Piergiorgio Odifreddi
Ma quanto è difficile rappresentare una sfera su di un piano
ABBIAMO tutti sentito e ripetuto la storia che Cristoforo Colombo ebbe difficoltà a trovare finanziamenti per la sua impresa marittima a causa della persistente credenza che la Terra fosse piatta: i banchieri temevano che le caravelle, arrivate al bordo, sarebbero precipitate nel vuoto assieme ai loro soldi.
Benché diffusa questa storia è comunque un mito; ma la realtà è, come spesso accade, ancora più interessante. Come racconta il figlio stesso di Colombo, Fernando, nel secolo XV tutti (o almeno quelli che “contavano”) sapevano che la Terra è rotonda, e l’obiezione era un’altra: che dopo aver navigato in discesa allontanandosi dalla Spagna, le caravelle non sarebbero riuscite a tornare in salita, neppure con i venti più forti.
Da quando dunque si sapeva che la Terra è rotonda? Praticamente da quando ci si è posti la domanda. Per esempio, lo sapeva già Aristotele, che nel De Caelo (II, 14) riportava due motivazioni indipendenti. Anzitutto, durante le eclissi di Luna l’ombra che la Terra proietta su di essa è visibilmente circolare. Inoltre, spostandosi nella direzione nord-sud le costellazioni dell’emisfero settentrionale si abbassano rispetto all’orizzonte, fino a scomparire, e altre nuove ne appaiono.
Il problema di Colombo era dunque non la forma della Terra, ma le sue dimensioni. Queste erano state stimate nell’antichità dapprima da Eratostene, direttore della biblioteca di Alessandria, e poi da Tolomeo, l’astronomo da cui prende il nome il sistema tolemaico. Il libro di Tolomeo, la Geografia, fu ristampato nel 1472, e ne acquistarono copie Colombo nel 1479 e il re Ferdinando d’Aragona nel 1486. I calcoli di Tolomeo (meno corretti di quelli di Eratostene) furono personalmente “verificati” da Colombo, durante un viaggio in Africa. La cosa era di importanza cruciale, visto che la stazza delle navi dell’epoca permetteva a malapena approvvigionamenti sufficienti per un viaggio di quella distanza, e non oltre. La Giunta dei Matematici nominata nel 1484 dal re Giovanni II del Portogallo rimase scettica, dubitando che i calcoli fossero un po’ troppo ottimisti, e rifiutò il finanziamento dell’impresa. I portoghesi vengono così oggi tacciati di oscurantismo, ma il fatto è che essi avevano effettivamente ragione: la circonferenza terrestre era infatti superiore del 20% alla stima di Tolomeo, il quale aveva per buona misura sottovalutato anche la dimensione delle terre emerse, e le provviste non sarebbero affatto state sufficienti a Colombo per raggiungere le Indie. Se, come egli credeva, non ci fossero stati ostacoli sul cammino, le tre caravelle si sarebbero dunque trovate in cattive acque: fu soltanto il fortunato annullarsi di due errori che permise all’impresa di riuscire; e (ironicamente) a Colombo di credere di aver avuto completamente ragione!
Il cilindro infinito
A partire dai viaggi di Colombo, gli esploratori iniziarono una serie di misurazioni che dovevano portare alla mappatura del globo. Ma le misure da sole non bastavano, perché la rotondità della Terra rende problematica la sua rappresentazione su un foglio piano.
A prima vista, il problema sembra non sussistere: volendo riportare su un foglio delle figure disegnate su una sfera trasparente, basta inserire una lampadina circolare nel centro della sfera, arrotolare a cilindro il foglio attorno all’equatore della sfera, accendere la lampadina, e riportare con una matita le proiezioni sul foglio. La cosa risulta però insoddisfacente, anzitutto perché due calotte sferiche (determinate dai coni che uniscono il centro della sfera ai bordi del foglio arrotondato) vengono escluse dalla carta: in altre parole, per proiettare tutta la sfera sarebbe necessario un cilindro infinito. Inoltre, più ci si avvicina ai bordi del foglio, più le figure della sfera diventano distorte: in particolare, gli angoli sulla carta non sono uguali a quelli sulla sfera.
