Come si può risalire alla velocità di un razzo conoscendo solo la quantità di moto (massa dei gas espulsi e loro velocità)al secondo? Quali sono le leggi/relazioni di un microrazzo appeso in orizzontale ad un pendolo balistico, ammettendo che la sua massa rimanga costante (rifornito permanentemente dal filo) e come si sposta dalla verticale?

Immaginiamo un razzo nello spazio e, per semplicità, lontano da campi gravitazionali e in quiete rispetto a un opportuno riferimento inerziale. Vediamo che cosa succede quando il razzo accende i motori:

Supponiamo che la velocità di eiezione dei gas combusti rispetto al razzo stesso sia costante, la chiameremo -Ve (il segno meno dipende dal fatto che abbiamo assunta positiva per comodità la direzione in cui si muoverà il razzo stesso).

Immaginiamo ora che il razzo, di massa m, eietti una massa elementare di gas dm  con velocità Ve.

Un’istante prima la velocità della massa elementare era quella del razzo V, un istante dopo è V – Ve

La quantità di moto della particella è quindi variata di dP = -dm Ve

Per il terzo principio della dinamica il razzo e la particella non possono variare la loro quantità di moto totale quindi:

m dV – dm Ve = 0

equazione differenziale a variabili separabili che si integra facilmente fornendo la classica formula:

ΔV = Ve ln(mi / mf)

che da la variazione di velocità del razzo ΔV :

i simboli:

ln sta per logaritmo naturale

mi sta per massa iniziale del razzo

mf sta per massa finale del razzo

Come si vede la variazione di veocità dipende solo da quanto velocemente viene espulso il gas e da quanto combustibile/comburente si è consumato.

In altre parole se un piccolo ugello fa uscire il gas alla stessa velocità di un grosso ugello, a pari combustibile consumato, nel primo caso il razzo raggiungerà la velocità finale in maggior tempo, ma la velocità finale sarà la stessa nei due casi.

Veniamo ora al secondo quesito.

Qui abbiamo un razzetto che, alimentato attraverso un filo, genera una spinta che lo sposta dalla posizione di equilibrio del pendolo costituito dal razzetto appeso al filo nel campo gravitazionale.

È opportuno scindere il problema in due: la spinta del razzo e il calcolo della nuova posizione di equilibrio (se c’è).

Supponiamo che la portata di combustibile + comburente sia q e la velocità di eiezione sia Ve:

in ogni istante dt la massa eiettata sarà dm  =  q dt

la variazione di quantità di moto (vedi sopra) sarà : dP = dm Ve = q Ve dt

Nello stesso intervallo di tempo l’impulso dato al razzetto sarà ancora dP = F dt

da cui la forza (costante) che spinge il razzetto:

1) F = q Ve

Ora occupiamoci del pendolo. Abbiamo un bivio: a) il razzetto si mantiene sempre orizzontale; b) il razzetto si inclina seguendo l’inclinazione del pendolo.

Caso a)

L’equilibrio si ha quando la forza risultante dalla somma della gravità (verso il basso) e della propulsione a razzo (diciamo verso destra) è allineata col filo.

Detto α l’angolo del filo con la verticale sarà:

tg α = q Ve / mg

In questo caso, più forte è il getto, più l’angolo si avvicina all’angolo retto (filo orizzontale)

caso b)

in questo caso la forza del razzo è diretta sempre normalmente al filo:

si avrà equilibrio quando la componente della gravità normale al filo sarà uguale alla forza del razzetto:

mg sen α = qVe

da cui

sen α = qVe/mg

va da sé che, quando il razzo spinge esattamente com mg, il filo è orizzontale. Se supera questo valore il pendolo si mette a girare senza fermarsi (almeno fino a rottura di qualcosa)