E’ vero che la somma dei cubi dei primi n numeri naturali è uguale al quadrato della somma dei primi n numeri naturali? Come si dimostra?

È vero che la somma dei primi n cubi è il quadrato della somma dei primi n interi.

Per dimostrarlo innazitutto dimostriamo una formula semplice che permette di calcolare la somma dei primi n interi, mediante un procedimento ideato da GAUSS. Consideriamo la sequenza dei primi n numeri naturali. Sommando il primo numero (1) con l’ultimo (n), il secondo (2) con il penultimo (n-1), in generale sommando due dei numeri della sequenza in modo che il più piccolo dista da primo quanto il più grande dista dall’ultimo, si ottiene sempre lo stesso valore, cioè n+1. Quindi possiamo calcolare la somma di tutti questi numeri moltiplicando il valore della somma di una di queste coppie per il numero di coppie che ci sono (pari alla metà dei numeri considerati). Quindi


Ora invece dimostriamo che la somma dei primi n cubi è pari al quadrato dell’espressione che abbiamo appena calcolato per la somma dei primi n interi. Eseguiamo la dimostrazione per induzione (se non fosse noto come funziona la dimostrazione per induzione si veda la piccola appendice in coda alla risposta). È ovviamente vero per n=1, per cui adesso lo supponiamo vero per n-1 e lo dimostriamo per n. Consideriamo quindi la somma dei primi n cubi e separiamola nella somma tra i primi n-1 cubi più il cubo di n,

per ipotesi di induzione la prima somma può essere rimpiazzata dal quadrato della somma dei primi n-1 interi, usiamo il risultato dimostrato all’inizio sostituendo n con n-1, dopodichè eseguiamo i normali calcoli algebrici per riscrivere tutto come un’unica frazione

quindi l’ipotesi di induzione è verificata per cui la risulta vero che

Dato che abbiamo all’inizio dimostrato che la quantità tra parentesi quadre è pari alla somma dei primi n interi risulta dimostrato che la somma dei primi n cubi è pari al quadrato della somma dei primi n interi.

Per una risposta più generale sul problema posto si consiglia di consultare questa risposta di Gino Favero.