I marinai, che usano la bussola fino a quando non la perdono, richiedono alle loro carte due condizioni di cui solo la prima è soddisfatta dalle proiezioni cilindriche: anzitutto, le direzioni verso il nord devono essere tutte rappresentate da linee verticali, inoltre le direzioni fornite dalla bussola devono essere rappresentate correttamente rispetto alla direzione nord (per esempio, se un fiume scorre in direzione nord-est, sulla carta esso deve risultare a 45°).
Una buona soluzione al problema venne trovata nel 1569 dal “cartomante” fiammingo Gerhard Kremer, detto Mercatore (perché il suo cognome significa “mercante”), ed essa si trova su tutti gli atlanti. La sua idea fu la seguente: poiché i meridiani sono alla distanza massima all’equatore e minima ai poli, ma sulla carta devono venire rappresentati da linee equidistanti, la scala lungo i paralleli deve progressivamente crescere verso i poli; poiché tutti i paralleli sono rappresentati sulla carta da segmenti della stessa lunghezza, la scala lungo un parallelo è determinata dal rapporto fra la sua lunghezza e quella dell’equatore; e affinché gli angoli vengano preservati, le scale lungo i meridiani devono crescere della stessa quantità di cui crescono quelle lungo i paralleli. Questo rende unica la rappresentazione di una carta soddisfacente alle condizioni dei marinai (a meno della grandezza), e a Mercatore non rimase che disegnarla.
Poiché l’appetito vien mangiando, ci si può chiedere se, invece di preservare gli angoli, una carta possa preservare le distanze: in altre parole, se esiste una carta della sfera, o anche solo di una sua porzione, a scala non variabile (come quella di Mercatore), ma fissa, come nelle mappe delle città. Che la risposta sia negativa si può intuirlo da un’esperienza familiare: se cerchiamo di stendere su un tavolo una porzione di sfera, ad esempio un pezzo sufficientemente grande della buccia di un arancio o di un melone, finiamo per deformarla o romperla.
Dimostrare matematicamente la cosa non è molto più complicato, come fece per la prima volta nel 1775 il Bach dei matematici, Leonard Euler. L’osservazione cruciale è che su una sfera la distanza tra i due meridiani passanti per due punti sull’equatore decresce andando verso i poli, e tracciare le direzioni dei meridiani richiede soltanto l’uso del compasso, cioè misure di distanze. Il che è una buona notizia, perché significa che non è necessario né guardare fuori dalla terra alle eclissi di luna o alle stelle, né tanto meno uscire dalla Terra per fotografarla dallo spazio, per accorgersi che essa è una sfera. La stessa cosa dovrebbe però succedere anche in una carta in scala: ma sul piano, i meridiani passanti per due punti sono rette parallele, e quindi sempre alla stessa distanza tra loro. Il che è una cattiva notizia, perché significa che tutte le carte a scala fissa, come quelle stradali o geografiche, sono sbagliate: ma, poiché per territori piccoli le distorsioni sono minime, solo i latifondisti avranno dei problemi, come è certo giusto che abbiano.
Ipersfere e candide rose
La mappatura della Terra non è ovviamente la fine della storia, poiché rimane da mappare il resto dell’Universo. Riservandoci di tornare sul problema al momento dei primi viaggi intergalattici, per ora ci accontenteremo di esaminare la soluzione proposta da Dante nella Divina Commedia, poiché essa offre un bell’esempio di uso inconscio della matematica nella letteratura.
Il Paradiso dantesco mostra un mondo tolemaico con una rigida struttura geometrica, che vede la Terra al centro di una serie di nove sfere concentriche crescenti, rappresentanti i cieli della Luna, di Mercurio, di Venere, del Sole, di Marte, di Giove, di Saturno, dello Zodiaco o delle Stelle Fisse, e del Primo Mobile o Cristallino. Quest’ultimo, che «non ha altro dove che la mente divina» (XXVII, 109-110), a un tempo racchiude l’universo sensibile e ne è al di fuori.
Oltre il Primo Mobile è il cielo empireo, raffigurato come una simmetrica serie di nove sfere concentriche decrescenti, che sono le sedi di Angeli, Arcangeli, Principati, Potestadi, Virtù, Dominazioni, Troni, Cherubini e Serafini, e il cui centro è un punto di luce abbagliante che rappresenta Dio (XXVIII, 16-18).
