Premetto due osservazioni.
1) Per capire il significato di un sistema di coordinate nello spaziotempo
bisogna fare uno sforzo di astrazione. In generale un sistema di coordinate
nello spaziotempo e’ semplicemente una corrispondenza *biunivoca* che
associa a punti dello spaziotempo, cioe’ “eventi”, delle quaterne di numeri
reali. (Ci sarebbero altre precisazioni sulla “regolarita’ di tale corrispondenza,
ma non mi dilungo). I numeri in tali quaterne non devono avere necessariamente
un significato fisico evidente e non e’ nemmeno necessario che tre delle
coordinate siano di tipo “spaziale” ed una sia di tipo “temporale”, possono
benissimo considerarsi sistemi di coordinate in cui due coordinate sono
di tipo tempo e le rimanenti due di tipo spazio e cose ancora piu’ complicate
come coordinate di tipo “luce”. L’unica cosa che deve rimanere salva e’
la biunivocita’ della relazione che accomuna eventi a quaterne di numeri.
Gia’ nello spaziotempo piatto di Minkowski sono possibili sistemi di coordinate
in cui due coordinate sono di tipo tempo. Per esempio posso partire da
due sistemi di coordinate relativi a due sistemi di riferimento connessi
da trasformazioni di Lorentz speciali. Siano tali sistemi di coordinate:
t,x,y,z e t’,x’,y’,z’ e siano i sistemi di riferimento corrispondenti
in moto l’uno rispetto all’altro lungo l’asse x (e x’). E’ possibile mostrare
che possiamo usare come coordinate per lo spaziotempo y,z,t e t’. Infatti,
con in po’ di matematica si vede che la corrispondenza che associa le
quaterne di numeri (t, t’, y, z) agli eventi dello spaziotempo e’ biunivoca
(e regolare).
2) Dato uno spaziotempo ed un sistema di coordinate del tutto arbitrario
x^1,x^2,x^3,x^4, e fissato un evento che corrisponde ad una quaterna (x^1,x^1,x^2,x^4),
posso modificare di poco una coordinata, diciamo per es. x^4 -> x^4 +
dx^4 (ma potrei fare lo stesso per le altre coordinate). Questo nello
spaziotempo mi disegnera’ un “segmentino”, un pezzo di curva. La natura
di questo pezzo di curva puo’ allora essere di tipo spazio, tempo o luce.
Nel primo caso il pezzetto di curva puo’ rappresentare l’estensione spaziale
di un oggetto fisico unidimensionale, nel secondo, l’evoluzione nel tempo
di un punto e nel terzo caso l’evoluzione nel tempo di un fotone. Se la
metrica e’ espressa nelle coordinate considerate come:
ds^2 = (somma su i e j da 1 a 4) g_{ij} dx^i dx^j
la natura dei segmentini dx^k si legge dai segni dei coefficienti g_{kk}.
Si ha che dx^k e’ di tipo spazio, tempo, luce quando rispettivamente g_{kk}
>0, =0, < 0 (questa e’ la convenzione che usa Tipler, ce n’e’ anche un’altra
del tutto equivalente, ma non mi dilungo).
La metrica dell’articolo di Tipler all’equazione (1) con le precisazioni
(2) e’ espressa in un sistema di coordinate particolari, r,z,phi,t. Nella
regione r<1/a, le coordinate hanno il significato intuitivo descritto
inizialmente (in particolare phi e’ un angolo ed e’ variabile sull’angolo
giro completo) e la loro natura e’ quella naturale: t e’ tale che ogni
dt e’ di tipo tempo e le altre tre coordinate sono di tipo spazio.
Il problema si ha quando si considera la regione r>1/a in cui accade
qualcosa di simile, ma non non proprio uguale a quanto accade nelle coordinate
di Schwarzschild attraversando l’orizzonte degli eventi (per altro qui
assente).
Ammesso che le coordinate della espressione (1) abbiano ancora senso
(e l’articolo di Tipler si occupa essenzialmente di queste cose senza
pero’ dare una risposta definitiva), le formule (2) mostrano che nella
nuova regione, la coordinata phi diventa di tipo temporale. Facendo variare
phi su tutto l’angolo giro, la curva considerata puo’ descrivere quindi
la “linea di universo”, cioe’ la traiettoria nello spaziotempo, di una
particella fisica. Dato che la curva e’ *chiusa* per costruzione, tale
particella evolve in un loop temporale chiuso ripercorrendo all’infinito
la sua storia e si ha, in questo senso, una “macchina del tempo infinita”.
Le altre coordinate continuano ad avere la natura iniziale: t rimane di
tipo tempo e r e z rimangono di tipo spazio. Si ha quindi un sistema di
coordinate in cui due coordinate sono di tipo tempo e le altre due sono
di tipo spazio: cio’ puo’sembrare inusuale ma e’ ammesso.