Le onde
gravitazionali furono previste da Einstein in una nota presentata alla Königlich
Preussichen Akademie der Wissenschaften, in occasione dell’adunanza della
sua classe fisico-matematica, tenuta a Berlino il 22 giugno 1916.
In un
secondo articolo presentato in occasione dell’adunanza del 31 gennaio 1918 e
intitolato Über Gravitationswellen (“sulle onde
gravitazionali”), Einstein arriva a scrivere l’espressione della potenza
ceduta dall’onda incidente al sistema, potenza che risulta estremamente
piccola.
Lo stesso
Einstein fa notare che l’energia irradiata “in allen nur denkbaren Fällen
einen praktisch verschwindenden Wert haben must” (in tutti i casi
immaginabili deve avere un valore praticamente nullo).
La matematica che descrive il comportamento delle onde gravitazionali viene direttamente dalle equazioni di Einstein, con un formalismo valido fino a che la lunghezza dell’onda emessa è molto maggiore delle dimensioni della sorgente.
Qualche informazione in più sull’argomento (velocità delle onde gravitazionali, relazione con le singolarità) si trova in altre risposte precedenti.
Ciò che
genera le onde gravitazionali è la variazione del momento di quadrupolo della
distribuzione di massa (cioè la massa si “ridistribuisce” all’interno del sistema), pertanto fenomeni come la rotazione reciproca di due oggetti, la
contrazione o l’espansione di un corpo, la caduta di un corpo massiccio verso
un buco nero, producono questo tipo di effetto.
Sono dunque
emesse quando il sistema di masse in movimento ha una qualsiasi asimmetria (ad esempio un
corpo perfettamente simmetrico che collassa centralmente non emette; lo fa
invece se ha delle disomogeneità), indipendentemente dalla accelerazione.
Gli eventi
singolari (o catastrofici) emettono onde di intensità molto maggiore, anche se
per tempi più limitati; un sistema periodico, come quello di due corpi in
rotazione, emette piccole quantità di energia per più tempo.
Nel caso di
nostro interesse, cioè di un corpo in rotazione su un’orbita circolare attorno a una stella, l’energia irradiata per unità di tempo risulta, in
approssimazione newtoniana:
con G costante di gravitazione universale, c velovità della luce, M e m0 masse dei corpi del sistema, a raggio della rotazione.
Inserendo le masse di una stella solare e di un pianeta di massa 5MJ distanti 1 U.A., l’energia perduta risulta 1 J/s (la luminosità del sole è circa 4 1026 J/s).
A causa della perdita di energia, ancorchè piccola e non rilevabile in questo caso,
- l’orbita si contrae
- la velocità orbitale aumenta
- l’emissione aumenta
- il processo di caduta a spirale di un corpo sull’altro diventa sempre più veloce fino al merging e alla formazione di un
unico oggetto
ma la perdita di energia produrrebbe questi effetti su tempi scala molto maggior dell’età dell’universo, per cui gli effetti gravitazionali risultano trascurabili rispetto ad altri con tempi scala minori (uno fra tutti, l’evoluzione della stella).
Se poi vogliamo provare a rilevare queste onde gravitazionali, occorre tener presente che, nell’ipotesi di emissione isotropa, l’energia che possiamo raccogliere è inversamente proporzionale all quadrato della distanza della sorgente.
Da questo punto di vista, i sistemi planetari sono favoriti rispetto, ad esempio, alle binarie di pulsar, trovandosi a distanze dell’ordine di 10 pc, ma le emissioni sono per ora molto al di sotto della capacità dei rivelatori.
Un aspetto, studiato in particolare negli ultimi anni, può far si che l’emissione di onde gravitazionali da parte di un sistema planetario diventi, per tempi brevi, così intenso da essere rilevabile, anche se non incide particolarmente sul comportamento dinamico del sistema.
La frequenza di emissione delle onde gravitazionali in un sistema rotante è legato alla frequenza di rotazione: se l’orbita
è circolare, la frequenza è doppia, se è ellittica, l’emissione avviene sulle
frequenze multiple della frequenza orbitale. Tanto
maggiore è l’eccentricità, tanto maggiore è il numero di armoniche “occupate”
dall’emissione.
Può succedere che il pianeta, ruotando attorno alla stella, ne ecciti dei modi di oscillazione, aumentando l’emissione gravitazionale.
Per le osservazioni attuali questa risonanza sembra
improbabile, date le caratteristiche meccaniche dei sistemi, ma alcune teorie dinamiche prevedono la presenza di pianeti anche
massicci su orbite molto più strette di quelle osservate finora, senza essere
distrutti dalle forze di marea
e senza passaggio di materia tra i due corpi.
In
particolare, se la massa è circa quella di una nana bruna (20 masse
gioviane) e la distanza è simile a quella della terra, può accadere che
l’emissione sia superiore (10 volte) a quella di un sistema binario con due
pulsar.
In questo
contesto l’approssimazione di quadrupolo utilizzata per stimare in precedenza le energie emesse non è più sufficiente ed occorre
risolvere le equazioni di Einstein per i corpi (ora estesi e non più
puntiformi) perturbandole e utilizzando metodi numerici.
della perdita di energia, il pianeta spiralizza verso la stella, e la perdita
sarà tanto maggiore quanto più si è vicini alla risonanza dei modi di
oscillazione della stella, che dunque emette gravitazionalmente.
Questa
perdita però porta il pianeta stesso a perdere rapidamente energia e ad
allontanarsi dalla risonanza, per cui il tempo in cui rimane nella fase di
elevata emissione è molto ristretto.
Nelle referenze troviamo questi dati:
una nana bruna che eccita il modo g4 di una stella solare raggiunge ampiezze di 2 10-20 per 4 anni e 4 10-21 per 700 anni;
un pianeta gioviano risonante con il modo g10 raggiunge invece ampiezze di 3 10-22 per 3 anni e 6 10-23 per 500 anni.
Il sistema planetario extrasolare finora scoperto che ha la massima emissione gravitazionale è HD283750, che ha ampiezza massima di emissione 4 10-23 per una frequenza corrispondente di circa 105 Hz e si muove su un’orbita quasi circolare. (l’ampiezza di emissione è l’energia associata alla frequenza nello spettro, poichè il sistema è circolare, l’emissione avviene praticamente tutte alla frequenza indicata, l’ampiezza è quindi l’energia totale emessa).
Questi valori sono paragonabili a quelli del sistema PSR1913+16, formato da 2 pulsar di massa 1.4 MSun che ha ampiezza massima di emissione 10-23 e frequenza massima 1.4 10-4 (anche se ha uno spettro più complesso).
Per osservare onde gravitazionali di queste frequenze, verrà messo in orbita dalla NASA (lancio previsto 2015) l’interferometro LISA,il primo rivelatore spaziale di onde gravitazionali.
Referenze:
V.
Ferrari, M. D’Andrea,
E. Berti Gravitational waves emitted by extrasolar
planetary systems Int. J. Mod. Phys. D9 n.5,
495-509 (2000)
E. Berti,V.
Ferrari Excitation of g-modes of solar type stars by an
orbiting companion Phys.
Rev. D63, 064031
(2001)
E. Berti Phd Thesis
(2001)