Piergiorgio Odifreddi
Viaggio storico e geometrico attorno al cerchio
La perfezione e la simmetria del cerchio sono, letteralmente, divine. Non a caso Dante, quando dovette trovare un’immagine per descrivere la visione di Dio concessagli al termine del suo viaggio, non poté far altro che ridurla a «tre giri di tre colori e d’una contenenza» (Paradiso, XXXIII, 116-117). Il cardinal Cusano, che pubblicò fra il 1445 e il 1459 ben dodici supposte prove della quadratura del cerchio, ridusse invece Dio a «un cerchio infinito, con centro dovunque e circonferenza in nessun luogo». Metafora, questa, la cui storia universale (o quasi, visto che vi manca proprio Cusano) è stata mirabilmente tracciata da Borges in Altre inquisizioni. La semplicità del cerchio, definito come «il luogo dei punti equidistanti dal centro», è però una falsa impressione. Le meditazioni su di esso, che caratterizzano l’intera storia della matematica, l’hanno infatti illuminato di una luce non meno divina di quella che permea la visione dantesca.
Il cerchio euclideo
La più antica caratterizzazione alternativa del cerchio si trova già negli Elementi di Euclide (III, 20-21), e a questa fa riferimento Dante in un altro passo del Paradiso (XIII, 101-102), quando ricorda che «del mezzo cerchio far [non] si puote triangol sì ch’un retto non avesse». Detto altrimenti, il cerchio può essere definito come «il luogo dei punti che formano un angolo retto col diametro». La caratterizzazione è interessante perché, invece di mantenere fissa una distanza da un punto (il centro), mantiene fisso un angolo relativo a due punti (gli estremi del diametro).
Definizioni a parte, le più ovvie domande riguardanti un cerchio si riferiscono alla sua area, e alla lunghezza della sua circonferenza. I due problemi sono apparentemente slegati, e in Euclide si trova soltanto la dimostrazione che la lunghezza della circonferenza è proporzionale al raggio, mentre l’area è proporzionale al quadrato del raggio (XII, 2). La dimostrazione si basa sulla scoperta, probabilmente risalente a Eudosso nel secolo IV a.C., che il cerchio può essere approssimato arbitrariamente da poligoni regolari, nel senso preciso che raddoppiando il numero dei lati l’errore di approssimazione si dimezza (o più). Notato questo, il risultato si dimostra in maniera elementare, usando soltanto la teoria della similitudine dei triangoli. Niente affatto elementare, perché basata sul concetto di limite, fu invece la dimostrazione di Archimede, verso il 225 a.C., che le due costanti di proporzionalità sono legate fra loro: più precisamente, che quella per la circonferenza è il doppio di quella per l’area. Il che porta alla definizione di pi greco, in almeno quattro modi equivalenti: come rapporto fra la circonferenza e il diametro; come circonferenza del cerchio di diametro unitario; come rapporto fra l’area del cerchio e il quadrato del raggio; e come area del cerchio di raggio unitario. E la lista non è esaustiva: ad esempio, come mostrò ancora Archimede, altre definizioni si ottengono dalla superficie e dal volume della sfera. Per quanto riguarda la determinazione del valore numerico di pi greco una rozza approssimazione si trova nel Primo libro dei re, del secolo VI a.C. Nella descrizione degli arredi del tempio di re Salomone si dice infatti (VII, 23): «Il bacino di bronzo misurava dieci cubiti da un orlo all’altro; era perfettamente circolare, profondo cinque cubiti, con una circonferenza di trenta cubiti». Questa descrizione equivale ad assegnare a pi greco il valore 3. Meglio avevano già fatto gli egiziani, come risulta dal papiro di Rhind, che risale al 1650 a.C. La loro osservazione fu che 64 monete approssimano bene sia un quadrato di lato 8 che un cerchio di diametro 9: la cosa è facilmente verificabile, ponendo una moneta al centro e disponendone attorno a essa altre 63. Questo approccio porta a un valore di pi greco di circa 3,16, che è corretto alla prima cifra decimale. Un valore simile fu ottenuto nel secolo VI a.C. dagli indiani, che identificarono pi greco con la radice di 10. Ma già nel 499 a.C. riportarono il famoso valore 3,14. La dimostrazione che questo è corretto alle prime due cifre decimali fu data da Archimede, confrontando il cerchio ai poligoni regolari di 96 lati inscritti e circoscritti.
