Esiste una funzione definita da 0 a +infinito, limitata (con asintoto orizzontale), non periodica, che restituisce valori non trascendenti (quindi appartenenti all’insieme Q, dei numeri razionali)?

La risposta è affermativa, anche se va fatta una precisazione, in quanto dalla domanda pare che ci sia un po’ di confusione. La precisazione è riferita alla struttura dei numeri reali, e più precisamente, ai sottoinsiemi numerici fondamentali. Per semplicità arriviamo direttamente al punto: l’insieme R dei numeri reali è unione disgiunta dei numeri razionali Q e dei numeri irrazionali I. Tra i numeri irrazionali però ve ne sono alcuni che assomigliano ancora ai razionali, e altri che invece sono completamente estranei. Quindi una suddivisione diversa di R può essere fatta da numeri algebrici e numeri trascendenti, la cui unione disgiunta fornisce ancora R. I numeri algebrici sono quei numeri reali che sono soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi, ovvero equazioni della forma p(x)=0, con p polinomio a coefficienti in Z. Dunque Q risulta essere sottoinsieme dell’insieme dei numeri algebrici.

Tutto questo per dire che quando si dice numero trascendente non si intende semplicemente un numero non razionale, bensì un numero non algebrico. Esempi di numeri algebrici non razionali sono le radici quadrate di numeri interi, le radici cubiche, ecc…

Premesso ciò l’idea della costruzione è questa: consideriamo una successione monotona crescente di razionali x  (o algebrici per quanto visto) con 0 < xn <1, convergente a 1; allora consideriamo la funzione f definita da

f  è una funzione costante a tratti, non decrescente, limitata con asintoto orizzontale y=1; non è periodica e la sua immagine è costituita dall’insieme {xn : n naturale}, che è sottoinsieme di Q. Ne segue che f verifica le condizioni richieste.

Ora alcune osservazioni. Anzitutto un’osservazione di struttura: l’esistenza della successione xn; l’insieme dei numeri razionali Q costituisce un insieme denso nell’insieme dei numeri reali R, per cui per ogni x reale esiste una successione xn di razionali convergente ad x.

Una seconda osservazione, più per specialisti e più profonda, a mio avviso, riguarda la possibilità  di costruire funzioni che verificano quanto richiesto, ma meno banali di una funzione costante a tratti. Il punto della questione è che se uno richiede un minimo di continuità della funzione, che non sia costante a tratti, allora non è possibile costruire un esempio. Questo discende da un altro fatto strutturale degli insiemi numerici: presi due reali qualsiasi, c’è sempre un numero trascendente tra di essi. Infatti, se denotiamo con x<y i due numeri reali dati, allora l’intervallo [x,y] ha la cardinalità  del continuo, mentre sappiamo che i numeri algebrici sono in quantità  numerabile. Essendo l’insieme dei numeri trascendenti il complementare dell’insieme dei numeri algebrici, si ha l’asserto. Si conclude l’osservazione facilmente, ora: se f fosse continua in [x,y] con x<y e con f(x)<f(y) (per esempio), allora per il Teorema dei valori intermedi f assumerebbe tutti i valori tra f(x) ed f(y), e quindi l’immagine di f conterrebbe almeno un numero trascendente.