Peano nacque a Spinetta, in provincia di Cuneo, il 27 agosto 1858. Il suo nome divenne noto nel mondo intero in seguito alla propaganda fattane da Bertrand Russell, portavoce ufficiale della nuova logica e suo più titolato rappresentante. Nella sua Autobiografia egli narra di essersi recato, da giovane ricercatore, al congresso di filosofia di Parigi del 1900, e di essere rimasto impressionato dalla brillantezza e dal rigore degli interventi di Peano, sicuro indizio di una logica superiore. Russell si fece immediatamente dare tutti gli scritti di Peano, li studiò a fondo, e saccheggiò da essi quanto potè. In seguito Russell dichiarò spesso di avere profonda riverenza per Peano, e di averlo ammirato fin dal momento in cui l'aveva incontrato.
Tali e tanti complimenti da parte di un campione mondiale di egocentrismo qual'era Russell, non certo avvezzo a distribuirne, possono solo significare che Peano era un pensatore fuori del comune. In effetti, come vedremo, alcune delle sue scoperte sono entrate nella storia: prima fra tutte la famosa curva che porta il suo nome, oggi addirittura raffigurata in un monumento a Cuneo.
Gli uomini fuori del comune lo sono però, spesso, non soltanto per le loro scoperte, ma anche per le loro opinioni e i loro comportamenti, e Peano non fu da meno. Egli non faceva mai esami all'università, e riteneva che andassero anzi aboliti in ogni scuola, perchè era inutile preoccuparsi di tormentare gli studenti impreparati: ci avrebbe pensato la vita a bocciarli. In un articolo su Torino Nuova del 17 agosto 1912, significativamente intitolato Contro gli esami , Peano scriveva: ``è un vero delitto contro l'umanità tormentare i poveri alunni con esami, per assicurarsi che essi sappiano cose che la generalità del pubblico istruito ignora''.
Quanto ai laureandi, Peano non si preoccupava se essi arrivavano alla laurea completamente impreparati. I suoi colleghi, poco propensi a cedere alla vita le loro prerogative di commissari, istituirono un nuovo esame di cultura generale da sostenere subito prima della laurea, che fu spazzato via soltanto dalle rivendicazioni del '68. In esso gli studenti dovevano dimostrare di avere almeno un livello minimo di preparazione, e di conoscere fra l'altro la materia che avrebbero dovuto imparare da Peano: l'analisi matematica.
Peano insegnava analisi perchè ne aveva ottenuto la cattedra nel 1890, grazie a importanti risultati a cui accenneremo fra breve, ma la sua vera fama gli venne dal campo dei fondamenti della matematica. Nel 1889 egli formulò i suoi celebri cinque assiomi sui numeri naturali, che costuiscono l'analogo degli altrettanto celebri cinque assiomi di Euclide sulla geometria. Per arrivare a questo risultato Peano dovette analizzare la nozione di numero col massimo rigore, e introdusse allo scopo un linguaggio logico assolutamente preciso, depurato delle ambiguità del linguaggio naturale, e con un nuovo alfabeto di simboli matematici, corrispondenti alle varie nozioni logiche che egli aveva isolato.
Fu proprio questo nuovo strumento a entusiasmare Russell nel 1900, ma nè lui nè Peano sapevano che un linguaggio simile era già stato inventato da Gottlob Frege molto tempo prima, nel 1879. Il fatto è che il linguaggio di Frege, benchè anche più preciso di quello di Peano, era illeggibile a causa della teutonica apparenza tipografica del suo alfabeto: fu dunque la snella notazione di Peano ad essere adottata, da Russell dapprima, e poi dai matematici di tutto il mondo.
Peano pretendeva però di farla adottare anche agli studenti, e incominciò ad insegnare loro le sottigliezze della logica, invece che gli spessori dell'analisi. Ora non erano solo più gli studenti svogliati a non sapere la materia: democraticamente, nessuno più la imparava, perchè nessuno più la insegnava. I militari, presso la cui Regia Accademia Peano aveva insegnato dal 1886, per arrotondare lo stipendio, lo lincenziarono in tronco nel 1901. I suoi colleghi dell'Università avrebbero volentieri preso misure altrettanto drastiche, se solo avessero potuto, ma si scontrarono contro la libertà accademica, e dovettero limitarsi ad implorarlo: ovviamente, senza nessun successo.
