Come noto un campione di materiale può essere
caratterizzato dal punto di vista elettrico valutandone il comportamento che
assume quando ad esso è applicata, tramite elettrodi, una tensione elettrica. A
seconda delle proprietà conduttrici del materiale, l’entità del flusso di
corrente elettrica provocata all’interno del campione dalla tensione applicata
assume valori molto diversi. Nel caso semplice di sollecitazione in tensione di
valore costante (regime continuo) il parametro che descrive l’entità della corrente
è la resistenza elettrica (simbolo convenzionale R).
Qualora la tensione elettrica non abbia valore
costante ma variabile nel tempo con andamento periodico sinusoidale, la
corrente che si sviluppa risulta avere (salvo rari casi) anch’essa andamento
sinusoidale con lo stesso periodo o, equivalentemente, la stessa frequenza di
oscillazione. In questo caso, tuttavia, la corrente elettrica è caratterizzata
da due grandezze anziché una:
– l’ampiezza,
che descrive il valore massimo dell’oscillazione di corrente;
– la fase
relativa, ovvero il ritardo temporale (o l’anticipo!) che l’onda sinusoidale di
corrente assume rispetto all’onda sinusoidale di tensione.
Queste informazioni sono riassunte dalla grandezza
impedenza elettrica (simbolo convenzionale Z) che rappresenta l’estensione
formale della resistenza nel caso, peraltro molto frequente, di regime
sinusoidale. È fondamentale ricordare qui che l’impedenza è rappresentabile da
un numero complesso la cui parte immaginaria dipende dalla frequenza (f) dell’onda
di tensione sollecitante.
Ovviamente anche una sostanza organica, quale una
fibra o un tessuto, può essere caratterizzata dal punto di vista elettrico; si
parla, pertanto, di impedenza tissutale.
L’effetto di risonanza può essere illustrato
facendo riferimento alla rappresentazione schematica di un campione di
materiale in Figura 1.
Figura 1 –
Semplice esempio di circuito risonante sollecitato dalla tensione sinusoidale
V. In evidenza anche le cadute di potenziale sui singoli elementi.
La resistenza R coincide, per basse frequenze, al
valore di resistenza in regime continuo, la capacità C riassume gli effetti di
accumulo di carica elettrica sul tessuto mentre l’induttanza L descrive gli
effetti magnetici dovuti alla corrente variabile. La rappresentazione di Figura
1 è puramente astratta, nel senso che non è banale associarvi porzioni di
tessuto né valutare il valore dei parametri necessari per analizzare a livello
quantitativo il fenomeno.
Per la rete generale di Figura 1 l’impedenza
complessiva vale:
dove il termine 2πfL prende il nome di reattanza induttiva (XL) e 1/(2πfC) si dice reattanza capacitiva (XC).
Osservando la (1) si nota che esiste un particolare valore della frequenza f
per la quale la componente induttiva bilancia la componente capacitiva
annullando la parte immaginaria dell’impedenza. Dal punto di vista intuitivo si
può interpretare il fenomeno considerando che il ritardo dell’onda di corrente
rispetto all’onda di tensione provocato dagli effetti induttivi (L) sia
perfettamente compensato dall’anticipo tra le onde stesse provocato dagli
effetti capacitivi (C). In effetti capacità e induttanze rappresentano fenomeni
descritti dalle equazioni di Maxwell dell’elettromagnetismo e rispecchiano la rispettiva
dualità tra campo elettrico e magnetico.
In queste condizioni, di risonanza appunto (in
particolare risonanza “serie”), l’impedenza è una grandezza puramente reale e
coincide con la resistenza R; ciò significa che la corrente elettrica ha
sfasamento (cioè differenza di fase ovvero ritardo) nullo rispetto alla
tensione (le onde si dicono appunto “in fase”). Per la legge di Ohm la corrente
ha ampiezza massima:
indipendente dai valori di L e C.
Ancora dalla (1) risulta molto semplice valutare
la frequenza alla quale si manifesta la risonanza. Infatti, affinché si annulli
la componente immaginaria dell’impedenza deve essere:
da cui:
Si osservi che tale frequenza dipende
esclusivamente dalle componenti reattive L e C ma non dalla resistenza R che
interviene, d’altra parte, quale unico parametro per la definizione
dell’ampiezza della corrente alla risonanza, vedi (2).
Come curiosità si osservi che la tensione ai capi
della resistenza ha ampiezza massima VR,MAX=IMAX*R=VMAX,
cioè pari all’ampiezza massima della tensione applicata ai capi dell’intera
rete mentre le tensioni massime ai capi della capacità C e dell’induttanza L
sono rispettivamente:
Si osservi inoltre che per valori di induttanza elevati e
capacità piccole le tensioni VC,MAX e VL,MAX possono
superare l’ampiezza massima della tensione applicata (VMAX); questo
risultato, apparentemente sorprendente, è dovuto ad uno scambio reciproco di
energia tra condensatore ed induttanza che non coinvolge la sorgente esterna.
In condizioni di risonanza lo scambio è massimo perché l’energia elettrica
immagazzinata nel condensatore C è in opposizione di fase all’energia magnetica
contenuta nell’induttore L: quando uno dei due acquista energia l’altro la
cede. Pertanto, le tensioni VC,MAX e VL,MAX, alla
risonanza, hanno uguale ampiezza (basta sostituire la (3) nelle espressioni
appena trovate) ma verso, istante per istante, opposto: nella somma, vedi Figura 1,
tutta la differenza di potenziale V è sostenuta dalla resistenza.
In Figura 2 è riportata un esempio di impedenza al
variare della frequenza: sono evidenziati modulo (Figura 2a) e fase (Figura 2b)
della grandezza completa Z. Si osservi che, come dimostrato, per f=fo
(risonanza) l’impedenza è minima in modulo (L e C non giocano più nessun ruolo)
e il ritardo di fase è nullo.
Le applicazioni della risonanza sono svariate in
tutti i campi dell’ingegneria e della fisica; in particolare, in ambito medico,
si rivela utile lo studio dell’impedenza tissutale allo scopo di evidenziare
anomalie del tessuto organico, indice di eventuali disfunzioni o patologie.