Piergiorgio Odifreddi
Ritratto del più sconcertante oggetto matematico
QUESTO è il terzo numero di una nuova rivista, ma il quarto che esce: per non cadere in contraddizione, il numero di prova si è dunque chiamato “numero zero”. Il che dimostra che lo zero è un numero, e che è dello stesso tipo degli altri numeri. La cosa è chiara a tutti i lettori, ma non lo è sempre stata: non solo perché, non esistendo prima questa rivista, non potevano esserci i suoi lettori, ma anche perché, ad esempio, i greci e i romani credevano di dover partire per le loro riviste dal numero uno.
I primi a capire di poter fare un numero zero, nel caso lo avessero voluto, sono stati gli indiani e i maya, e in entrambi i casi abbastanza recentemente (almeno da una prospettiva storica).
Numeri
La mancanza dello zero non si fece infatti sentire fino a quando si usarono sistemi additivi di rappresentazione numerica, come quelli egiziano, greco, romano o azteco, che in origine avevano solo simboli per l’unità, le decine, le centinaia ecc.(o, più in generale, per le potenze della base): ad esempio, per rappresentare il numero 2030 i romani scrivevano MMXXX, che registrava la presenza di due migliaia e tre decine, ma non l’assenza di centinaia e unità, ed era da interpretare, come
1000 + 1000 + 10 + 10 + 10.
Al vantaggio dei sistemi additivi, e cioè l’indipendenza dall’ordine degli addendi, si opponevano però sostanziali svantaggi: da un lato, la teorica necessità di infiniti simboli per le infinite potenze della base; e dall’altro, la (poco) pratica pesantezza della rappresentazione, che richiedeva troppe ripetizioni. Questa venne dapprima ovviata con l’introduzione di simboli per altri numeri, come i V e L romani, e poi dall’eliminazione delle ripetizioni di unità, decine, centinaia ecc. mediante l’introduzione di simboli per i numeri fra 1 e 9: si passò così a un sistema additivo-moltiplicativo che permetteva, ad esempio, di scrivere 2030 più semplicemente come: 2 * 1000 + 3 * 10.
Il passo finale fu l’introduzione, da parte dei babilonesi nel 2500 a.C., di un sistema posizionale (in base 60) che eliminava ogni menzione delle potenze della base mediante la convenzione di rappresentarle in un ordine fisso. In un tale sistema sorge la necessità di indicare la mancanza di una potenza della base, e dunque di aggiungere ai simboli da 1 a 9 (in base 10) anche un simbolo per lo zero, pena la confusione tra numeri quali 2300, 2030, 2003, 230, 203, 23 ecc.
Ma i babilonesi si adattarono a convivere con la confusione: solo nel secolo IV a.C. i loro eredi seleucidi introdussero un simbolo per lo zero, anche allora unicamente fra cifre, e non alla fine del numero; e solo nel secolo II d.C. Tolomeo incominciò a usare un simbolo per lo zero (l’omicron o, iniziale di ouden, “vuoto”) anche in posizione terminale, ma mai da solo, ossia come numero indipendente.
Il primo sistema posizionale (in base 10) completo dello zero fu introdotto dagli indiani verso il 500 d.C. Nel manoscritto hshali lo zero è indicato con un punto ed è chiamato sunya, che significa “vuoto”: dalla sua traduzione araba sifr deriva la parola “cifra”; dalla successiva traduzione latina cephirum deriva l’italiano zevero, che poi divenne zero. Oltre che come zero esso funzionava anche da variabile, il che ha una certa logica: l’attuale mancanza di qualcosa si può infatti intendere come la possibile presenza di qualunque cosa!
A un sistema analogo a quello indiano (ma in base 20) arrivarono anche i maya, nella seconda metà del primo millennio. Essi avevano due tipi di rappresentazione: il primo usava tre soli simboli, e cioè una conchiglia vuota (chiamata xok, “vuoto”) per lo zero, un punto per l’uno, e un segmento per il cinque; il secondo, in accordo con la base del sistema, usava invece venti facce di divinità.
La forma attuale dello 0 ci arriva dagli arabi: è sia una stilizzazione del punto indiano, che una deformazione del buco circolare, che (forse) una rappresentazione dell’uovo generatore.
Come le altre cifre decimali, lo zero venne introdotto in Europa dapprima da papa Silvestro II, che ne era venuto a conoscenza durante un suo viaggio in Spagna nel 967, e poi nel 1202 da Fibonacci nel suo Liber abaci, causando non poche resistenze e scontri fra abacisti e algoristi, rispettivamente favorevoli al vecchio abaco e alla nuova notazione algebrica. Nel 1299 la città di Firenze passò un’ordinanza che proibiva l’uso dei nuovi numerali perché essi erano più facilmente falsificabili di quelli romani (ad esempio, cambiando 0 in 6 o 9), e un editto analogo fu ancora promulgato nel secolo XV a Francoforte.
Naturalmente, una volta introdotto, lo zero può diventare di tutto: numero di una rivista, oggetto di adorazione da parte di sette, o titolo e soggetto di una poesia (figura 1).
Punti
L’analogo geometrico dello zero è ovviamente il punto, che Euclide definiva appunto come “ciò che non ha parti”: che poi anche due punti, ovviamente ancora senza parti, dovessero allora essere secondo la sua definizione un solo punto, non sembrava preoccuparlo. In ogni caso, l’intera geometria è costruita a partire dagli evanescenti punti: forse nichilisticamente, ma certo non inconsistentemente, visto che enti che non hanno parti possono benissimo essere le parti di altri enti (spazi e figure),che hanno dunque parti.