I problemi non erano però finiti. Peano, infatti, dopo aver realizzato una lingua universale per i matematici, decise di estendere la sua cura all'umanità intera. Naturalmente, egli non era il solo: ad esempio, alla fine dell'Ottocento aveva ricevuto una certa attenzione il volapük , una lingua artificiale della cui Accademia Peano divenne presidente nel 1908. Con l'andar degli anni il volapük fu scalzato dall'esperanto, ma nel frattempo Peano aveva elaborato un paio di suoi progetti personali e complementari: il latino sine flexione , una versione grammaticamente espurgata del latino (secondo il principio: ``lice supprime omne elemento grammaticale non necessario'') anticipata in parte da Leibniz, e l'interlingua , basata sul fondamento comune alle parlate europee.
Peano si dedicò per anni alla compilazione del Vocabulario de latino internationale, comparato cum Anglo, Franco, Germano, Hispano, Italo, Russo, Graeco et Sanscrito : partito da quaranta pagine nel 1904, ne raggiunse trecentocinquanta nel 1915. Inutile dire che egli adottò via via la sua nuova lingua, dapprima per i suoi lavori matematici, e poi per le sue lezioni. A questo punto un professore che insegnava la logica invece dell'analisi, parlando in latino sgrammaticato invece che in italiano, aveva superato i limiti. Nel 1925 fu rimosso dal corso di analisi, e fu istituito per lui un insegnamento a cui si diede il significativo nome di matematiche complementari .
Sistemata la lingua, Peano si dedicò nel 1927 alla riforma del calendario, su incarico dell'Accademia delle Scienze (la quale era, evidentemente, all'altezza dei suoi membri): due anni di lavoro produssero un marchingegno in grado di funzionare fino al 2599, che venne venduto per tre lire. Risolti i problemi dell'umanità, a Peano non rimase molto da fare: morì ridendo la notte del 20 aprile 1932, mentre raccontava alla moglie un film che l'aveva molto divertito, visto nel pomeriggio, di ritorno a casa dopo una delle sue singolari lezioni.
A prima vista l'attività scientifica di Peano sembra spaziare nei campi più disparati, dall'analisi alla geometria, dall'aritmetica alla logica. In realtà, dietro all'apparente eclettismo della sua opera si nasconde un unitario interesse per i fondamenti della matematica, dal quale egli derivò lo stimolo per l'analisi delle nozioni più comuni delle varie branche della matematica.
Volendo collocare Peano nell'ambito della ricerca sui fondamenti, lo si deve considerare contrapposto alla contemporanea tradizione di Frege e Russell, e allineato invece a quella di Hilbert. Egli riteneva infatti che i concetti della matematica non dovessero essere ridotti a più fondamentali nozioni logiche, bensì che di ogni disciplina, logica compresa, si dovessero autonomamente isolare i concetti primitivi, descrivendone poi assiomaticamente le proprietà fondamentali. Più che ad una fondazione della matematica ad uso di filosofi-spettatori, Peano era dunque interessato ad una sua organizzazione per matematici-attori.
La storia della matematica gli ha dato pienamente ragione. I matematici si sono infatti sempre disinteressati della riduzione unitaria della matematica alla logica o alla teoria degli insiemi, considerando queste ultime soltanto come puri strumenti , cioè mezzi e non fini. L'organizzazione assiomatica per discipline separate è invece divenuta non solo un riferimento essenziale, ma anche uno strumento obbligato della matematica moderna.
