ai parcheggi, avrà almeno una fortuna: a causa della disposizione romana “a scacchiera” (guarda caso!) delle vie, la distanza stradale tra due punti è data dalla somma dei due cateti del triangolo retto stradale, di cui il segmento congiungente i due punti costituisce l’ipotenusa. Per evitare incomprensioni è bene specificare che la distanza appena definita, benché ovviamente diversa da quella euclidea, è comunque perfettamente legittima. Lo dimostra il fatto che proprio questa distanza, e non quella in linea d’aria, è registrata dal contachilometri. Ma cambiare la nozione di distanza significa anche cambiare il tipo di geometria; cosa niente affatto scandalosa, poiché la matematica non è una religione. Diversamente dal vero Dio, che coloro che sanno queste cose ci assicurano essere unico, le geometrie sono infatti tante, e tutte ugualmente “vere”: l’unica richiesta che la matematica fa è di essere consistenti con le proprie assunzioni. Vediamo allora che cosa succede nella strana geometria dell’auto. Consideriamo un triangolo retto equilatero. Per andare da A a B si devono infatti percorrere sei isolati, in linea retta; e analogamente si devono percorrere sei isolati per andare sia da A a C, che da C a B, questa volta a zig zag, facendo cioè una o più svolte di novanta gradi: tutti i tre lati hanno dunque la stessa distanza di sei isolati.
Questo esempio mostra come nella geometria dell’auto il teorema di Pitagora è falso: l’ipotenusa ha lunghezza 6, e dunque il suo quadrato è 36; ma anche ciascun cateto ha lunghezza 6, e dunque la somma dei quadrati dei cateti è 72; dunque non è vero che il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.
Sempre l’esempio precedente mostra come nella geometria dell’auto non è vero che triangoli isosceli hanno angoli alla base uguali: il triangolo è infatti equilatero, ma non equiangolo. Forse ancora più sorprendente è la nuova figura, ottenuta raddoppiando il triangolo precedente: quello che appare come un quadrato della geometria euclidea è invece un cerchio della geometria dell’auto! La distanza stradale di ciascun punto dal centro è infatti sempre di tre isolati, come si può verificare direttamente per ciascuno dei punti evidenziati. Le varie geometrie alternative inventate dai matematici, di cui quella dell’auto non è che un esempio particolarmente semplice, non sono comunque semplici divertimenti. Applicazioni a parte, che ci sono, esse mostrano ai poveri di spirito che, come direbbe Amleto, ci sono più cose in cielo e in terra di quante se ne sognino nella loro matematica.
Ritorno al futuro
La prima, e più classica, applicazione del teorema di Pitagora fu il calcolo della lunghezza della diagonale di un quadrato, che è la famosa radice quadrata di 2. I pitagorici dimostrarono poi che essa è irrazionale, ossia che non esistono due interi x e y tali che x2= 2* y2. Chi si fosse dimenticato la dimostrazione può rinfrescarsi la memoria, considerando l’esponente di 2 nella decomposizione in fattori primi dei due membri. Esso è pari in x2, perché qualunque sia in x, viene raddoppiato nel quadrato. Ma è dispari in 2* y2, perché oltre a un quadrato c’è un 2 in più. I due membri non possono quindi essere uguali.
La visione pitagorica fu messa in crisi da questa scoperta: l’incommensurabilità della diagonale del quadrato rispetto al lato mostrava infatti l’impossibilità di ridurre a un numero razionale una semplice parte della natura. E la scoperta fu tanto traumatica che la sua rivelazione pubblica da parte di Ippaso di Metaponto gli procurò la radiazione dall’ordine, un mafioso avvertimento nella forma dell’erezione di una tomba in vita, e la morte per naufragio dietro intervento di Giove. Rifiutandosi di affrontare le conseguenze della scoperta dell’irrazionalità di radice di 2, i Greci persero l’occasione di intuire un teorema che è divenuto uno dei simboli del novecento: il teorema di Gödel, che stabilisce la sostanziale incompletezza di ogni sistema assiomatico per l’aritmetica.
Consideriamo anzitutto un tale sistema matematico, che abbia come assiomi una qualunque lista di proprietà della somma e del prodotto vere sia per i numeri interi che per i numeri reali. Ad esempio, le proprietà associativa, commutativa, distributiva, e così via.
Un tale sistema non può decidere, né positivamente né negativamente, la seguente affermazione: per ogni x ed y, x2 è diverso da 2* y2. Questa è infatti vera per i numeri interi, perchè radice di 2 è irrazionale. Ma è falsa per i numeri reali, perché radice di 2è reale. Dunque né essa né la sua negazione possono essere dimostrabili a partire dagli assiomi, altrimenti l’affermazione dovrebbe essere vera in entrambi i casi, o falsa in entrambi. L’irrazionalità di radice di 2 basta dunque a mostrare che tutti i sistemi del tipo descritto sono incompleti. Gödel estese il ragionamento precedente a tutti i sistemi contenenti un minimo di aritmetica, utilizzando per ciascuno l’affermazione: io non sono dimostrabile nel sistema dato. A dire il vero, questa non sembra un’affermazione matematica, ma lo diventa quando la si traduce ad esempio nel linguaggio-macchina dei computer, in cui tutto si scrive mediante i simboli 0 e 1, e quindi mediante numeri. Anzi, l’affermazione è proprio del tipo di quella pitagorica appena usata, nel senso che fa intervenire un’espressione per ogni, seguita dalla negazione di un fatto elementare: dire che qualcosa non è dimostrabile significa infatti dire che,per ogni possibile sequenza di formule, essa non è una sua dimostrazione.
Il vero valore del teorema di Gödel sta dunque nell’essere il definitivo compimento della maggiore scoperta pitagorica: che la matematica è limitata, e che queste limitazioni si possono dimostrare in maniera matematica.