Il "pi greco" (talvolta chiamato "pi", per semplicità di riferimento) è sicuramente uno dei numeri più studiati della storia della matematica. Dagli innumerevoli tentativi di quadratura del cerchio (cioè, della costruzione di un segmento lungo radice di volte un segmento dato) alle ore e ore di tempo-macchina impiegate per calcolarne centinaia di milioni di cifre decimali dopo la virgola (si veda qui per convincersi che non la sto affatto sparando grossa), sono stati effettuati centinaia e centinaia di studi di diversi tipi e con diversi scopi. Di conseguenza, se ne conoscono tantissime proprietà.

      Una proprietà fondamentale di è il fatto che è un numero irrazionale: non esiste nessuna frazione il cui risultato dia . Questo ha come immediata conseguenza il fatto che le cifre dello sviluppo decimale di non presentano nessun periodo, perché la formula imparata nella scuola media per convertire un numero decimale finito o periodico in frazione dimostra che ogni numero periodico è razionale. Il dubbio che questa proprietà possa non essere valida in una base di numerazione diversa da 10 può essere risolto dimostrando che una formula perfettamente analoga vale in qualsiasi sistema di numerazione. Insomma, se anche lo sviluppo binario di sembra avere qualche schema che si ripete, tale ripetizione non può certamente essere regolare, perchè la razionalità (cioè, il fatto di essere pari al risultato di una divisione) non dipende dal sistema di numerazione.

      Dalla domanda della lettrice scaturiscono però altre riflessioni. Anche se non è possibile trovare una regolarità periodica nello sviluppo delle cifre di , potrebbe darsi, per esempio, che in tale sviluppo esistano certe cifre (o combinazioni di cifre) che compaiano più frequentemente di altre? La risposta a questa domanda è tutt'altro che banale, per cui vale la pena di fermarcisi su un po'.

      Nel 1909, il matematico Émile Borel coniò la definizione di numero normale: un numero si dice normale in base 10 se due qualsiasi successioni di cifre della stessa lunghezza compaiono nel suo sviluppo decimale con uguale frequenza. In altre parole se un numero è normale, nel suo sviluppo decimale ogni numero compare con frequenza 1 / 10, ogni coppia di numeri compare con frequenza 1 / 100, così come ogni terna di numeri con frequenza 1 / 1000 e così via. È immediato convincersi che un numero normale è per forza irrazionale (in un numero periodico, infatti, alcune successioni di cifre non compaiono proprio per nulla, cioè hanno frequenza 0!), ma che non tutti i numeri irrazionali sono normali (è possibile dimostrare che il numero 0,202002000200002000002... è irrazionale, ma chiaramente la successione di cifre "3456" non compare mai nel suo sviluppo decimale). Un numero, inoltre, si dice assolutamente normale se è normale in tutte le basi intere.

      La dimostrazione della "normalità" di un numero è un problema ancora aperto, cioè non si è riusciti a trovare un modo per dimostrare se un dato numero è normale oppure no: i numeri che sono notoriamente normali appartengono a classi molto particolari oppure sono numeri costruiti appositamente per possedere questa proprietà. Non si sa quindi se sia normale; in compenso, un'analisi delle frequenze con cui si ripetono tutte le possibili combinazioni all'interno delle cifre note dello sviluppo di si accorda molto bene all'ipotesi statistica che lo sia (per un'analisi delle frequenze con cui compaiono le singole cifre, si veda per esempio qui). In realtà si suppone che (insieme con altre costanti comuni, come per esempio la radice di due o il numero di Nepero) sia addirittura assolutamente normale, anche se non si ha nulla, oltre all'evidenza statistica, a supporto di questa ipotesi (maggiori informazioni su questo problema in particolare e sui numeri normali in generale si possono trovare in rete, cercando "normal numbers" in qualsiasi motore di ricerca). Se questo fosse vero, comunque, si potrebbe dare l'ultimo colpo alla speranza della lettrice: non solo non può esserci alcuna periodicità nello sviluppo binario di , ma addirittura non esistono nemmeno combinazioni di zero e uno che compaiono più spesso di altre nel suo sviluppo.

      Va detto comunque che la domanda è tutt'altro che sciocca. In effetti, quello di cercare una regolarità in qualsiasi fenomeno si presenti è una tendenza decisamente umana (che a volte può addirittura diventare un'ossessione, come sa chi ha visto il film "A beautiful mind"!). Oltretutto, i numeri binari composti da un dato numero di cifre sono decisamente pochi rispetto agli analoghi decimali (si pensi, per esempio, che esistono 16 numeri binari e 10000 decimali con quattro cifre), per cui è estremamente facile illudersi di riuscire a trovare una qualche regolarità nello sviluppo binario di un numero.