La sostanza dell'approccio assiomatico di Peano (e della sua scuola, in particolare Mario Pieri e Giovanni Vailati) si può facilmente enunciare: gli assiomi sono arbitrari, le nozioni primitive sono definite implicitamente dagli assiomi, e le definizioni sono convenzionali. Il tutto in netta contrapposizione all'approccio euclideo, che richiedeva l'evidenza e la verità degli assiomi, e l'oggettività delle nozioni primitive e delle definizioni.
In genere si citano, come prima esposizione cosciente di questo atteggiamento assiomatico moderno, i Fondamenti della geometria di Hilbert, del 1899. In realtà, già dieci anni prima Peano aveva enunciato il metodo in maniera perfetta, nei Principi di geometria logicamente esposti :
Si ha così una categoria 1 di enti, chiamati punti. Questi enti non sono definiti. Inoltre, dati tre punti, si considera una relazione fra essi, indicata con la scrittura c Î ab, la quale relazione non è parimenti definita. Il lettore può intendere col segno 1 una categoria qualunque di enti, e con c Î ab una relazione qualunque fra enti di quella categoria; avranno sempre valore tutte le definizioni che seguono, e sussisteranno tutte le proposizioni. Dipendentemente dal significato attribuito ai segni non definiti 1 e c Î ab, potranno essere soddisfatti, oppure no, gli assiomi. Se un certo gruppo di assiomi è verificato, saranno pure vere tutte le proposizioni che si deducono.
Volendo trovare differenze con l'approccio di Hilbert, bisogna dunque cercarle altrove. Ad esempio, nel quasi totale disinteresse di Peano per le problematiche metamatematiche, quali la completezza e la consistenza, con la sola eccezione dell'indipendenza degli assiomi.
Peano divenne noto fra i matematici nel 1884, come autore del Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale di Angelo Genocchi. Invece di limitare il suo lavoro editoriale alla stesura delle lezioni del maestro, correggendone al più sviste e imprecisioni, Peano produsse infatti una tale serie di aggiunte e modifiche che Genocchi stesso disconobbe la paternità dell'opera.
Uno dei più duraturi successi del libro furono i controesempi , alcuni dei quali sono ormai entrati nell'uso comune. Peano sfatò anzitutto due miti: che una funzione continua si possa disegnare senza alzare la matita dal foglio;1 e che se ci si trova su un punto di una superficie e, in qualunque direzione si vada, si rimane in piano o si scende, allora si è necessariamente su un massimo.2 Notò poi che una funzione di due variabili può essere continua in ciascuna senza essere continua in entrambe.3 E scoprì infine un errore in quella che all'epoca era la definizione usuale di area di una superficie nello spazio (come limite delle aree delle superfici di poliedri inscritti, al tendere a zero dell'area delle facce).4
Evidenziate alcune delle pecche dei fondamenti dell'analisi, bisognava naturalmente porvi rimedio. Il risultato più importante di Peano in questo campo fu forse il suo contributo alla nozione di area di una figura piana. Rifacendosi da un lato alle approssimazioni di Eudosso e Archimede del cerchio mediante poligoni regolari, e dall'altro alla definizione di integrale di Riemann mediante rettangoli, nel 1893 Peano definì la misura di una figura come il valore comune (se esiste) dei limiti delle approssimazioni mediante poligonali arbitrarie (non necessariamente regolari o connesse) interne ed esterne. La stessa definizione fu proposta nel 1892 da Camille Jordan, e per questo si chiama misura di Peano- Jordan . Oggi è stata soppiantata dalla più generale misura di Lebesgue , proposta da Henri Lebesgue nel 1902, che è sostanzialmente una misura numerabilmente additiva e monotona, mentre quella di Peano-Jordan è soltanto finitamente additiva.
Con la sua nozione di misura Peano contribuì dunque sostanzialmente alla creazione della moderna teoria dell'integrazione, ma il suo risultato più famoso è certamente la curva di Peano . L'antefatto, in questo caso, fu la sorprendente scoperta del 1878 di Georg Cantor, che un segmento ed un quadrato hanno lo stesso numero di punti, nel senso che possono venir messi in corrispondenza biunivoca . Peano mostrò nel 1890 che un segmento e un quadrato possono essere messi in corrispondenza continua .
