Malgrado abbia l'aspetto di un indovinello, questa domanda non è priva di interesse.

Per chiarezza, preferisco rispondere alla seguente domanda "preliminare": "in un orologio a lancette ideale, ogni quanto tempo la lancetta delle ore e quella dei minuti si sovrappongono esattamente?".

Per rispondere vi sono due approcci, uno analitico ed uno sintetico.

Per iniziare con l'approccio analitico, consideriamo un orologio ideale, che in questo contesto definiamo come un orologio con lancette delle ore e dei minuti infinitamente sottili (della lancetta dei secondi ci disinteressiamo completamente) che si muovono di moto circolare uniforme (cioè con moto continuo, e non a scatti come di solito invece avviene). L'orologio ideale ha una meccanica perfetta, cosicché tra le velocità angolari delle due lancette vi è esattamente un rapporto 1 a 12. Per comodità, misureremo gli angoli in gradi sessagesimali e il tempo in minuti.

Se indichiamo con v_m la velocità angolare della lancetta dei minuti e con v_h quella della lancetta delle ore, le leggi di moto angolare delle due lancette sono ovviamente date da:

In queste relazioni, a_m ed a_h sono gli angoli formati dalle due lancette con una direzione di riferimento prefissata, mentre a_m0 e a_h0 sono i valori di tali angoli al momento iniziale della nostra osservazione (quando t=0).

Per semplificarci la vita, ma senza perdere alcunché in generalità, possiamo supporre che l'istante iniziale corrisponda esattamente a mezzogiorno (o mezzanotte), quando le due lancette sono perfettamente sovrapposte, e convenire di misurare gli angoli proprio a partire dalla direzione delle ore dodici; in questo modo evidentemente le due relazioni divengono:

(*)

In particolare, se l'orologio è esatto, le due velocità angolari valgono rispettivamente v_m=6°/min per la lancetta dei minuti e v_h=0,5°/min per quella delle ore e quindi:

Le leggi del moto ci consentono non solo di risolvere il problema ma anche di dominare completamente la situazione. Possiamo per esempio chiederci dopo quanto tempo dall'inizio dell'osservazione le due lancette si trovano per la prima volta in posizione ortogonale oppure contrapposte una all'altra; le risposte si trovano semplicemente risolvendo le equazioni:

da cui, rispettivamente, t=16 minuti e 22 secondi circa e t=32 minuti e 44 secondi circa.

Per venire al nostro problema, la risposta alla mia domanda "preliminare" viene dall'equazione:

da cui t=65 minuti e 27 secondi circa.

L'approccio sintetico mi è stato suggerito dalla grande vittoria della Ferrari di Schumacher al Gran Premio di San Marino di ieri (2 maggio 1999). Supponiamo che le due lancette siano in gara tra di loro e ragioniamo come segue: nelle 12 ore che vanno da mezzogiorno a mezzanotte la lancella dei minuti compie esattamente 12 giri e quella delle ore esattamente 1 giro; quindi la prima doppia la seconda esattamente 11 volte nel corso della "gara"; poiché la gara dura 12 ore ed il moto è uniforme, tra un doppiaggio ed il successivo trascorre un intervallo di tempo dato da 12 ore divise in 11 parti, ovvero 1 ora 5 minuti e 27 secondi circa, come precedentemente trovato.

Veniamo infine all'orologio della domanda iniziale: evidentemente, se l'intervallo tra due doppiaggi è di 65 minuti (cioè un po' minore di quello di un orologio esatto) allora l'orologio va un po' più veloce del dovuto e quindi va avanti.

Per un calcolo dettagliato, possiamo partire dalle leggi del moto (*) nelle quali supponiamo di conoscere l'intervallo di tempo tra due sovrapposizioni (65 minuti) ma non la velocità angolare delle due lancette, fermo restando il loro rapporto 1:12 (determinato dagli ingranaggi dell'orologio). Possiamo scrivere:

da cui ricaviamo v_m=6,042°/min (contro i 6°/min dell'orologio esatto). Nell'arco di un'ora, la lancetta dei minuti dell'orologio della domanda copre quindi un angolo di 362,52°; un orologio esatto impiega 1 ora e 25 secondi per coprire lo stesso angolo, quindi il primo orologio va avanti di 25 secondi ogni ora, ovvero 10 minuti al giorno.