L’iperboloide iperbolico e l’iperboloide ellittico sono delle varietà topologiche e differenziabili?

Le quadriche sono superfici reali di dimensione 2 immerse nello spazio euclideo tri-dimensionale. Esse sono la esatta generalizzazione delle più note coniche piane, ellisse parabola e iperbole (la circonferenza è un ellisse con particolari parametri). Così come le coniche hanno equazioni cartesiane che sono polinomi di secondo grado in x e y, così le quadriche hanno equazioni cartesiane che sono polinomi di secondo grado in x,y e z. Ad esempio tra le quadriche troviamo paraboloidi (si fa ruotare una parabola attorno all’asse) coni, clindri, sfere, ellissoidi, iperboloidi, tutte superfici che hanno come sezioni piane delle coniche.
L’iperboloide iperbolico, detto anche ad una falda, è una quadrica con equazione canonica, per esempio, data da

x2 / a2 + y2 / b2– z2 / c2 =1.

Dunque tale superficie si può vedere incollando vari pezzi di grafici di funzioni regoalri; per esempio il grafico di
z=c√[x2 / a2 + y2 / b2-1]

oppure ancora il grafico di

z=-c√[x2 / a2 + y2 / b2-1].

Di conseguenza si applica un risultato generale che afferma che se è data una funzione f differenziabile definta su U aperto di Rn a valori in R, allora l’applicazione F(x)=(x,f(x)) definisce una parametrizzazione per il grafico di f.
Basta infatti osservare che anche F risulta differenziabile, ed anche biunivoca con inversa differenziabile.

A norma di ciò basta quindi scomporre la quadrica data in vari pezzi che sono grafici di funzioni regolare.

La stessa trattazione vale anche per il caso dell’iperboloide ellittico, detto anche a due falde, di equazione canonica, per esempio, data da

x2 / a2 – y2 / b2– z2 / c2 =1.

Dunque le due superfici date sono varietà differenziabili, in particolare anche varietà topologiche, di dimensione 2.