Ciò che i due risultati pongono in dubbio è, ovviamente, il concetto di dimensione . Oggi sappiamo che questo è topologico: ad esempio, togliendo un punto ad un segmento e ad un quadrato, il primo si decompone in due parti disgiunte ma il secondo no. In termini tecnici, non può esistere nessuna corrispondenza biunivoca e bicontinua (cioè un omeomorfismo) tra un segmento e un quadrato. Nel 1879 Eugen Netto aveva già dimostrato che non può esistere nessuna corrispondenza biunivoca e continua, e dunque i risultati di Cantor e Peano sono incomparabili e ottimali.
La curva di Peano è ottenuta come limite di un processo di approssimazione, il cui più semplice esempio fu dato da Hilbert nel 1891: si divide il quadrato in quattro, e si congiungono i centri dei quadratini con una spezzata che è la prima approssimazione; su ciascun quadratino si ripete poi il processo, costruendo le quattro spezzate in modo che sia possibile congiungerle fra loro, e così via.
L'esempio originale di Peano era più complicato, perchè richiedeva
una divisione del quadrato in nove parti e procedeva per diagonali (vedi la
figura sotto), ma aveva i suoi vantaggi. Ad esempio, nel procedimento di Hilbert
ogni approssimazione dimentica la precedente, mentre in quello di Peano le aggiunge
semplicemente qualcosa (le approssimazioni di Peano convergono uniformemente,
quelle di Hilbert no). Inoltre, le approssimazioni di Hilbert danno la falsa
impressione che il risultato finale sia una biiezione, mentre si vede chiaramente
che quelle di Peano passano più volte su alcuni punti.
Le curve di Peano e di Hilbert hanno lunghezza infinita, non sono derivabili in alcun punto, e non racchiudono un'area. Una curva di lunghezza infinita e non derivabile in alcun punto, ma racchiudente un'area finita, fu trovata da Helge von Koch nel 1906, con un procedimento simile a quello di Peano. In questo caso si parte da un triangolo equilatero, si divide ciascuno dei 3 lati in tre, e sul terzo centrale si costruisce un triangolo equilatero; si ripete poi il procedimento su ciascuno dei 12 segmenti della poligonale ottenuta, e così via.
Gli studi della nozione di dimensione, stimolati dalle scoperte di Cantor e Peano, portarono nel 1918 alla definizione di dimensione frazionaria da parte di Felix Haussdorf, e alla conseguente nozione di curva frattale a dimensione diversa da 1, di cui la curva di Peano fornisce il primo esempio storico.
Oltre a contributi sostanzialmente avveniristici come la nozione di misura e la famosa curva, nei primi anni della sua carriera Peano produsse anche l'ulteriore libro Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale (1887), oltre ad un'impressionante serie di risultati classici, i principali dei quali furono: nel 1886 il teorema di esistenza di soluzioni di equazioni differenziali, sotto la sola ipotesi di continuità di y¢ (come funzione di y e x); nel 1888 il teorema di esistenza di soluzioni di sistemi di equazioni differenziali lineari (per somma infinita di integrazioni successive o, come diremmo oggi, per un teorema di punto fisso); nel 1889 il teorema del resto di Peano per lo sviluppo in serie di Taylor; e nel 1890 il teorema di Peano-Schwarz sulle condizioni di commutatività delle derivate parziali seconde di una funzione, ossia affinchè fxy¢¢ = fyx¢¢.
La sistemazione dei fondamenti dell'analisi nell'ottocento aveva seguito due linee di sviluppo complementari, rispettivamente interna ed esterna. La prima, iniziata da Augustin Cauchy e Karl Weierstrass, mirava alla precisazione dei concetti fondamentali della disciplina, da ``limite'' a ``integrale'', e in questa si situavano i contributi di Peano appena descritti. La seconda, perseguita da Georg Cantor e Richard Dedekind, aveva invece ridotto in linea di principio l'analisi all'aritmetica, precisando la nozione di numero reale in termini di successioni o insiemi di numeri razionali.
