In Internet ho trovato dati discordanti sul valore della sezione aurea: a volte tale valore è 0,618, a volte è 1,618. Quale dei due è corretto?

Tra i vari contributi dati dai pitagorici alla geometria,
sicuramente uno dei più suggestivi è quello dovuto
all’ideazione del cosiddetto pentagramma, o pentagono stellato:
Considerato un pentagono regolare ABCDE, tracciamo le cinque diagonali, le
quali si incontrano nei punti A’B’C’D’E’, i quali formano a loro volta un
pentagono regolare. La peculiarità di questi punti è che
ognuno di essi divide la diagonale in due parti diseguali, in modo che la
parte maggiore è media proporzionale tra la diagonale stessa e la
parte minore. Con riferimento alla figura 1 si ha, ad esempio:

AD : AB’ = AB’ : DB’,

relazioni analoghe valgono per gli altri punti e le altre
diagonali. Questo modo di dividere un segmento era noto ai greci
semplicemente con il nome di “sezione”, mentre il nome di sezione aurea, con
cui è noto adesso, è dovuto a Keplero, anche se i primi
riscontri storici del suo utilizzo si trovano nell’architettura egizia.

      Più precisamente,
se si considera un qualsiasi segmento AB ed un suo punto interno
P che lo divide in due parti diseguali, indicando con AP la
parte maggiore, il segmento AP è detto sezione aurea di
AB
se AP è il medio proporzionale tra l’intero segmento e
la parte minore, ossia se:

AD : AP = AP : PB;


figura 2

più in generale, è detta sezione aurea di
AB qualsiasi segmento congruente ad AP (ossia, avente la stessa
lunghezza).

      Euclide, nella sua opera
“Gli Elementi”, ci fornisce una costruzione geometrica di questo segmento,
che gode di alcune proprietà davvero interessanti, ma la sua
caratteristica principale è che, per così dire, si
“auto-genera”. Dato il segmento AB e un punto P1
tale che AP1 sia sezione aurea di AB, se conveniamo
di indicare con AB la lunghezza di AB e consideriamo un punto
P2 interno al segmento AP1 in modo che
risulti AP2 = P1B,
allora si può dimostrare che AP2 è la sezione
aurea di AP1. Analogamente, considerato il punto
P3 in modo che risulti
AP3 = P2P1,
allora AP3 è la sezione aurea di
AP2. Il processo può essere iterato
indefinitamente, il segmento APn + 1 è la
sezione aurea del segmento APn.


figura
3

Indicando con x la lunghezza della sezione aurea,
supponendo che AB abbia lunghezza unitaria, allora x deve
soddisfare la proporzione

1 : x = x : (1-x),

ossia deve soddisfare l’equazione di secondo grado
nell’incognita x

x2 + x – 1 = 0

la quale ammette le seguenti due radici:

,
             .

La seconda di queste (che vale -1.618…) deve essere
scartata perché un segmento non può avere lunghezza negativa e
quindi ci rimane solo la prima, che di solito viene indicata con il simbolo
e vale all’incirca 0.61803398875.
Analogamente si verifica agevolmente che, se il segmento AB ha
lunghezza a, allora la sua sezione aurea misura .

      Quello che è
interessante notare è che, comunque si scelga il segmento AB,
il rapporto tra la sua lunghezza a e quella della sua sezione aurea
x è un numero costante che viene denominato rapporto
aureo
e si indica con :

anche se in taluni casi si trova indicato come rapporto
aureo la quantità , ossia il
rapporto tra la lunghezza della sezione aurea di un segmento e il segmento
stesso, cioè la quantità x / a.


figura
4

La cosa che mi preme sottolineare, tenendo presente la
domanda, è che le due proporzioni
a : x = x : (x – a)
e
x : a = (x – a) : x
sono equivalenti (infatti si sono scambiati solamente i medi con gli
estremi), mentre ovviamente i rapporti
a / x = x / (x – a)
sono diversi da
x / a = (x – a) / x:
i primi due valgono 1.618… mentre i secondi due 0.618… e sono inversi
l’uno dell’altro.

      A mio avviso non ha
molta importanza a quale delle due coppie si dà il nome di rapporto
aureo; due grandezze ae b sono in rapporto aureo se il rapporto
tra la misura della più grande e quella della più piccola vale
o se il rapporto tra la più
piccola e la più grande vale ; il
verificarsi di una delle due implica il verificarsi anche dell’altra. Questo
discorso però, in persone di giovane età, potrebbe finire di
generare confusione, e quindi è conveniente chiamare rapporto aureo
solo uno dei due. Per gli stretti legami che esso ha con la successione di
Fibonacci, tra l’altro già illustrata all’interno di questo sito alla
pagina http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8686,
penso sia opportuno indicare come rapporto aureo la quantità  = 1.618…, come indicato nella
maggior parte dei documenti consultati.