Data la difficoltà d’espressione del mio prof. di Geometria1, e la non meno incomunicabilità del mio libro di testo gradirei avere, in modo chiaro e preciso (anche se in modo non molto rigoroso va bene lo stesso) la dimostrazione del teorema di Grassman, sulla dimensione degli spazi vettoriali.

Il percorso che applicheremo per arrivare all’enunciato
del teorema di Grassman sarà il seguente:

  1. Riepilogheremo i concetti di combinazione, dipendenza,
    indipendenza lineare e di base di spazio vettoriale.
  2. Illustreremo, con alcuni esempi, la definzione e costruzione
    dello spazio vettoriale somma.
  3. Enunceremo la definizione e costruiremo lo spazio vettoriale
    intersezione.
  4. Porremo in relazione i risultati ricavati per arrivare
    all’enunciato di Grassman

dim(V)+dim(W)=dim(V+W)+dim(VÇ
W)

 

Definizione: combinazione, dipendenza ed indipendenza
lineare.

Siano v1,…,vp
vettori n-dimensionali, la loro combinazione lineare ( c.l.)
è definita come

a1v1+…+apvp

ove a1,…,ap sono scalari
(i.e. numeri reali), detti coefficienti della combinazione lineare.

I vettori v1,…,vp
sono linearmente indipendenti (l.i.) se non è
possibile esprimere alcun vettore vj come combinazione
lineare degli altri. Se ciò non è verificato, i vettori
sono detti linearmente dipendenti (l.d.).

 

 

Definizione: basi e dimensioni di spazi vettoriali.

Sia V spazio vettoriale immerso nello spazio n-dimensionale
E. Esiste una n-pla di vettori v1,…,vp
linearmente indipendenti tale che ogni vettore di V è
esprimibile come combinazione lineare dei vettori v1,…,vp.
Ovvero:

V={ v : v= a1v1+…+apvp
}

Tali vettori vengono detti base dello spazio vettoriale
V, e la loro numerosità, p, è detta dimensione
dello spazio vettoriale V, e si indica con dim(V)=p.

Esempio 1

Il lettore tracci graficamente gli esempi qui presentati.

Sia u1=(1,0,0), u2=(0,1,0),
u3=(0,0,1) la base canonica dello spazio tridimensionale
E3.

  • E3 è detto spazio tridimensionale
    poiché ogni sua base è costituita di 3 vettori.
  • I vettori (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (1/4, -1/2, 0) sono
    linearmente dipendenti perché ciascuno di essi è scrivibile
    come combinazione lineare degli altri due. Ad esempio (1, 0, 0)=4 (1/4,
    -1/2, 0)+2 (0, 1, 0) e 4, 2 sono i coefficienti di questa combinazione
    lineare.
  • I vettori (2, -3, 5), (0, 1, 0), (0, 0, 1) sono linearmente
    indipendenti. Non è possibile determinare dei coefficienti per
    cui uno sia combinazione lineare degli altri due. Al lettore la dimostrazione
    per esercizio. Osservazione: questi vettori formano una base di E3.
  • Per determinare se una n-pla di vettori è linearmente
    indipendente, la si può collocare in una matrice e calcolarne
    il rango. Il numero di vettori linearmente indipendenti è pari
    al rango della matrice. A=

è la matrice dell’esempio ed ha rango 2, che si
indica con rk(A)=2 (dall’inglese, rank. La definizione di
rango di matrice ed il procedimento di riduzione non trovano spazio
di ricapitolazione in questo contesto e sono lasciati per esercizio di
ripasso al lettore).

 

 

Definizione: somma ed intersezione di spazi vettoriali.

Siano V, W spazi vettoriali immersi in E
e sia w1,…,wq base vettoriale
di W.

[Domanda: che dimensione ha lo spazio W ?].

Lo spazio vettoriale somma V+W è
costituito dei vettori somma dei vettori che giacciono in V e di
quelli in W

V+W={ v+w
: vÎ V, wÎ
W }

ovvero, in termini delle basi

V+W= { s : s= a1v1+…+apvp
+ b1w1+…+bqwq
}

lo spazio somma è, quindi, costituito da vettori
ottenibili come combinazione lineare dei vettori della base di V
e della base di W

.

OSSERVAZIONE: i vettori v1,…,vp,
w1,…,wq non sono necessariamente
linearmente indipendenti, ovvero non formano una base (ma è possibile
che lo siano).

[Risposta: la dimensione di W è pari alla
numerosità della sua base, cioè q].

Lo spazio vettoriale intersezione VÇ
W
è costituito dai vettori che giacciono
contemporaneamente in V ed in W

VÇ W={ x :
xÎ V, xÎ
W }

ovvero, in termini delle basi

VÇ W={ x :
x= a1v1+…+apvp
, x= b1w1+…+bqwq
}

lo spazio intersezione è, quindi,
costituito da vettori ottenibili come combinazione lineare sia della base
di V che di quella di W.

PROBLEMA 1: trovare la dimensione del
spazio vettoriale somma V+W

Non possiamo certo affermare che dim(V+W)
= dim(V)+dim(W) perché alcuni vettori dell’insieme di p+q
vettori v1,…,vp, w1,…,wq
possono essere linearmente dipendenti. Anche perché V,
W
sono sottospazi di E, la cui dimensione è finita e,
diciamo, pari ad n. Può essere possibile che p+q>n
ed il sottospazio somma non può certo avere dimensione maggiore
di n.