Il successo di questa riduzione era stato talmente completo, da aver prodotto la famosa esclamazione di Leopold Kronecker: ``Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell'uomo''. Ogni fondazione assoluta della matematica era dunque ridotta alla fondazione dell'aritmetica, che venne ancora una volta perseguita in due direzioni complementari, interna ed esterna. La prima si dedicò all'assiomatizzazione della nozione di numero intero, che fu trovata indipendentemente da Dedekind nel 1888, in Che cosa sono e a che cosa servono i numeri? , e da Peano nel 1889, in Arithmetices principia, nova methodo exposita . La seconda direzione, perseguita da Dedekind stesso, oltre che da Frege e Russell, cercò di ridurre l'aritmetica alla logica, definendo la nozione di numero in termini che oggi diremmo insiemistici.
L'analisi di Dedekind e Peano riduce l'aritmetica a tre nozioni primitive, cioè ``numero'', ``zero'' e ``successore'', e a cinque postulati, che oggi vengono universalmente chiamati assiomi di Peano :
In realtà, per un motivo che spiegheremo in seguito, nelle versioni originali sia di Dedekind che di Peano si incominciava non con 0 ma con 1.
L'assioma 4 è l'unico in cui compaia la negazione. L'assioma 5, il famoso assioma di induzione , è l'unico in cui compare la parola ``ogni'', cioè la quantificazione: sui numeri da un lato, e sugli insiemi di numeri dall'altro. In termini moderni, esso è dunque un assioma del second'ordine, ma proprio questo permette all'assiomatizzazione di essere categorica, cioè di determinare l'insieme dei numeri in maniera univoca, a meno di isomorfismo.
Da questo punto di vista non si poteva fare di meglio, se non migliorare gli assiomi. Nel 1902 Alessandro Padoa notò che, formulando l'assioma 4 nella forma ``esiste un numero che non è successore di nessun numero'' si può dimostrare l'unicità di un tale numero, e dunque definire 0 come quell'unico numero: in tal modo le nozioni primitive si riducono a due (``numero'' e ``successore''), e gli assiomi a quattro (perchè il primo diventa appunto dimostrabile).5 In un'altra direzione, Mario Pieri provò nel 1908 che l'assioma di induzione si può rimpiazzare con il principio del minimo : ``ogni insieme non vuoto di numeri ha un primo elemento''.
Dedekind non fu comunque soddisfatto, e tentò di determinare l'insieme dei numeri in maniera assoluta, definendoli nella logica, ma con scarso successo: in particolare, senza riuscire a fare a meno dell'assioma dell'infinito , che in un primo tempo egli aveva creduto di poter dimostrare con un appello all'insieme delle possibili idee. Peano rimase sempre scettico su questi tentativi, e riferendosi alla definizione di numero di Frege dichiarò: ``come la malattia non è l'insieme dei malati, così il numero non è una classe di insiemi equipotenti''.
Oggi le definizioni di Dedekind e Frege vengono soltanto più considerate come costruzioni di modelli dell'aritmetica nella teoria degli insiemi, e non come spiegazioni del concetto di numero in termini logici. Per la costruzione di modelli dell'aritmetica nella teoria delle funzioni che sta alla base dell'informatica, il cosiddetto lambda calcolo , si usa invece una definizione che Peano diede nel 1891: il numero n è l'operatore che itera n volte una data funzione su un dato argomento.
Per quanto riguarda l'assioma di induzione, oggi si preferisce riformularlo al prim'ordine, e interpretarlo dunque come uno schema di infiniti assiomi, uno per ogni insieme di numeri definibile nel linguaggio. In questo caso bisogna introdurre esplicitamente somma e prodotto, che nella versione del second'ordine sono invece definibili per induzione. La formulazione del prim'ordine cessa però di essere categorica, e permette dunque l'esistenza di strutture che soddisfano tutti gli assiomi, ma non sono isomorfe fra loro. Questo non è comunque un difetto dell'assiomatizzazione di Peano, ma della logica del prim'ordine: dal famoso teorema di incompletezza , dimostrato da Kurt Gödel nel 1931, segue infatti che la stessa limitazione vale per tutti i possibili sistemi di assiomi del prim'ordine per i numeri.
