La risposta a questa domanda è apparentemente semplice. Alla posizione
dell’altro fuoco non c’è nulla! L’orbita ellittica è perfettamente
simmetrica rispetto ai due fuochi: il Sole ne occupa uno solo, mentre
l’altro rimane disabitato. In particolare, per l’orbita della Terra, il
secondo fuoco dista circa 5 milioni di chilometri dal centro del Sole
(al di fuori del disco solare, quindi, ma ancora all’interno della
corona). Più in generale, la distanza d tra i due fuochi di un’orbita è pari a
d = 2 × a × e,
dove a è la lunghezza del semiasse maggiore dell’orbita ed e è la sua eccentricità. Per i pianeti del sistema solare, e varia all’incirca tra 0.01 e 0.2 (una tabella completa, che riporta anche i semiassi maggiori, si trova a questa pagina).
È da notare che l’orbita descritta dal pianeta è geometricamente simmetrica, ma non lo è dinamicamente.
Infatti la velocità del pianeta non è la stessa in punti simmetrici
dell’ellisse. Per esempio, all’afelio (il punto più lontano dal Sole)
la velocità è minima, mentre al perielio (il punto più vicino) la
velocità è massima. Questo è conseguenza dalla seconda legge di Keplero
(legge delle aree).
La
domanda rimane comunque interessante dal punto di vista concettuale. La
questione dell’orbita di un pianeta attorno al Sole è un tipico esempio
di problema a simmetria centrale, nel quale esiste un punto notevole,
un centro attrattore, che determina la conformazione del sistema. Ora,
come mai da un problema siffatto, che ha solo un centro di simmetria,
si ha una soluzione con due punti notevoli?
Il problema gravitazionale è in realtà un caso particolare di problema a simmetria centrale. La forza F di gravità varia infatti come l’inverso del quadrato della distanza (F ∝ 1/r2). Si potrebbe studiare il caso generale in cui F dipende da r
in un modo differente, arbitrario. Ora, accade che solo nel caso della
forza gravitazionale
l’orbita risulta chiusa. Con tutti gli altri tipi di forza, invece, la
traiettoria assume una forma cosiddetta “a rosetta” (vedi figura). In
pratica, al termine di un giro, il pianeta si trova un po’ spostato
rispetto al punto di partenza, e quindi l’orbita non si chiude.
Come si può notare dalla figura, nel caso generale esiste un solo
centro di simmetria per il problema, che coincide, come ci si
aspetterebbe, col centro attrattore del sistema (il punto rosso). È
solo con la forza di gravità che l’orbita diventa chiusa, e si crea una
situazione con due centri di simmetria.
Questa è una delle tante proprietà che rendono speciale la forza di gravità. Ad esempio, solo con la dipendenza F ∝ r-2
vale il famoso teorema di Gauss (di solito applicato
all’elettrostatica, dove analogamente la forza di interazone tra due
cariche varia come l’inverso del quadrato della distanza).
Ringrazio il dottor Vincenzo Miccio dell’Università degli Studi di Parma per l’aiuto nel preparare questa risposta.