Sono uno studente iscritto alla Facoltà di Scienze MM.FF.NN. di Caserta. Ultimamente ho sentito parlare delle equazioni di Navier-Stokes e vorrei capire cosa sono e a che servono. Spero potrete aiutarmi! Un Saluto!!

Nello studio dei fluidi si assume generalmente che il fluido sia incomprimibile e non viscoso.
Si parla cioè di: fluido perfetto.

Queste due ipotesi si esprimono matematicamente come:
equazione di continuità per i fluidi incomprimibili

e irrotazionalità del campo di moto

dove v è il vettore velocità.

Da qui attraverso il teorema della quantità di moto scriviamo le equazioni di Eulero per i fluidi perfetti,

dalla quale ricaviamo ulteriormente la nota equazione di Bernoulli

Si tratta in generale della conservazione dell’energia meccanica.
Mentre la prima semplificazione è largamente accettabile in quanto un fluido si può considerare incomprimibile fino a circa un terzo della velocità di propagazione del suono nel fluido stesso (in acqua circa
1500m/s), le seconda porta invece a trascurare importanti effetti dovuti all’attrito viscoso che si manifestano per velocità ordinarie e che possono influenzare sensibilmente il campo di moto.
Teniamo ora perciò conto dell’intervento degli sforzi tangenziali d’attrito dovuti appunto alla viscosità.
Anche qui si assume di trattare fluidi newtoniani, ovvero tali che gli sforzi tangenziali siano linearmente proporzionali al gradiente della velocità:

dove y è la direzione perpendicolare al moto mentre m è il coefficiente di attrito viscoso.
Considerando (come fatto per ricavare le equazioni di Eulero) le forze agenti sulle facce di un elemento prismatico (porzione del campo di moto) e la terna cartesiana x,y,z, con l’asse x parallela alla
direzione del moto otteniamo le equazioni di Navier-Stokes:

Tali equazioni permettono (in linea teorica) di risolvere tutti i problemi del moto dei fluidi tenendo conto della loro viscosità ovvero dei fluidi reali.
In pratica ci troviamo però di fronte alla complicata forma di queste equazioni alle derivate parziali non lineari che ne rendono ardua la soluzione.
Si noti che, ponendo m=0, ritorniamo ad avere le equazioni di Eulero, ma nel contempo vediamo che ciò non ha significato reale.
Attraverso un processo di adimensionalizzazione delle equazioni di Navier-Stokes possiamo introdurre delle semplificazioni in funzione del fatto che ci si trova in condizioni in cui l’attrito viscoso o le forze
d’inerzia siano trascurabili.
L’indice che segna i confini (purtroppo molto sfumati) è rappresentato dal numero di Reynolds (Re) il quale esprime il rapporto tra forze d’inerzia e forze viscose.
Riferendoci ai i due casi limite dove Re=¥, Re=0 dove le forze viscose sono rispettivamente trascurabili e
dominanti avremo: nel primo caso le equazioni di Eulero, nel secondo avremo invece che il primo termine a secondo membro delle equazioni di Navier-Stokes sarà trascurabile: le equazioni così ottenute sono anche
dette di scorrimento lento dei fluidi viscosi.

N.B. lo studio cinematico è affrontato con approccio di tipo euleriano dove la determinazione del campo di moto avviene in ciascun punto indipendentemente da quale particella attraversi tale punto: in questo senso vanno quindi interpretate le derivate totali.

Simbologia:
p: pressione
h: altezza colonna d’acqua (di fluido)
g: peso specifico
m: viscosità
r: densità

Cenni storici:
le attuali equazioni di Navier-Stokes furono dapprima ricavate da M.H. Navier (1822) e da S.D. Poisson (1829) in base a considerazioni di mutue azioni fra le molecole dei fluidi, e più tardi da J-C.B. De Saint Venant (1843) e da G.G. Stokes in base allo schema classico.