Qual’è il rapporto tra stato di un sistema fisico ed energia? In fisica classica ad ogni stato corrisponde un determinato valore dell’energia. In fisica quantistica ad ogni stato corrisponde una distribuzione di probabilità di valori dell’energia?

La risposta a questa domanda è piuttosto lunga e anche un po’ tecnica. Purtroppo non esistono vie regie per la meccanica quantistica. Almeno non che si conoscano.

In meccanica quantistica lo stato di un sistema viene rappresentato da un vettore (in realtà da un “raggio”, cio&egrave una direzione) in spazio di vettori dotato di un concetto di proiezione di un vettore sulla direzione di un altro vettore. Tecnicamente questa è la nozione di prodotto scalare (più precisamente si chiama prodotto hermitiano).
Questo prodotto scalare si indica in genere con
(v,w)
ed è un numero complesso per ogni coppia di vettori v e w. Ad esempio nello spazio bi- o tri- dimensionale il prodotto scalare di due vettori è il prodotto tra la proiezione del primo vettore sulla direzione del secondo, e la lunghezza del secondo vettore stesso.

Questo tipo di spazio vettoriale viene detto spazio di Hilbert. In realtà c’è anche un’altra proprietà che tale spazio deve avere per essere detto “di Hilbert”, ma è un po’ tecnica, quindi la ometto, adesso.
Importante è che questo spazio può anche essere a dimensione infinita, cioè avere infinite direzioni indipendenti.
Per rispondere alla domanda ci si può anche limitare a uno spazio a dimensione finita, caso questo che ha una certa applicazione in fisica.

Negli spazi di Hilbert che si usano in meccanica quantistica si può isolare un insieme di vettori {v1,…,v1} tali che

a) il prodotto scalare di una qualunque coppia di questi si annulla
(vk,vn)=0 per k diverso da n

b) il prodotto scalare di ogni vettore con sé stesso è uguale ad uno cio&egrave
(vk,vk)=1

c) nessuno di questi vettori si puo’ scrivere come una combinazione lineare dei rimanenti, cio&egrave una somma del tipo
a1 v1+ … + a n vn

dove gli a1,…,an sono dei numeri complessi.
Per spazi a dimensione infinita questo insieme è composto da un numero infinito di vettori.
Una volta noto questo insieme di vettori, uno può dimostrare che qualunque altro vettore dello spazio può essere scritto come combinazione lineare dei vettori {v1,…,vn}.

Prendiamo per esempio una particella vincolata a stare ferma in un punto. Esistono in natura particelle che hanno un momento angolare intrinseco (anche detto “spin”), che può venire pittoricamente rappresentato come il fatto di girare su un proprio asse (tipo il moto intrinseco della terra, che si aggiunge a quello attorno al sole).

In meccanica quantistica lo spin, così come il momento angolare totale di una particella sono legati al comportamento che lo stato della particella ha quando viene effettuata una rotazione delle coordinate. Diciamo che se guardo il sistema in un certo modo oppure lo guardo dopo essermi messo a testa in giù, la descrizione che ne darò sarà diversa.

Nel nostro caso scegliamo di limitarci ad una particella (vincolata) che possa essere descritta da uno spazio degli stati che sia bidimensionale. Cioé ogni vettore dello spazio degli stati della particella può essere scritto come la combinazione lineare di soli due stati {{v1,v2} come segue

v = a1 v1+ a 2 v2

Dalla matematica (per essere precisi dalla teoria delle rappresentazioni del gruppo delle rotazioni) si conoscono diverse proprietà di una particella siffatta. In fisica particelle simili sono gli elettroni (nel limite non relativistico), e si dice che hanno spin uguale ad 1/2.

Possiamo per esempio usare come vettori v1 e v2 gli stati di un elettrone con lo spin positivo (cioé che “ruoti” in senso antiorario su sé stesso) e con spin negativo, rispettivamente.
Consideriamo l’asse di “rotazione” dell’elettrone l’asse verticale in certe coordinate cartesiane.
Poniamo che l’elettrone nello stato v1 avrà un momento angolare, dovuto al suo ruotare, uguale 1/2 moltiplicato un certo “quanto” fondamentale di momento angolare (proporzionale alla costante di Planck) e nello stato v2 invece avrà momento angolare uguale a -1/2 per questo quanto. Vuol dire che se un elettrone è nello stato descritto da v1 ad es., la misura del momento angolare rispetto all’asse verticale troverà certamente il valore 1/2 * h, e con il segno opposto se invece l’elettrone è in uno stato descritto dall’altro vettore.

Se l’elettrone invece è nello stato

v = a1 v1+ a 2 v2

allora secondo la meccanica quantistica si ha

Probabilit&agrave |a1| 2 di trovare il momento angolare 1/2 * h
Probabilit&agrave |a2| 2 di trovare il momento angolare -1/2 * h

Cioè la probabilità di trovare l’elettrone in ogni stato è il modulo quadrato del coefficiente relativo ai.
Adesso ad esempio si potrebbe accendere un campo magnetico B ad esempio in direzione verticale, per cui c’è una interazione tra l’elettrone rotante e il campo. L’energia dell’elettrone dovuta a questa interazione è
E = B * M
dove M e’ il momento angolare intrinseco dell’elettrone. Allora, se l’elettrone è nello stato v scritto in precedenza, se si misura l’energia, si ha

Probabilità |a1| 2 che l’energia sia E1 = 1/2 * h * B

Probabilità |a2| 2 che l’energia sia E2 = -1/2 * h * B

Questo descritto è il prototipo di un sistema a due livelli (come per esempio si incontra in alcuni tipi di sistemi in ottica). Esistono anche molti casi di sistemi con più livelli, e addirittura moltissimi casi di sistemi a infiniti livelli, come negli atomi e nelle molecole e… praticamente in quasi tutti i sistemi fisici importanti.
La tecnologia che si usa è sempre la stessa.
Si trovano i valori possibili di energia del sistema (quello che si chiama “lo spettro di energia”); poi si trovano degli stati in cui il sistema ha certamente quei valori di energia. Quindi questi stati vengono etichettati dal valore dell’energia che hanno, dal livello energetico. Può accadere che ci siano più stati indipendenti con lo stesso livello energetico, allora si usano delle altre quantità (tipo il momento angolare) per etichettarlo in maniera univoca. Quello che accade alla fine del processo è che un qualunque stato che il sistema può assumere può essere scritto come una combinazione lineare di questi stati che sono stati trovati. Allora tutte le quantità fisiche si possono calcolare in maniera algebrica.

È questo che si intende quando si dice che in meccanica quantistica c’è la probabilità che il sistema si in uno stato piuttosto che in altro o che abbia una certa energia.