E’ sufficiente
scrivere le equazioni che esprimono l’angolo di posizione del pianeta
in funzione del tempo e verificare due casi:
- quando gli angoli di fase dei due pianeti sono uguali, a meno di
k volte un angolo giro (in questo caso i due pianeti saranno allineati
dalla stessa parte rispetto al Sole) - quando gli angoli di fase dei due pianeti sono opposti, a meno di
k volte un angolo giro (in questo caso i pianeti si troveranno allineati
ma da parti opposte rispetto al Sole)
Ecco le
equazioni semplificate per un moto circolare uniforme con condizione iniziale
di allineamento:
a1=w1*t
(angolo in funzione del tempo t)
a2=w2*t
w=2
/T (velocità angolare del
pianeta)
ricordo
che gli angoli sono espressi in radianti (un angolo giro = 2
radianti) e T è il periodo del pianeta espresso in anni (T1=120 e T2=30).
Dunque w1=/60 e w2=/15.
Impostiamo
la prima condizione, quella che chiede quando i due pianeti hanno angoli
di fase uguali a meno di k volte un angolo giro
a1+2k=a2
/60t+2k=/15t
da cui si
ricava che t=40k vale a dire che ogni multiplo intero positivo del periodo
base di 40 anni i due pianeti si troveranno allineati dalla stessa parte
rispetto al Sole.
La seconda
condizione chiede quando i due pianeti hanno angoli di fase opposti (uno
sarà radianti in anticipo rispetto
all’altro) a meno di k volte un angolo giro.
a1+2k=a2+
/60t+2k=/15t+
da cui
si ricava che t=40k-20.
Pertanto
il primo allineamento avverrà dopo 20 anni (i due pianeti sono opposti)
il secondo dopo 40 anni.