Partendo dalla formula v = Hd, dove v è la velocità di espansione dell’universo, H è la costante di H e d la distanza che consideriamo, come è possibile arrivare a calcolare l’età dell’universo. Quella sopra riportata non è semplicemente un’equazione differenziale del tipo y’ = ay? In questo caso l’equazione oraria che esprime l’espansione dell’universo dovrebbe risultare esponenziale, ma non si dispone di sufficienti informazioni per calcolare il nostro delta t. Come è possibile, dunque, che sia sufficiente calcolare il reciproco di H per stimare l’età dell’universo? E se effettuassimo il calcolo fra un milione di anni, non dovremmo ottenere un valore differente? Come si spiega questo paradosso?

Il paradosso
si spiega col fatto che la famosa costante di Hubble H non e’ affatto
costante! Viene chiamata costante perche’ e’ costante nello spazio (cioe’
ha lo stesso valore ovunque) ma non nel tempo. Nei modelli cosmologici
piu’ accettati, H diminuisce nel tempo, ovvero l’universo rallenta la
sua espansione. Quindi l’equazione differenziale e’ piuttosto del tipo

a’
= H(t) a

dove “a”
e’ detto fattore di scala dell’universo e la sua soluzione dipende ovviamente
da quale legge H(t) segua. Nei modelli cosmologici relativistici, la soluzione
e’ sempre del tipo a legge di potenza, cioe’ a(t) cresce come t^p, p essendo
un esponente minore dell’unita’ (da cui si deduce che l’accelerazione
e’ negativa).

Ora, poiche’
per definizione H(t)=a’/a, si ha che H(t)=p/t. Al tempo presente possiamo
scrivere H(t0)=p/t0. Si vede allora che l’eta’ dell’universo t0 e’ l’inverso
di H_0, a meno di un fattore p che comunque e’ sempre vicino all’unita’.
In altre parole, 1/H_0 e’ sempre una sorta di tempo-scala, che da’ grosso
modo l’eta’ dell’universo.

Naturalmente,
e’ possibile costruire (sempre a partire dalla relativita’ generale di
Einstein) modelli cosmologici in cui la legge di H(t) e’ diversa, e diversa
e’ l’eta’ risultante, perfino infinita. Questo pero’ andrebbe incontro
a vari problemi osservativi. Ad esempio, se H fosse veramente costante,
l’espansione sarebbe esponenziale, come tu dici, ma tale espansione sarebbe
troppo rapida per formare le galassie. Una fase esponenziale e’ probabilmente
avvenuta nel passato (inflazione) e forse si ripresentera’ nel futuro,
ma per la maggior parte della sua vita l’universo si e’ espanso in maniera
rallentata (puoi vedere il mio libro “Il
cielo infinito“, ed. Sperling e Kupfer, per maggiori dettagli.