In un compito di Fisica si legge M=(2a^2)/b+c con a, b e c dati. (prec. a=(1.4+-0.1)cm) Il problema si pone quando alla fine dei calcoli ottengo 13,56xxxxxxxxx e approsimo a 14 in quanto ‘a’ ha solo due cifre significative. Il professore lo segna errore perchè dice b e c ne avevano tre [infatti b=(1x,x+-0,1)cm e c lo stesso]. Invece il libro di università di mio fratello mi da ragione. Chi ha ragione?

Alcune
considerazioni generali sugli errori.

Si considerano gli errori piccoli rispetto ai valori assoluti. Quindi trascurabile
il prodotto di due errori

a) Operazione somma:

C = A + B

Cmax
= Amax + Bmax
Cmin = Amin + Cmin

Cerr = Cmax – Cmin
= Amax – Amin + Bmax – Bmin
= Aerr + Berr

In altre parole in un’addizione gli errori assoluti degli
addendi si sommano

b) Operazione moltiplicazione

C = A x B

Cmax
= Amax * Bmax
= (Amin + Aerr) * (Bmin + Berr)
= Amin * Bmin + Amin * Berr + Bmin * Aerr + (Aerr * Berr
trascurabile)

Cmin
= Amin * Bmin

Cerr = Cmax – Cmin
= Amin * Berr + Bmin * Aerr

e dividendo entrambi i membri per Cmin

Cerr
/ Cmin = Aerr / Amin + Berr / Bmin

In altre parole in una moltiplicazione
gli errori relativi dei fattori si sommano

d) Operazione divisione

C
= A / B

Cmax = Amax / Bmin
Cmin = Amin / Bmax

Cerr = Cmax – Cmin
= (Amin + Aerr) / Bmin – Amin / Bmin + Berr
= (Amin + Aerr) / Bmin – Amin * (Bmin – Berr) / ((Bmin – Berr) * (Bmin + Berr))

ora
((Bmin – Berr) * (Bmin + Berr)) = Bmin ^2 – (Berr^2 trascurabile) = Bmin ^ 2

Cerr
= (Bmin (Amin + Aerr) – Amin (Bmin -Berr)) / Bmin ^ 2
Cerr = (Bmin * Aerr + Amin * Berr) / Bmin ^ 2

Cerr / Cmin = (Bmin * Aerr + Amin * Berr) / Bmin * (Amax sostituibile con Amin)

Ne
risulta, come nella moltiplicazione:

Cerr / Cmin = Aerr / Amin + Berr /
Bmin

cioè gli errori relativi si sommano.

Ora veniamo all’esempio proposto:

M = (2 A ^ 2) / B + C
Chiamiamo Arel, Brel, Crel gli errori relativi delle tre variabili, Aass, Bass,
Cass gli errori assoluti

detto P = (2 A ^ 2) / B sarà Prel = 2 Arel + Brel

Sarà anche Pass = P * Prel = (2 Arel + Brel) * ((2 A ^ 2) / B )
(n.b. (2 Arel) deriva dalla elevazione al quadrato non dal fattore due
che è senza errore)

e Mass = Pass + Cass = (2 Arel + Brel) * ((2 A ^ 2) / B ) + Cass

Passando ai numeri:

a = (1.4+-0.1) cm -> Arel = 7%

b = 10,0+-0,1 -> Brel = 1%

c = 10,0+-0,1 -> Cass = 0.1

Mass = (2 * .07 + .01) * ((2 * 1.4 ^ 2) / 10) + 0.1 = 0.65

con questo errore ha senso tenere anche una cifra dopo la virgola (io scriverei
M=10,4 +- 0,6).

Naturalmente i numeri sono un po’ diversi perche’ ho sostituito 0 alle x dell’enunciato,
ma l’ordine di grandezza dell’errore dovrebbe essere quello anche se il risultato
non fa 13,56.