Prima di dare la risposta vera e propria è bene definire alcuni
concetti importanti relativi alle effemeridi, ovvero nella loro
accezione più generale, a quelle tabelle di coordinate ma anche altri
parametri che ci permettono di conoscere informazioni su determinati
oggetti celesti in funzione del tempo.
Essenzialmente
è opportuno chiarire che, a differenza di quanto si possa pensare
comunemente, sono molto rare le effemeridi che ci danno informazioni
complete, o con un linguaggio un po’ impreciso, esatte per un corpo
celeste.
Ci sono due ordini di problemi a riguardo. Prima di tutto per molti
problemi legati, per esempio, alla dinamica celeste non sempre esiste
una soluzione esatta di tipo analitico, una “formula” soluzione di un
dato problema per intenderci. Al contrario, le soluzioni sono spesso
trovate tramite ingegnosi algoritmi di calcolo di tipo iterativo che
possono essere condotti fino alla precisione desiderata. La soluzione
adottata, quindi, dipenderà dallo specifico problema in esame come
anche dalla potenza di calcolo a disposizione. Per proporre un semplice
esempio, se vogliamo sapere dove si trova un pianeta per poterlo
puntare nel campo di un telescopio amatoriale, una precisione di
qualche minuto d’arco è probabilmente sufficiente, se invece ci
accontentiamo che sia nel campo di un cercatore è plausibile che ci
basti una precisione dell’ordine di un grado. Con i moderni strumenti
di calcolo in realtà non è di solito un problema fornire effemeridi
molto precise, ma è bene essere a conoscenza del problema.
In
seconda analisi, indipendentemente, ma comunque in relazione alla
difficoltà di calcolo, non è detto che nella soluzione del problema in
esame si vogliano, o possano, considerare tutti i fattori in esame.
L’esempio della luminosità della Luna in funzione della fase è in
effetti calzante. In prima approssimazione potremmo pensare all’orbita
lunare come ad un cerchio perfetto intorno alla Terra, allo stesso modo
anche l’orbita della Terra intorno al Sole possiamo approssimarla come
un cerchio. Inoltre la distanza Terra-Luna è una frazione piccola di
quella Terra-Sole e quindi anche potremmo trascurare la diversa
intensità della luce solare a seconda delle diverse posizioni della
Luna rispetto al Sole. Se infine descriviamo la Luna come una sfera
perfetta con albedo costante ecco che il problema può avere una
soluzione analitica esatta, per altro probabilmente del tutto adeguata
per la maggior parte degli scopi pratici. Tuttavia per esigenze più
specifiche possiamo tenere conto dell’ellitticità dell’orbita lunare e
terrestre, della conformazione della superficie lunare e quindi della
sua diversa riflettività e così via. Non esiste evidentemente la
“soluzione esatta” del problema, ma diverse soluzioni sempre più
accurate in funzione della complessità della soluzione di calcolo e
della quantità di fattori considerati nella descrizione del problema.
Riguardo
inoltre alla “non presenza” del diametro di Giove o Marte nelle
effemeridi, si tratta solo di una mancanza apparente. In generale le
effemeridi ci possono informare su come varia la luminosità di un
pianeta nel corso del tempo tenendo conto almeno dell’orbita dello
stesso, di quella della Terra, della distanza del primo dal Sole e
quindi della distanza fra il pianeta e la nostra Terra. Per ogni
oggetto si misura o si calcola una luminosità ad una data di
riferimento e quindi successivamente le effemeridi ci riporteranno le
variazioni di questa in proporzione al valore di riferimento. Le
informazioni sulle dimensioni e l’albedo dell’oggetto in questione sono
già contenute nel valore di riferimento a cui abbiamo accennato.
Tuttavia questo non è una necessità teorica o anche solo pratica. Nulla
vieta, se necessario, di scrivere relazioni che ci riportino la
variazione della luminosità di un pianeta nel corso della sua orbita
rispetto a noi con tutti i parametri in forma esplicita.
Per
finire ecco come possiamo calcolare un’effemeride che ci dia la
luminosità della Luna nelle sue varie fasi. La relazione che
svilupperemo, come discusso in precedenza, non tiene conto di alcuni
fattori come la variazione albedo del suolo lunare ed il ruolo giocato
della luce cinerea. Dovrebbe essere, però, ampiamente
adeguata per ogni applicazione pratica.
La frazione illuminata del disco lunare osservata da Terra si può calcolare in funzione della cosiddetta elongazione selenocentrica della Terra dal Sole. Questo parametro, anche detto angolo di fase,
rappresenta l’angolo sotteso dal segmento che unisce la Terra al Sole
visto dal centro della Luna. Con questo presupposto si può determinare
la frazione illuminata k. In termini matematici:
dove k è la frazione illuminata ed i è l’elongazione selenocentrica. L’elongazione selenocentrica si può ricavare con:
dove r è la distanza Terra-Sole, d la distanza Terra-Luna e ψ l’elongazione geocentrica della Luna dal Sole. Quest’ultimo fattore si può calcolare con:
dove αS e δS sono l’ascensione retta e la declinazione geocentrica del Sole, αL e δL
l’ascensione retta e declinazione geocentrica della Luna. Di
conseguenza nel momento in cui tu ottieni la posizione del Sole e della
Luna, anche senza grande precisione, puoi ottenere la frazione
illuminata in maniera relativamente agevole. L’ultimo passo è passare
dalla frazione iluminata alla magnitudine.
Se assumiamo ora che sia M la magnitudine apparente della Luna piena, completamente illuminata, la relazione tra frazione illuminata k e magnitudine m ad un dato instante è
dove log è il logaritmo decimale e k va naturalmente espressa come frazione dell’unità. Infine la magnitudine apparente M della Luna piena nella banda visibile è di -12.7.