Benchè numeri e punti siano gli oggetti fondamentali della matematica classica, incentrata appunto su aritmetica e geometria, essi hanno personalità contrapposte: sostanzialmente, i numeri sono tutti diversi, ma i punti sono tutti uguali. Se dell'aritmetica era dunque sensato cercare una fondazione logica, che definisse ciascun numero isolatamente, della geometria si poteva immaginare soltanto una fondazione assiomatica, che descrivesse i punti in maniera generica. Il che determinò, allo stesso tempo, il disinteresse di Frege e l'interesse di Peano per la geometria.
Peano dedicò all'assiomatizzazione della geometria molti articoli, e quattro libri: il Calcolo geometrico (1888), I principii di geometria logicamente esposti (1889), Gli elementi del calcolo geometrico (1891) e Sui fondamenti della geometria (1894). Molto altri risultati furono poi ottenuti dalla sua scuola, in particolare da Mario Pieri. Nonostante la sua mole, questo lavoro non è però fra i contributi di Peano più originali e duraturi: da un lato è troppo debitore a Hermann Grassmann e a Moritz Pasch per l'ispirazione, dall'altro lato non ha raggiunto la perfezione e la popolarità del lavoro di Hilbert del 1899.
Due dei libri di Peano sviluppano il calcolo geometrico inventato nel 1844 da Grassmann, che tratta punti, rette e piani come enti su cui effettuare operazioni algebriche. Ad esempio, il prodotto di due punti è una retta, ed è zero solo se essi coincidono; il prodotto di tre punti è un piano, ed è zero solo se essi sono collineari; il prodotto di due rette è un punto, e così via.
Peano presenta nel primo libro uno strabiliante esempio della sinteticità espositiva che il calcolo geometrico permette, dando una dimostrazione del teorema di Pappo-Pascal che consiste semplicemente nell'interpretare in due modi diversi la seguente equazione:
|
Il calcolo geometrico contiene come caso particolare il calcolo vettoriale,
perchè un vettore si può definire come la differenza di due punti.
Peano intravide la possibilità di poter ridurre la geometria elementare
sull'algebra lineare, e nel 1898 assiomatizzò per primo il concetto di
spazio vettoriale , anche a dimensione infinita, ponendo così
le basi (!) per la moderna analisi funzionale.
Per quanto riguarda invece l'assiomatizzazione della geometria, Peano adottò sostanzialmente l'impostazione di Pasch del 1882, migliorandola. Riducendosi alle sole nozioni primitive di punto e segmento aperto , egli definì la retta come prolungamento di un segmento, e dimostrò quelli che di solito vengono enunciati come assiomi di incidenza (per ogni coppia di punti passa una e una sola retta, e ogni retta contiene almeno due punti). Il vantaggio nei confronti dell'assiomatizzazione di Hilbert è che, in tal modo, si riducono le nozioni infinitarie di retta, piano e spazio alla nozione finitaria di segmento aperto. Lo svantaggio è che la relazione primitiva di appartenenza a un segmento aperto mischia fra loro aspetti di incidenza e ordine, che Hilbert invece assiomatizzò separatamente.
Parlando degli Arithmetices principia, nova methodo exposita ci siamo concentrati sui principia e abbiamo sorvolato sul methodo , che sarebbe poi la logica matematica, da Peano così definita:
Logica mathematica es solo instrumento pro exprime et tracta propositiones de mathematica commune; non es fine ad se; logica mathematica es explicato in 16 pagina; uno hora de studio suffice pro cognosce quod es necessario in applicationes de isto novo scientia ad mathematica.