Un altro problema che appassionò i Greci fu la cosiddetta “quadratura del cerchio”: la costruzione, cioè, di un quadrato con la stessa area, usando soltanto riga e compasso. La quadratura di un qualunque poligono è un semplice esercizio basato sul teorema di Pitagora, ma la quadratura di figure curvilinee sembra a prima vista senza speranza. E invece Ippocrate di Chio mostrò, nel secolo V a.C., che la lunetta costruita su un quarto di cerchio è quadrabile. Non solo: se fosse possibile anche quadrare la lunetta costruita su un sesto di cerchio, cosa che non sembra troppo diversa, allora sarebbe quadrabile anche il cerchio. Inutile dire che la quadratura divenne il problema insolubile per antomasia, e come tale appare nei famosi versi conclusivi della Divina Commedia: «Qual è ’l geometra che tutto s’affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond’elli indige...».
La dimostrazione della sua effettiva insolubilità dovette però attendere il 1882, quando Lindemann provò la trascendenza di pi greco.
Visioni del cerchio
Il teorema di Lindemann fa parte di una nuova era della storia del cerchio e, più in generale, della geometria, quando ai metodi puramente geometrici dei Greci, si affiancarono i metodi algebrici e analitici dei moderni. La geometria analitica nacque nel 1637, con il Discorso sul metodo di Cartesio. In una delle tre appendici viene introdotta la tecnica, oggi comune, di identificare i punti con le loro coordinate, e le figure con gli insiemi delle soluzioni delle loro equazioni. In particolare, dal teorema di Pitagora si ricava la nota equazione del cerchio x2+y2=1.
Uno dei vantaggi della rappresentazione cartesiana fu l’unificazione di branche apparentemente separate della matematica, i cui effetti si ripercossero anche sul cerchio unitario. In una prima interpretazione questo divenne il cerchio trigonometrico, e le coordinate dei suoi punti furono interpretate come seno e coseno degli angoli da essi individuati. In una seconda interpretazione divenne il luogo dei numeri complessi di norma 1: in particolare, delle radici complesse dell’unità, individuate dai vertici di poligoni regolari in esso inscritti. In un solo cerchio si trovarono così racchiusi aspetti essenziali della geometria, della trigonometria e dell’analisi. Un approccio alternativo a quello cartesiano fu introdotto da Pascal nel 1639: la geometria proiettiva. Da questo nuovo punto di vista, le ellissi furono considerate come visioni prospettiche del cerchio, le parabole come ellissi tangenti all’orizzonte, e le iperboli come ellissi secanti l’orizzonte. In questo modo tutte le coniche ricevettero un trattamento unificato, e furono sostanzialmente ridotte ad apparenze di una sola sostanza: per l’appunto, il cerchio. Uno dei risultati più sorprendenti di Pascal fu la scoperta che se si inscrive un esagono (anche non regolare, o non convesso) in un cerchio, i lati opposti si incontrano in tre punti che stanno sulla stessa retta. La figura 1 illustra un caso particolare, che Pascal chiamò esagramma mistico. Il risultato vale anche per tutte le coniche; questa quindi non è una proprietà caratteristico del solo cerchio, come anche non caratteristica è l’avere ampiezza costante. La figura 2 mostra un’altra superficie di ampiezza costante, detta triangolo di Reuleaux: i vertici formano un triangolo equilatero, e i lati sono archi di cerchi con lo stesso raggio, e centro nel vertice opposto. Superfici analoghe possono ruotare tanto bene quanto i cerchi, e sono usate sia in meccanica che in numismatica: un tipico esempio è la moneta inglese da 50 pence, a sette lati (non a caso, perché il numero deve essere dispari). Caratteristica del cerchio è invece la proprietà di essere la figura che, a parità di perimetro, ha la massima area. O, il che è equivalente, che a parità di area ha il minimo perimetro.
