In un recente viaggio a Barcellona abbiamo visitato
la Sagrada Familia, incompiuta cattedrale dell'architetto Antoni Gaudí. Mentre
l'occhio del turista ondeggiava lungo le linee curve che caratterizzano l'intera
opera, quello del matematico si è fermato su di un particolare della Facciata
della Passione, opera dello scultore Joseph Maria Subirachs. Dietro la statua
di Giuda che bacia Gesù, oltre ad un serpente che rappresenta il diavolo,
c'era infatti la seguente tabella di 16 numeri:
E' evidente che essa ha alcune interessanti proprietà:
ad esempio, la somma dei numeri di ciascuna riga, di ciascuna colonna e di
ciascuna diagonale è sempre la stessa, cioè il fatidico 33 che permette al
dottore di capire se abbiamo il catarro, ma che in questo caso si riferisce
all'età che, secondo la leggenda, Cristo avrebbe avuto quando morì in croce.
Tabelle di questo genere si chiamano quadrati magici, e quello in questione
è piuttosto spettacolare: ci sono infatti 88 modi in cui quattro numeri della
tabella danno come somma 33 (se non ci si limita ad esattamente quattro numeri,
le combinazioni salgono allora a 310). Lasciamo al lettore il divertimento
di scovarli da sé, citando soltanto le disposizioni particolarmente simmetriche
che si ottengono considerando ciascuno dei settori quadrati nord-est, nord-ovest,
sud-est e sud-ovest, così come il quadrato centrale, o i numeri ai quattro
angoli.
A causa delle loro proprietà misteriose, i quadrati magici hanno ovviamente attirato l'attenzione di numerologi e mistici fin dall'antichità. Il più antico che si conosca è il seguente:
Esso è chiamato Lo Shu dai cinesi, che ne
attribuiscono la scoperta al mitologico imperatore cinese Yu (2200 a.C.).
Gli I Ching gli assegnano un significato particolare: il numero 5,
che sta in mezzo sia al quadrato che alla successione dei numeri da 1 a 9,
rappresenta la terra; i rimanenti numeri dispari rappresentano l'elemento
maschile yang, i punti cardinali e le stagioni (ad esempio, 1 il nord
e l'inverno); i numeri pari rappresentano l'elemento femminile yin;
sul bordo pari e dispari si alternano, e coppie successive rappresentano i
quattro elementi, cioè acqua (1,6), fuoco (2,7), legno (3,8) e metallo (4,9).
A differenza dal quadrato 4 per 4 precedente, in cui dei numeri da 1 a 16
due (10 e 14) sono ripetuti e due (12 e 16) non sono usati, in questo quadrato
3 per 3 i numeri da 1 a 9 sono usati tutti, una ed una sola volta.
Esso è anzi l'unico quadrato 3 per 3 con questa proprietà, benché si possa
ruotare o riflettere in 8 modi diversi. La dimostrazione di questo fatto è
semplice ed istruttiva. Anzitutto, si noti che la somma di ciascuna riga,
colonna o diagonale deve essere 15: infatti, tutti i numeri da 1 a 9 compaiono
sul quadrato, e la loro somma è 45; e ciascuna riga (o colonna) deve avere
la stessa somma, quindi 45 va diviso per 3. Le uniche decomposizioni distinte
di 15 mediante addendi compresi fra 1 e 9 non ripetuti sono le seguenti:
9 + 5 + 1 9 + 4 + 2 8 + 6 + 1 8 + 5 + 2
8 + 4 + 3 7 + 6 + 2 7 + 5 + 3 6 + 5 + 4:
Poiché al centro del quadrato ci deve essere una cifra che compare sulla riga centrale, sulla colonna centrale e sulle due diagonali, essa deve essere 5, che è l'unica che compare in quattro delle somme precedenti. Poiché agli angoli del quadrato ci deve essere una cifra che compare su una riga, su una colonna e su una diagonale, essa non può essere 9, che compare soltanto in due delle somme precedenti. Allora 9 deve andare su una riga centrale o su una colonna centrale, che sono così determinate dalle due somme in cui compare 9. Il resto del quadrato segue automaticamente.
Anche gli indiani conoscevano quadrati magici: un esempio del secolo X o XI si trova a Khajuraho, benché esso sia surclassato dalle statue erotiche che affollano il luogo, e che concentrano l'attenzione del turista su piaceri certamente celestiali, ma di natura meno astratta della matematica. In Europa i quadrati magici furono invece introdotti relativamente tardi, nel secolo XV, dall'ottomano Moschopulos. L'esempio classico forse più famoso è il seguente:
Esso appare nell'incisione Malinconia di Albrecht Dürer. La data dell'opera è il 1514, ed è riportata nelle due caselle centrali dell'ultima riga. Oltre alle solite proprietà, l'esempio ne ha anche una speciale: la somma dei numeri in due caselle simmetriche rispetto al centro è sempre la stessa (17). Questo quadrato veniva spesso inciso su un piatto d'argento, e regolarmente usato come talismano contro la peste.
I quadrati magici 3 per 3 e 4 per 4 non sono ovviamente
i soli possibili: anzi, modificandoli appropriatamente ed aggiungendo loro
dei bordi si possono ottenere quadrati 5 per 5 e 6 per 6, da cui si possono
poi ottenere quadrati 7 per 7 e 8 per 8, e cosi via. In altre parole, quadrati
magici n per n esistono per ogni n maggiore di 2.
Ad esempio, per costruire un quadrato 5 per 5 si parte da un quadrato 3 per
3 e si aumentano tutte le sue cifre di 8, così che dei numeri da 1 a 25 rimangono
disponibili quelli fra 1 ed 8, e quelli fra 18 e 25. Agli estremi di ciascuna
riga, colonna o diagonale del quadrato 5 per 5 si porranno poi cifre simmetriche
(ad esempio, 2 e 24), cosi che la somma viene aumentata sempre di 26. Rimane
soltanto da determinare, per tentativi ed errori, quali numeri mettere nelle
righe o colonne del bordo, sapendo che la loro somma deve essere 65 (cioè
la somma dei numeri da 1 a 25, divisa per 5).