L’universo dantesco si compone dunque di due serie di sfere distinte, una sensibile e l’altra celeste, i cui centri sono rispettivamente la Terra e Dio. Dante (46-57) è però turbato da una mancanza di simmetria: le sfere dell’universo sensibile sono infatti tanto più perfette quanto più si allontanano dal centro terrestre, mentre quelle dell’universo celeste diventano tanto più perfette quanto si avvicinano al centro divino. E la difficoltà non è certo risolta dalla misteriosa spiegazione di Beatrice (61-78), secondo cui l’ordine inverso delle sfere spirituali è solo apparente, e il centro divino è in realtà la sfera maggiore. Non meno problematico sembra poi essere il fatto che gli universi sensibile e celeste stiano dentro due sfere (il Primo Mobile e il Cielo degli Angeli) che sono tra loro disgiunte: per poter esaurire l’intero spazio esse dovrebbero infatti avere la superficie in comune, e quindi essere una dentro e l’altra fuori (qualunque cosa ciò possa voler dire).
Per capire che diavolo succeda nel divino universo dantesco è bene fare un passo indietro, e tornare con i piedi per Terra. Se si potesse vedere l’emisfero meridionale dal polo sud, l’immagine che se ne avrebbe sarebbe quella di una serie di cerchi concentrici (i paralleli), che si ingrandiscono fino a raggiungere un massimo (l’equatore). Recandosi all’equatore e guardando l’emisfero settentrionale, si vedrebbe una situazione opposta: una serie di cerchi concentrici che diminuiscono, fino a raggiungere un punto (il polo nord). La Terra si può dunque effettivamente rappresentare mediante due serie di cerchi, che si devono immaginare come aventi la circonferenza dell’equatore in comune: anzi, questo si fa spesso nelle rappresentazioni cartografiche della Terra, anche se in genere i due cerchi si riferiscono non agli emisferi meridionale e settentrionale, ma alVecchio e al Nuovo Mondo.
L’universo dantesco non è che una rappresentazione analoga: i cerchi concentrici diventano sfere concentriche, le coincidenti circonferenze dei cerchi massimi diventano le coincidenti superfici delle sfere massime, e la sfera che rappresenta la Terra diventa una ipersfera che rappresenta l’universo. Il motivo per cui non possiamo immaginarci l’ipersfera, è che sarebbe necessaria una dimensione in più: come per poter vedere il globo terrestre senza limitarsi alle due serie di cerchi si deve usare lo spazio tridimensionale, per poter vedere l’ipersfera senza limitarsi alle due serie di sfere si dovrebbe usare uno spazio a quattro dimensioni, che è però al di fuori della portata dei nostri sensi.
Rimane da chiarire che cosa volesse dire Beatrice nella sua spiegazione, e come sia possibile che Dio appaia «inchiuso da quel ch’elli 'nchiude» (XXX, 12). Anche qui basterà considerare il globo terrestre: se esso fosse un fiore con lo stelo nel polo sud, ad esempio una «candida rosa» (XXXI, 1), al suo dispiegarsi i paralleli diventerebbero cerchi via via più grandi, man mano che si avvicinano al polo nord. E il polo stesso diventerebbe non solo un intero cerchio, ma il più grande di tutti.
Analogamente, se l’ipersfera dantesca potesse dispiegarsi nello spazio a quattro dimensioni, il punto divino diventerebbe una sfera che racchiuderebbe tutte le altre. E, sorprendentemente, questo è esattamente il modo in cui noi vediamo l’universo oggi, attraverso un telescopio: lo sferico fronte di espansione delle galassie, che si trova alla distanza percorsa dalla luce dal momento del Big Bang, è in realtà l’immagine dispiegata di quel solo istante. L’universo si può dunque immaginare come una ipersfera, ossia come una coppia di sfere in espansione con un centro nella Terra, e un altro nel Big Bang. Il che assegna un significato particolarmente concreto all’universo dantesco, il cui creatore viene in tal caso a coincidere con l’istante della creazione dell’universo, come ci si poteva d’altra parte attendere dal suo ruolo istituzionale.