Il risultato è intuitivo, come dimostra la storia della fondazione di Cartagine riportata nell’Eneide (I, 360-368). La regina Didone, fuggita da Tiro e sbarcata sulla costa nordafricana, ottenne dal re locale il permesso di scegliere un appezzamento di terra che stesse nella pelle di un bue. Dopo aver ricavato dalla pelle una sottilissima corda, Didone la usò per delimitare la massima area possibile. La sua scelta fu un appezzamento semicircolare in riva al mare, così da dover delimitare con la corda soltanto una parte del perimetro. Per quanto intuitiva, questa proprietà del cerchio non fu dimostrata che nel 1838 da Jacob Steiner. E la sua dimostrazione era incompleta, perché assumeva l’esistenza di una figura avente la massima area, una volta fissato il perimetro. La prima dimostrazione completa fu data da Weierstrass nel 1872, che usò i metodi analitici del calcolo delle variazioni.
In precedenza, nel 1828, lo stesso Steiner aveva introdotto in geometria il processo di inversione, che permette di rivoltare il cerchio come un guanto, scambiandone l’interno con l’esterno. In pratica, ogni punto esterno viene mandato nel punto interno che sta sulla stessa retta radiale, e tale che il prodotto delle distanze dei due punti dal centro sia uguale al quadrato del raggio. Lo stesso processo manda invece all’esterno i punti interni (con la sola eccezione del centro, che va “all’infinito”). L’aspetto interessante dell’inversione è che, mentre i cerchi esterni sono trasformati in cerchi interni non passanti per il centro, le rette esterne sono trasformate in cerchi interni passanti per il centro. In questo modo si rende concreta l’intuizione che «una retta è un cerchio infinito», si riduce la retta a un caso degenere del cerchio, e si assegna a questo il ruolo di ente fondamentale della geometria.
Il cerchio iperbolico
Una delle proprietà caratteristiche della geometria euclidea, che si trova appunto già negli Elementi (IV, 5), è che per i vertici di un triangolo passa un cerchio. La dimostrazione usa in modo essenziale l’assioma delle parallele: anzi, la proprietà e l’assioma sono addirittura equivalenti! Il che significa che in una geometria in cui l’assioma delle parallele fallisce (ad esempio nella cosiddetta geometria iperbolica, sviluppata da Bolyai e Lobachevski nel secondo decennio del secolo XIX) ci sono triangoli per i cui vertici non passa nessun cerchio.
L’aggettivo “iperbolica” si deve al fatto che, per il suo studio, si usa una versione della trigonometria che sta all’iperbole come la trigonometria solita sta al cerchio. In altre parole, come seno e coseno di un angolo sono le coordinate di un punto sul cerchio unitario, così seno e coseno iperbolici sono le coordinate di un punto sull’iperbole unitaria (di equazione x2-y2=1). Ma, come spesso succede in matematica, sotto una analogia apparente si nasconde una vera e propria identità. In questo caso il passaggio ai numeri complessi, che annulla la differenza fra +1 e -1, permette di vedere il cerchio e l’iperbole come la stessa curva. Dovrebbe dunque esistere un numero il cui rapporto con l’iperbole sia lo stesso che pi greco ha col cerchio: questo numero esiste effettivamente, si chiama e, ed è uno dei più importanti della matematica. Per rimanere però alla geometria iperbolica, ci si può chiedere in che cosa i suoi cerchi differiscano da quelli euclidei. In negativo, non è più vero che i punti del cerchio formano un angolo retto col diametro, né che la lunghezza della circonferenza è proporzionale al raggio, né che l’area è proporzionale al quadrato del raggio. Ma ci sono anche differenze in positivo, e la più sorprendente è certo quella dimostrata da Bolyai nel 1823: nella geometria iperbolica è possibile quadrare il cerchio, usando soltanto riga e compasso!
A causa delle sue strane proprietà, non è facile immaginare la geometria iperbolica soltanto sulla base della sua definizione, ossia sulla negazione dell’assioma delle parallele. Fortunatamente, si conoscono vari modelli della geometria iperbolica, e i due più noti si basano proprio sul cerchio. Il primo fu trovato da Klein nel 1871, e interpreta le rette iperboliche come corde del cerchio, ma gli angoli in maniera insolita. Il secondo fu trovato da Poincaré nel 1882, e interpreta le rette iperboliche come archi di cerchio (ortogonali al modello), e gli angoli nella maniera solita. I due modelli non solo forniscono interessanti e ingegnose reinterpretazioni del cerchio, ma riportano anche la geometria iperbolica nell’ambito della geometria euclidea dalla quale eravamo partiti. Possiamo dunque considerarli l’appropriata chiusura del cerchio della nostra storia.