Che cosa e’ la rinormalizzazione di una teoria di campo?

I calcoli delle vari predizioni nelle teorie quantistiche di campo sono
spesso eseguite con procedure perturbative. Questo significa che la grandezza
G che si vuole calcolare (predire) è data dalla somma di infiniti termini
(una “serie”):

G = g0 + g1 + g2 + g3 + … (1)

G potrebbe essere la probabilità di un certo processo di creazione di
particelle o qualche proprieta’ quantitativa di una particella che interagisce
con altre (es. la carica)… Nelle teorie fisicamente interessanti accade
il fatto sgradevole che ciascun termine escluso il primo g1, g2, … risulta
essere infinito quando si portano fino in fondo i calcoli! Questo problema
ha creato problemi ai fisici per vari anni fino a quando Feynman, Tomonaga
e Schwinger (ma con l’aiuto decisivo di Dyson allora dottorando di Feynman),
negli anni ’50 compresero come era possibile ottenere risultati sensati
almeno nell’elettrodinamica quantistica: la teoria degli elettroni e dei
fotoni. Si è arrivati così a definire il processo di “rinormalizzazione”
della teoria e si è introdotto il concetto di teoria di campo “rinormalizzabile”.
Il successo della procedura è stato tale che si è avuta, per la via indicata
da Feynman, Tomonaga, Schwinger e Dyson, la previsione verificata sperimentalmente
con la precisione piu’ accurata di tutta la storia della fisica. Mi riferisco
alla prediazione del valore rinormalizzato del “rapporto giromagnetico
dell’elettrone”. Non entro nei dettagli del significato di tale grandezza
ma torno al concetto di rinirmalizzabilità.

Una teoria è rinormalizzabile quando sostituendo valori misurati a quelli
infiniti per un numero *finito* di parametri, si possono fare *infinite*
previsioni sul comportamento fisico del sistema fisico descritto dalla
teoria.

In pratica significa questo: ciascun coefficiente g1,g2,… dello sviluppo
di G di sopra può essere curato dalle infinità riaggiustando solo alcuni
parametri, un numero FINITO di parametri, gli stessi che compaiono in
OGNI termine g1,g2,… Di fatto questi parametri sono delle grandezze
come G stessa e possono essere misurate sperimentalmente. Quindi con una
certa procedura piuttosto complessa di sottrazione di infinità, si sostituiscono
a ciascun termine g1, g2,… i valori misurati dei parametri detti (che
per la teoria sarebbero di valore infinito). In questo modo ciascun termine
g1, g2,… e’ stato rinormalizzato e risulta essere funzione (in genere
una funzione complicata) dei valori sperimentali dei parametri detti.
A questo punto si può calcolare G con l’approssimazione voluta sommando
i g1,g2 rinormalizzati ed il risultato ottenuto si puo’ confronare con
le misure sperimentalidi G. Rinormalizzando gli stessi pochi (finiti)
parametri usati per G si possono calcolare i valori di un infinita’ di
altre grandezze G’,G”,…

Quindi facendo preventivamente un numero finito di misure di pochi parametri,
che poi sono le masse le cariche e le costanti di interazione della teoria,
abbiamo alla fine delle formule che permettono di prevedere infinite caratteristiche
del sistema fisico considerato.

Viceversa se la teoria non è rinormalizzabile il numero di parametri
diversi da “curare” e misurare risulta essere in numero infinito e la
teoria perde predittività: Per poterla usare dovremmo fare un numero infinito
di misure preliminari.

Volevo anche aggiungere che non è detto che una teoria non rinormalizzabile
non descriva buona fisica. Quello che è certo è che *dal punto di vista
perturbativo* cioé usando delle serie infinite come quella in (1) sopra,
una teoria non rinormalizzabile è patologica. Ma non si puo’ dire molto
di più. Perché l’uso di tecniche perturbative dipende dal nostro approccio
per tentare di descrivere il mondo, ma è difficile credere che sia un
fatto intrinseco della Natura. La teoria della gravità nell’impostazione
di Einstein tradotta in teoria dei campi quantistici risulta essere NON
rinormalizzabile. Anche (ma non solo) per questo fatto l’ipotesi del gravitone
come bosone mediatore della forza gravitazionale è piuttosato controversa.

Nemmeno la rinormalizzazione è la procedura definitiva per usare le stesse
teorie rinormalizzabili ai fini della previsione. Questo perché una volta
curati tutti gli infiniti e ottenuta una somma di termini che approssimano
il risultato numerico voluto, accade spesso che la somma completa G che
contiene infiniti termini (tutti finiti!) sia infinita. Questo fatto è
stato provato da F.Dyson sempre negli anni ’50 già per teorie “molto semplici”
come l’elettrodinamica quantistica (QED).

In termini matematici si dice che le serie con questa patologia sono
“serie asintotiche”. Il caso della QED è emblematico: se si somma la serie
fino ad un certo ordine si ottiene un risultato che si avvicina di molto
al valore “vero”, da un certo ordine in poi però se ne distacca ed esplode
all’infinito (oscillando). L’accuratezza raggiunta quando la procedura
approssima bene il risultato vero è però tale che ha prodotto la previsione
più precisa di tutta la storia della fisica quando confrontata con il
risultato sperimentale come detto sopra.

Questa situazione mostra quanto siamo ancora lontani da avere capìto
la vera natura delle cose. Le teorie di stringa, brane e simili sono una
speranza, ma per ora, non hanno apportato una briciola in più di sapere.