Cosa sono le sommatorie? E’ possibile calcolare una sommatoria che da uno ad infinito?

La definizione formale di somma estesa ad un numero infinito di termini può essere data in termini di limite; infatti data una successione reale xn, è possibile senza alcun problema definire la somma x1+…+xk, denotata anche con

Sk=∑n=1,…,k xn

Si è ottenuta quindi una nuova successione Sk che potrebbe ammettere limite per k -> +∞, denotato con

S=∑n xn

Nel caso in cui questo limite risulti finito, si dice che la serie degli xn risulta convergente.

Ci sono vari metodi per studiare il comportamento delle serie, e spesso uno non riesce a dire di più che il comportamento della serie stessa; ovvero è molto difficile, in generale, calcolare il valore esatto di una serie convergente.

In certi casi notevoli questa operazione è invece possibile; per esempio il caso delle serie geometriche, date dalla successione xn=qn, per un certo q assegnato numero reale, con n naturale (0 compreso). In tal caso si ha

(1+q+q2+…+qk)(1-q)=1+q+q2+…+qk-q-q2+…+qk+1 =1-qk+1,

da cui

Sk=(1-qk+1) / (1-q);

passiamo ora al limite per k -> +∞: qk+1 -> 0 se |q|<1, mentre invece non ammette limite se q=1 o q=-1, o diverge negli altri casi. Quindi la serie geometrica di termine qn converge se e solo se |q|<1, ed in tal caso la somma vale

S=1 / (1-q).

Ci sono altre serie notevoli per cui è possibile il calcolo della somma, per esempio quando si intravede nella serie stessa lo sviluppo in serie di una funzione nota. A titolo di esempio, data la successione xn=1/ n!, la serie

n xn

converge, e, ricordando che

ex=∑n xn/ n!,

si trova

1=e0=∑n xn .