Un normale registratore a cassette riavvolge il nastro con una velocità circa costante della bobina ricevente, mentre la bobina che si svolge ha una velocità man mano crescente. Ci riferiremo, per comodità, solo alla bobina avvolgente. Dato che possiamo considerare costante lo spessore del nastro, (la velocità angolare, come abbiamo detto, è costante) la bobina avvolgente avrà uno spessore di nastro proporzionale al tempo trascorso dall’inizio del riavvolgimento:
1) s = k t
Detto Ri il raggio del rocchetto vuoto, la quantità di nastro q avvolto sarà rappresentata dall’area della corona circolare di raggio interno Ri e raggio esterno Ri + s:
q = π[(Ri + s) 2 – Ri2] = π(s2 + 2 s Ri)
supponiamo di voler confrontare i tempi di riavvolgimento di due quantità diverse di nastro che stanno tra loro in un rapporto n:
q1 = π(s12 + 2 s1 Ri)
q2 = π(s22 + 2 s2 Ri)
abbiamo, per ipotesi:
q2 = n q1
quindi:
2) s22 + 2 s2 Ri – n s12 – 2 n s1 Ri = 0
Risolvendo la 2) rispetto a s2 si ottiene, scartando ovviamente la soluzione negativa (*):
s2 = -Ri + √(Ri2 + 2 n s1 Ri + n s12)
ora, posto per comodità Rr = Ri / s1
otteniamo:
3) s2 / s1 = -Rr + √(Rr2 + 2 n Rr + n)
ma, per la 1):
t2 / t1 = s2 / s1
quindi, per rispondere alla domanda, con n = 2 come richiesto:
4) t2 / t1 = -Rr + √( Rr2 + 4 Rr + 2)
Il rapporto tra i tempi dipende da quanto è grande il rocchetto vuoto. Facciamo due casi estremi:
Rocchetto molto, ma molto piccolo:
(Rr << 1 o addirittura Ri = 0) → t2 / t1 = √2
quindi, se t1 = 1 minuto, il tempo per riavvolgere il restante nastro sara’ circa 0,41 minuti (25 secondi).
Ma se il raggio del rocchetto fosse invece molto grande rispetto allo spessore totale del nastro avvolto (come nei vecchissimi registratori a filo), dato che il raggio della spira più interna non differisce molto dal raggio di quella più esterna:
(Rr >> 1) → t2 / t1 = 2
Quindi il tempo residuo è quasi uguale a quello dato, cioè un altro minuto.
Nei casi intermedi ( vari valori del rapporto Rr) si ricavano facilmente dalla 4) e saranno compresi fra gli estremi 0,41 e 1.
Se la quantità di nastro già avvolta non fosse la metà, ma 1 / n basta usare la 3)
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(*) La soluzione negativa non ha senso in quanto starebbe a rappresentare (in un film proiettato alla rovescia, col tempo invertito) un rocchetto che, girando all’indietro, e arrivato alla fine del nastro continuasse a girare, assottigliandosi a spese del rocchetto stesso.
Un senso potrebbe averlo se si immaginasse un rocchetto di raggio nullo, e si immaginasse altresì di partire da un raggio Ri, gia’ pieno di nastro invece che del materiale del rocchetto, e di tornare indietro fino a svolgere tutto il nastro, continuando poi a riavvolgerlo al contrario fino a raggiungere lo spessore voluto.
Anzi, per dirla più esattamente, si dovrebbe ipotizzare questo tempo negativo come situazione di partenza e la condizione data come di partenza essere invece quella di arrivo (tempo 0).
In ogni caso la descrizione del nostro problema indicava come tempo 0 quello di inizio del riavvolgimento e nessuna ipotesi si faceva sul tempo trascorso prima (tempo in cui il nastro era con ogni probabilità fermo o in svolgimento play di direzione e velocità ben diversi), condizioni in cui, evidentemente, le equazioni e le soluzioni qui riportate non valgono.