Di questa nuova scienza Peano fu uno dei padri fondatori, insieme a George Boole e Frege. In realtà i tre avevano concezioni profondamente diverse, e vedevano rispettivamente nella logica: un linguaggio formale in cui esprimere la matematica; un calcolo algebrico in cui riflettere le leggi del pensiero; e una teoria assiomatica a cui ridurre la matematica. Naturalmente i vari progetti, di cui i primi due erano sostanzialmente reincarnazioni della lingua characteristica e del calculus ratiocinator leibniziani, e il terzo una loro sintesi, differivano più nell'enfasi che nella sostanza, e richiedevano sviluppi più complementari che contrapposti. Ad esempio, tutti necessitavano di un'analisi sia dei concetti fondamentali del linguaggio della matematica, che delle regole del suo ragionamento.
In questo Frege fu certamente il pensatore più profondo e sottile, ma la sua impossibile notazione lo relegò in un'oscurità quasi totale per decenni. Peano fu invece il più semplice e chiaro, e il suo simbolismo è oggi entrato a far parte della scrittura dei matematici di tutto il mondo. Con buona pace di Croce, il quale affermava nella Logica come scienza del concetto puro :
Questi nuovi congegni sono stati offerti sul mercato: e tutti, sempre, li hanno stimati troppo costosi e complicati, cosicché non sono finora entrati né punto né poco nell'uso. Vi entreranno in avvenire? La cosa non sembra probabile ... Ma la loro nullità filosofica rimane, sin da ora, pienamente provata.
Peano introdusse anzitutto una notazione insiemistico-proposizionale distinta da quella algebrica di Boole. In seguito la notazione insiemistica fu ulteriormente distinta dalla notazione proposizionale, in accordo con la seguente tabella:
I simboli di Peano per gli insiemi sono sostanzialmente quelli moderni, compreso V (da ``Vero'') per l'universo, ed escluso L per l'insieme vuoto (che oggi si indica con Æ, derivato dalla lettera norvegese Ø e introdotto da André Weil). Il simbolo Ì significava però ``Contiene'', al contrario di oggi. Dall'interpretazione originaria deriva l'uso del simbolo inverso É per l'implicazione, che corrisponde appunto all'inclusione secondo la legge che oggi scriviamo
che Peano scriveva più consistentemente
L'aggiungere un indice all'implicazione per descrivere la quantificazione fu la prima di due idee essenziali per estendere il calcolo proposizionale ad una teoria degli insiemi. Peano non introdusse mai una notazione generale per la quantificazione universale, ma nel 1897 introdusse per la quantificazione esistenziale il simbolo $ (da ``Esiste''). Anche il moderno simbolo " per la quantificazione universale segue la convenzione peaniana, perchè deriva dall'inverso di ``All''.
La seconda idea essenziale fu la distinzione, oggi tanto comune da risultare banale, fra elementi e insiemi. Essa si manifesta nell'introduzione di un nuovo simbolo Î (da esti, ``è'') per l'appartenenza , da affiancare al simbolo Ì per l'inclusione. L'inverso di Î era indicato da Peano con ' , e corrispondeva all'operazione di astrazione di insiemi: in altre parole, x ' a indicava l'estensione di a, cioè l'insieme degli x che soddisfano a. L'astrazione permetteva poi di definire i quantificatori: l'universale come x ' a = V, e l'esistenziale come x ' a ¹ L. Peano adottò anche altri simboli per l'astrazione, in particolare x : a e [x Î a]. Oggi si adotta proprio una combinazione di questi due, cioè [x : a], solo che al posto delle parentesi quadre si usano le graffe, e si scrive dunque { x : a}. Il simbolo ' è stato invece abbandonato.
Un'altra manifestazione della distinzione fra elementi e insiemi è il simbolo i (da iso V, ``stesso'') per l'operazione che associa ad un elemento x il singoletto { x}. Era proprio la confusione tra questi ultimi, e soprattutto tra Æ e { Æ}, a provocare un problema nell'interpretazione insiemistica dell'aritmetica, dove 0 e il successore corrispondono a Æ e i: per evitarlo, Dedekind partì dall'1 nella sua assiomatizzazione. Fu appunto Peano a capire la distinzione, nel 1890, e a partire dallo 0 nella seconda edizione del Formulario , nel 1898. Oggi i è stato abbandonato, perchè la notazione insiemistica è stata estesa in maniera da permettere la descrizione di insiemi non solo intensionalmente, attraverso le proprietà che li definiscono, ma anche estensionalmente, attraverso gli elementi che loro appartengono.