Se il punto è il nulla geometrico, un punto mancante è un buco a zero dimensioni: una doppia immagine del nulla. E se l’infinito è il contrario aritmetico dello zero, la continuità è il contrario geometrico del buco a zero dimensioni.
A prima vista sembra che i numeri razionali siano già completi, nel senso che non si possa inserire niente fra loro, perché sono densi: fra due qualunque di essi ne esistono sempre altri. Ma la prima impressione, come spesso succede, è sbagliata: se, ad esempio, si dividono i razionali, ponendo a sinistra tutti quelli il cui quadrato è minore di 2, e a destra quelli il cui quadrato è maggiore di 2, non c’è niente che separi le due classi, perché non esiste un razionale il cui quadrato sia 2. Anzi, se si dividono i razionali in due classi disgiunte e non vuote tali che ogni elemento della prima è minore di ogni elemento della seconda, quasi sempre esse individuano un buco.
Per rimediare alla situazione, ovvero per completare la retta razionale, si sono introdotti i numeri reali, che sono stati definiti da Richard Dedekind nel 1872 proprio come coppie di insiemi di numeri razionali del tipo appena descritto: in particolare, la coppia formata dai razionali i cui quadrati sono rispettivamente minori o maggiori di 2 definisce un numero che si indica con radice quadrata di 2. In tal modo si eliminano dalla retta razionale tutti i buchi, ottenendo una retta reale completa.
Opposto alla retta completamente senza buchi è un insieme unidimensionale di punti che sia completamente bucato. Una possibile precisazione del concetto sta nel richiedere che fra due punti qualunque ci sia non solo un buco a zero dimensioni (un punto), ma uno a una dimensione (un segmento). E, per evitare soluzioni ovvie quali l’insieme degli interi, richiediamo inoltre che l’insieme abbia anche molti punti, ad esempio tanti quanti i numeri reali stessi.
Una bella soluzione al problema è la cosiddetta “polvere di Cantor”, che si ottiene nel modo seguente: si prende un segmento, lo si divide in tre parti uguali, e si cancella quella centrale; si divide poi ciascuno dei segmenti rimanenti in tre parti, e si cancellano quelle centrali; e così via. In tal modo si polverizza il segmento iniziale, ma rimane comunque una enorme quantità di punti, pari appunto a quella dei numeri reali stessi.
Un procedimento simile si può fare ad esempio con triangoli e cubi al posto di segmenti, e si ottengono rispettivamente oggetti completamente bucati a due o tre dimensioni, definiti in maniera analoga a quelli unidimensionali, e chiamati rispettivamente “gaschetta di Sierpinski” e “spugna di Menger” (figura 2). Questi oggetti non sono soltanto pure curiosità, sono anzi esempi di figure geometriche piuttosto in voga dette frattali, la cui proprietà caratteristica è di essere autosimili, tali cioè che ogni loro parte ha la stessa struttura del tutto, e che hanno trovato applicazioni nella descrizione di fenomeni naturali finora refrattari alla trattazione matematica, dalle nuvole alla conformazione delle coste.
Insiemi
L’analogo insiemistico del punto senza parti è l’insieme vuoto senza elementi, che si indica con lo . Questa volta però i matematici moderni, più smaliziati di Euclide, hanno introdotto un assioma di estensionalità (una versione del Principio degli indiscernibili di Leibniz), che identifica fra loro tutti gli insiemi con gli stessi elementi: diversamente dai punti, c’è dunque al più un insieme vuoto.
Che poi ce ne sia almeno uno, e dunque esattamente uno, si può dimostrare facilmente: basta dividere tutti gli insiemi in due classi N e V, ponendo nella prima quelli non vuoti, e nella seconda i rimanenti; se l’insieme vuoto esiste, non c’è niente da dimostrare; se invece l’insieme vuoto non esiste, allora V è l’insieme vuoto che cercavamo.
Poiché però questi discorsi rischiano di essere troppo astratti, è bene mostrare un’immagine dell’insieme vuoto per illustrarne visivamente la struttura (figura 3): appare qui per gentile concessione della rivista filosofica Mind, che l’ha per prima pubblicata nel numero di Natale del 1901, apparentemente riferita a un altro membro della numerosa famiglia delle nullità (oggi sappiamo che, in base all’assioma di estensionalità, tutti i membri della famiglia sono in realtà incarnazioni della stessa persona).
Naturalmente, la dimostrazione precedente (per non parlare della figura) è più umoristica che matematica: nella pratica l’esistenza dell’insieme vuoto viene assunta come primo assioma, per poter iniziare da qualcosa (il nulla!) la costruzione dell’intero edificio. Infatti, come la geometria è costruita a partire dai punti, anche la teoria degli insiemi, e dunque tutta la matematica moderna, che su di essa si basa, è costruita a partire dall’insieme vuoto, e si riduce letteralmente ad un edificio di pure forme che si dissolve in ultima analisi nel nulla. Allo stesso modo, si rimane con niente in mano se si cerca l’essenza della cipolla pelandola (Ibsen, Peer Gynt; Pirandello,Vestire gli ignudi), o del carciofo sfogliandolo (Wittgenstein, Ricerche filosofiche).