Per determinare la dimensione possiamo
applicare il suggerimento fornito nell’esempio 1, collocando per colonne
i vettori v1,…,vp, w1,…,wq
in una matrice e calcolarne il rango:

il procedimento di riduzione che si applica per il calcolo
del rango della matrice, infatti, elimina i vettori linearmente dipendenti.
I vettori restanti costituiscono una base per lo spazio vettoriale cercato.

Esempio 2

Sia V lo spazio vettoriale di base { (1, 0, 0),
(0, 1, 0) }e W lo spazio vettoriale di base { (1/4, -1/2, 0) }.

  • dim(V)=2 e dim(W)=1
  • V+W={ s : s = a (1,
    0, 0) + b (0, 1, 0) + c (1/4, -1/2, 0) }
  • Abbiamo visto, nell’esempio 1, che i vettori della
    base di V e di W sono linearmente dipendenti, quindi lo
    spazio somma non ha dimensione 3, per verificare questo fatto, abbiamo
    collocato i tre vettori in nella matrice e calcolato che rk(A)=2.
  • Pertanto, dim(V+W) = 2.
  • Si immagino due sottospazi bidimensionali dello spazio
    tridimensionale. Il sottospazio somma non può avere dimensione
    4 perché immerso in uno spazio di dimensione 3. Ciò implica
    che uno o due dei vettori di base è c.l. degli altri.
  • Esercizio per il lettore: calcolare la dimensione dello
    spazio somma dello spazio vettoriale
  • V: base. {(0, 1, -1) , (1/4, -1/2,
    0)}
  • W: base { (0, 0, 1) , (0, 1, 0) }

PROBLEMA 2: trovare la dimensione dello spazio vettoriale
intersezione V
Ç
W

Il quesito non è complesso, se affrontato con spirito
di osservazione ed un pizzico di intuizione.

Innanzitutto si inizi dalla definizione di spazio intersezione.

VÇ W={ x :
x= a1v1+…+apvp
, x= b1w1+…+bqwq
}

dobbiamo ricercare quei vettori che soddisfino contemporaneamente
due caratteristiche, l’una di essere c.l. dei vettori della base di V,
l’altra di essere c.l. dei vettori della base di W. Questa condizione
è espressa dalla definizione dello spazio intersezione.

Poiché entrambi le c.l. devono restituire lo stesso
valore di vettore, allora possiamo scrivere, ponendo ap+1=
– b1,…, ap+q = -bq
:

a1v1+…+apvp
+ ap+1w1…+ ap+q wq
= 0

una equazione nel vettore di p+q incognite y
= a1,…,ap,ap+1,…,ap+q

la cui soluzione è lo spazio dei vettori x cercato,
l’insieme intersezione V
Ç
W.

Con un pizzico di intuizione decidiamo di scrivere l’equazione
in forma matriciale

A y = 0

si indovini un pò qual’è la matrice A
?

lo spazio delle soluzioni del sistema A y =
0 ha dimensione p+q-rk(A) .

Da cui

dim(VÇ W)=p+q-rk(A)

 

Esempio 3

Si riconsiderino gli spazi vettoriali degli esempi precedenti
V, di base { (1, 0, 0), (0, 1, 0) }e W, di base { (1/4,
-1/2, 0) }:

  • dim(V)=2 e dim(W)=1
  • ricerchiamo lo spazio intersezione mediante l’equazione
    che lo definisce:

VÇ
W =
{ x : x = a (1,
0, 0) + b (0, 1, 0) , x = c (1/4, -1/2, 0) }

  • in forma di equazione, ponendo a3=-c:

a1 (1, 0, 0) + a2
(0, 1, 0) + a3 (1/4, -1/2, 0) = 0

  • in forma matriciale A y = 0:

  • lo spazio delle soluzioni ha dimensione p+q-rk(A)=3-2=1.
    Al lettore è lasciato per esercizio il compito di risolvere il
    sistema e di verificare che lo spazio delle soluzioni è funzione
    di una sola incognita e, quindi, ha dimensione 1.
  • quindi: dim(VÇ
    W)=p+q-rk(A)=1

 

Il Teorema di Grassman

Siano V, W sottospazi vettoriali
di E, di dimensione finita n, allora

dim(V)+dim(W)=dim(V+W)+dim(VÇ
W)

Dimostrazione

Sia u1, …, un base
canonica di E e sia v1,…,vp una
base del sottospazio V, w1,…,wq
una base del sottospazio W.

La matrice A, ottenuta esprimendo i vettori delle
due basi in funzione della base canonica di E

[1]

è tale che, per costruzione,

rk(A)=dim(V+W) [2]

Inoltre, una base dello spazio vettoriale intersezione
V
Ç
W
è ottenuta da un sistema di n equazioni
in p+q incognite, la cui rappresentazione matriciale è data
dal sistema

A y = 0 [3]

ove y è il vettore delle p+q
incognite.

La dimensione dello spazio vettoriale soluzione del sistema
[3] è pari a p+q-rk(A) , da cui, per la [2]:

dim(VÇ W) = p + q
– rk(A) = dim(V)+dim(W)-dim(V+W)

da cui, portando dim(V+W) al primo membro, si ottiene
la tesi

dim(V)+dim(W)=dim(V+W)+dim(VÇ
W)