Sappiamo che lo spazio-tempo è una varietà differenziabile globalmente omeomorfa ad R^4, ma chi ci assicura che questa definizione (che inevitabilmente caratterizza alcune importanti proprietà di V4) sia vera anche a livello sub-atomico o su grande scala?

Intanto non
e` detto che lo spaziotempo sia globalmente omeomorfo a R^4. Si possono
avere topologie ben piu’ complicate. Per esempio si possono costruire
soluzioni delle equazioni di Einstein che asintoticamente diventano lo
spazio di anti-deSitter e che hanno topologie molto complesse ed inusuali,
si parla per esempio di “buchi neri topologici”. Tali soluzioni non possono
del tutto escludersi a meno di non avere la certezza di un valore positivo
della costante cosmologica: infatti tali soluzioni con topologia globale
inusuale si possono avere in presenza di costante cosmologica negativa
arbitrariamente piccola. Tutto l’universo potrebbe essere all’interno
di uno di tali buchi neri topologici. La vera assunzione generale riguardo
alla struttura dello spaziotempo e’ solo locale: in regioni “macroscopicamente
piccole” lo spaziotempo e` ben descritto assumendo che sia omeomorfo (e
diffeomorfo) a R^4.

Quello che
accade a piccolissime scale e’ invece molto dubbio. Nel momento in cui
si introduce la costante di Planck si puo’ costruire, usando la costante
gravitazionale e la velocita’ della luce, la cosiddetta lunghezza di Planck
pari a 1.62 10^{-33} cm equivalente al tempo di Planck pari a 5.39 10^{-44}
s. Su scale cosi’ piccole lo spaziotempo potrebbe avere una struttura
molto diversa da quella di una varieta’ topologica e differenziabile.
Qualcosa di interessante deve accadere a quelle scale se si considera
per esempio che un elettrone dovrebbe avere raggio nullo per quanto ne
sappiamo dalle osservazioni, e comunque ben al di sotto del suo raggio
di Schwarzschild. L’elettrone allora dovrebbe immediatamente dare luogo
ad un buco nero se valesse la relativita’ generale anche nell’infinitamente
piccolo senza alcuna correzione. In realta’ l’elettrone non e’ un buco
nero come e’ ovvio dal fatto che esistiamo. Questo puo’ essere euristicamente
spiegato in vari modi (anche dicendo semplicemente che e’ il raggio Compton
dell`elettrone che conta che e’ al di sopra del raggio di Schwarzschild),
ma lascia intuire che nel piccolissimo (scale quantistiche) la teoria
della Relativita’ vada integrata con la teoria quantistica in qualche
modo producendo una struttura dello spaziotempo ben diversa da quella
macroscopica. Tali idee sono state considerate anche nel tentativo di
costruire una teoria quantistica della gravitazione dopo il fallimento
degli approcci ordinari basati sulla teoria quantistica dei campi standard
(la brutale seconda quantizzazione delle equazioni della relativita’ generale
linearizzate produce una teoria non rinormalizzabile) e quelli basati
sulla formulazione hamiltoniana (la quantizzazione delle equazioni di
Einstein [in assenza di materia] nel formalismo di Hamilton produce un
sistema quantistico in cui non esiste l`evoluzione temporale). Un altro
problema che necessita l’investigazione della struttura dello spaziotempo
alle scale di Planck e’ quello di dare una interpretazione statistica
dell’entropia dei buchi neri prevista da Hawking negli anni ’70. Tra le
varie teorie proposte, la teoria delle (super)stringhe e’ tornata da qualche
anno di moda (malgrado non abbia dato alcuna previsione verificabile sperimentalmente).
Tale teoria, prima della quantizzazione rimane comunque una teoria geometrica
assume a che lo spaziotempo sia una varieta’ con dimensioni in piu’ delle
4 ordinarie, ma che esse siano compattificate su scale molto piccole (intorno
alla lunchezza di Planck).

Idee piu’
radicali basate sugli approcci delle cosiddette Geometrie non commutative,
assumono invece che la struttura geometrica di spaziotempo cessi di esistere
a quelle scale per essere rimpiazzata da una struttura ben piu’ complessa
simile alla struttura algebrica degli operatori in meccanica quantistica.
Approcci ancora piu` radicali, come la “Loop representation”, cercano
di costruire la struttura metrica dello spaziotempo in termini di autovalori
di opportuni operatori che rappresentano, nel senso della meccanica quantistica,
delle osservabili geometriche quali l’area. In ogni caso, per il momento
tutto queste sono pure speculazioni in quanto sembra che nessuna delle
varie teorie proposte implichi fenomeni fisici osservabili con la tecnologia
disponibile, per cui non e’ possibile, per ora, vagliare queste teorie
con l’esperienza fisica.