Oltre alle nozioni fondamentali della teoria degli insiemi, Peano ebbe anche chiarissimo il ruolo dell'assioma di scelta , a cui si riferisce in un articolo del 1890 con queste parole:
Dal momento che non si può applicare una infinità di volte una legge arbitraria mediante la quale si fa corrispondere ad una classe un individuo di tale classe, abbiamo qui costituito una legge determinata con la quale ad ogni classe, sotto ipotesi opportune, si fa corrispondere un individuo della classe.
Quattordici anni prima della formulazione storica dell'assioma da parte di Ernst Zermelo, Peano lo aveva dunque già enunciato e rifiutato, optando per una posizione che oggi diremmo costruttivista.
Fra il 1895 e il 1908 Peano si dedicò al faraonico progetto del Formulario mathematico , che doveva condensare l'intero scibile matematico in un unico volume che contenesse ``tutte le proposizioni conosciute, tutte le dimostrazioni, tutti i metodi''. In effetti, l'ultima edizione (la quinta) comprime in 463 pagine enunciati e dimostrazioni di 4200 proposizioni nella stenografia del simbolismo logico, oltre a notizie biografiche e bibliografiche su 300 matematici espresse in latino sine-flexione . Ovviamente, una tale mole di lavoro non poteva che essere svolto collettivamente, con il contributo non solo di Peano ma di tutta la sua scuola. La composizione dei volumi avveniva a mano, in una piccola tipografia che Peano aveva impiantato in casa sua.
Il Formulario occupa un ruolo storico di rilievo, accanto a poche altre opere grandiose (o, se si preferisce, megalomani) di sistemazione della matematica, quali I princípi dell'aritmetica di Frege (1893 e 1903), i Principia Mathematica di Whitehead e Russell (1910, 1911 e 1913), i Fondamenti di matematica di Hilbert e Bernays (1934 e 1939), e gli Elementi di matematica di Bourkaki (33 capitoli fra il 1939 e il 1967). Mentre però le opere di Frege, Russell e Hilbert sono oggi pure curiosità storiche, e hanno influenzato soltanto i logici, quelle di Peano e Bourbaki hanno lasciato una traccia profonda nella concezione della matematica moderna.
A sottolineare il ruolo subalterno ma fondamentale della logica e della teoria degli insiemi nei loro progetti, sia Peano che Bourbaki le relegarono nelle introduzioni metodologiche che aprirono le loro opere: rispettivamente, le Notations de logique mathématique (1894) e il Fascicule de résultats de Théorie des Ensembles (1939). Nel Formulario la matematica è suddivisa in otto parti: logica, aritmetica, algebra, geometria, limiti, calcolo differenziale, calcolo integrale, e applicazioni. Negli Elementi le parti fondamentali sono sei: teoria degli insiemi, algebra, topologia, funzioni di una variabile reale, spazi vettoriali topologici, integrazione. In entrambi i casi l'approccio è assiomatico, anche se l'organizzazione è differente: linguistica (logico-alfabetica) per Peano, concettuale per Bourbaki.
La visione della matematica di Peano è dunque, sostanzialmente, quella che attraverso Bourbaki è stata mutuata dalla comunità nel secolo xx. Forse proprio in essa, più che nei suoi pur significativi contributi tecnici e linguistici, risiede dunque la vera eredità che Peano ci ha lasciato.
Gli scritti più importanti di Peano sono:
Sulla vita e sull'opera di Peano, i riferimenti obbligati sono:
Aspetti particolari dell'opera di Peano sono esaminati nelle seguenti collezioni di articoli di autori vari:
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