Prendiamo una lamina conduttrice, ad esempio rettangolare, immersa in un campo magnetico costante B. Mettiamo una differenza di potenziale tra due lati opposti della lamina. Si stabilira’ una corrente “longitudinale” (supponendo di chiamare ‘lunghezza’ la direzione della corrente). Classicamente gli elettroni sentono una forza di Lorentz perpendicolare alla loro velocita’ dovuta al campo magnetico. Si misura quindi nel senso della “larghezza” una differenza di potenziale proporzionale alla corrente longitudinale e al campo magnetico:
Vy =IxB/(e ne)
Pero’, per campi abbastanza alti, compaiono dei “plateaux”, degli scalini, nel senso che la resistenza “trasversale” Vy/Ix diventa costante in funzione del campo magnetico in vicinanza di certi valori del campo B stesso. Negli stessi intervalli si annulla la conducibilita’ longitudinale.
La formula per il valore della resistenza trasversale in corrispondenza dei “plateaux” e’:
RH = h/(k e2)
dove h e’ la costante di Planck, e la carica dell’elettrone, e k e’ un numero razionale. Questo numero si chiama “filling fraction”, e rappresenta il numero di elettroni per ogni “quanto di flusso” di campo magnetico. Il significato dell’espressione “quanto di flusso di B” puo’ essere compreso pensando al problema quantistico di un elettrone in un campo magnetico. I livelli di energia dell’elettrone sono quantizzati, e valgono:
EN = h e B /(2 Pi m c) (N + 1/2)
ora m e’ la massa dell’elettrone e c la velocita’ della luce.
Per ogni livello di energia ci sono infiniti stati con quella energia, se il piano e’ infinito. Altrimenti sono in numero proporzionale all’area. Questi stati con uguale energia si differenziano solo per il momento angolare. Per ogni unita’ d’area il numero di stati di un certo livello energetico e’:
numero stati per unita’ d’area = e B/(h c)
Quindi il numero di stati in una certa area e’ proporzionale al flusso del campo magnetico attraverso quell’area.
Quando k = 1 c’e’ un elettrone per “flusso elementare” (o quanto di flusso). Si ha allora l’effetto Hall intero (esistono anche casi in cui k=2,3 etc.).
Invece nel caso k non intero (esempio k=1/(2p+1), p numero intero) allora ci sono piu’ flussi elementari per ogni elettrone. Questo significa che i livelli energetici non sono completamente riempiti.
Si puo’ dare una descrizione piu’ dettagliata del perche’ si formano i plateaux nella resistenza Hall (trasversale), in termini del problema a molti corpi. A bassa temperatura (come in genere si fanno queste misure) gli elettroni popolano tutti gli stati a energia inferiore all’impulso di Fermi. Questa e’ una proprieta’ generale degli elettroni. Gli elettroni che possono eventualmente partecipare alla conduzione sono quelli con energia vicina a quella di Fermi (che dipende da temperatura e densita’). Adesso, un’elettrone, a causa delle impurita’, puo’ stare in uno stato localizzato, quindi non partecipa alla conduzione elettrica, oppure in uno stato esteso, cioe’ non localizzato, e quindi partecipa alla conduzione. Si puo’ calcolare che c’e’ una specie di struttura a bande, per cosi’ dire, perche’ gli stati localizzati, e quelli estesi, si organizzano in “bande”, cioe’ ci sono intervalli nei quali cadra’ l’energia degli stati estesi, e intervalli in cui ci sono solo stati localizzati. Cambiando il campo magnetico, si puo’ cambiare l’energia di Fermi. Allora se questa si trova in un intervallo in cui ci sono stati localizzati, non cambia il numero di elettroni che possono partecipare alla conduzione. Quindi la resistenza rimane costante. Questo permette l’esistenza dei plateaux.
Purtroppo, nonostante l’effetto Hall sia noto da quasi 130 anni, e l’effetto Hall quantistico da almeno 20-25, non c’e’ una teoria che possa spiegare in maniera unificata tutti i plateaux, soprattutto perche’, mentre nell’effetto intero l’effetto della repulsione di Coulomb tra gli elettroni non contribuisce, in quello frazionario “deve” contribuire. Anche le impurita’ hanno un ruolo fondamentale, perche’ permettono la creazione di stati localizzati (localizzazione di Anderson).
I risultati cardine dello studio in questo campo sono le cosiddette “funzioni d’onda di Laughlin”. Queste catturano molto bene le caratteristiche piu’ importanti dell’effetto Hall. Sfortunatamente, sono solo “trial wavefunction”, cioe’ non vengono da una teoria “fondamentale”, ma sono “fatte ad hoc”. Si stanno ancora cercando descrizioni migliori del problema, in termini di una qualche teoria di campo, che potrebbe anche, secondo recenti proposte, essere una teoria su una geometria non-commutativa, ultima “moda” trasversale a diversi campi della matematica moderna piu’ formale.