Il modo più semplice per studiare i sistemi a massa variabile
consiste nel considerare il sistema più grande e completo, quello
cioè che comprende sia il sistema in esame che l’ambiente
circostante, con il quale il sistema studiato scambia massa. Infatti,
dato che la massa non si crea né si distrugge (almeno fintanto
che le velocità in gioco sono piccole rispetto a quella della
luce), ad ogni variazione della massa del sistema in esame ne deve
corrispondere una uguale ed opposta altrove. Per fare un esempio
specifico, il razzo è un sistema che perde massa (espelle i gas
di reazione), ma questa massa rimane dispersa nell’ambiente esterno.
Considerando il sistema nella sua completezza, si può seguire
facilmente l’evoluzione del suo centro di massa. Grazie ad un importante
teorema di Meccanica, si ha che il moto del centro di massa risulta
influenzato solamente dalle forze esterne al sistema. Qualunque sia
l’interazione tra le singole componenti, il moto del centro di massa non
ne risentirà. Una conseguenza immediata è che, se le forze
esterne al sistema sono trascurabili (ad esempio, nel caso del moto di
un razzo nello spazio interplanetario), allora il moto del centro di
massa permane in uno stato di moto rettilineo con velocità
costante (al limite, rimane fermo). Diverso è per un missile che
decolla da terra: in questo caso, sul sistema razzo+gas agiscono sia la
forza di gravità che le resistenze di attrito, oltre che la
reazione vincolare del suolo che nelle fasi iniziali del decollo blocca
la propagazione libera dei gas espulsi.
Nel caso specifico del razzo che espelle gas, si può anche
ricorrere ad una trattazione alternativa. Considerando il solo missile
(senza includere i gas espulsi), il suo centro di massa non rimane
naturalmente in moto rettilineo uniforme. Si può quindi
introdurre una forza aggiuntiva Fs, detta forza di
spinta, che include la reazione dovuta all’espulsione dei
gas. Questa forza è assimilabile ad una forza esterna al sistema
(costituito del solo razzo), e si aggiunge alle altre forze
Fi di varia natura (attrito, gravità,
eccetera). In questo caso, il moto del centro di massa del razzo (che di
fatto coincide con la posizione del razzo stesso) obbedirà alla
legge
.png)
dove aCM è l’accelerazione del centro di massa
ed M è la massa (variabile) del missile. In particolare,
se vg è la velocità di espulsione dei
gas e T è il loro tasso di espulsione (massa di gas persa
per unità di tempo), la forza di spinta vale in modulo:
.png)
Una discussione dettagliata delle equazioni che regolano il moto del razzo si trova sul bellissimo sito di Eric Weisstein (in inglese): http://scienceworld.wolfram.com/physics/Rocket.html.