La teoria dei gruppi (che ha definitivamente risolto il caso delle equazioni algebriche) in che modo può essere utile per risolvere le problematiche relative alle equazioni differenziali?

La teoria dei gruppi ha giocato un ruolo centrale nello sviluppo della matematica nella prima metà del Novecento. La più importante applicazione della teoria stessa, richiamata anche dall'autore, è relativa alla teoria delle risolubilità per radicali di un'equazione algebrica: il lavoro di Lagrange, Ruffini, Abel e Galois basato sullo studio dei gruppi di sostituzioni delle radici di un'equazione algebrica porta alla dimostrazione del fatto che la generica equazione algebrica di quinto grado non è risolubile per radicali. Ma non è solo l'algebra che trae beneficio dalla teoria dei gruppi: Poncelet e Möbius fondano la geometria proiettiva sullo studio del gruppo delle proiettività, e successivamente anche altri tipi di geometria non euclidea vengono esplorati attraverso lo studio di opportuni gruppi di trasformazioni e dei relativi invarianti, impostazione oggi nota come Programma di Erlangen e messa a punto da Klein nel 1872. Anche in analisi la teoria dei gruppi non tarda ad arrivare: attorno all'anno 1890 Lie pubblica una serie di note relative allo studio dei gruppi continui di trasformazioni e relative applicazioni alle equazioni differenziali. Lie prende spunto dalla problematica relativa alle equazioni algebriche e si pone la seguente domanda: la teoria dei gruppi discreti viene in aiuto per capire quando un'equazione algebrica può essere risolta per radicali; la teoria dei gruppi continui può essere utile per capire quando un'equazione differenziale ordinaria può essere risolta per quadratura? Partiamo da un caso facile: l'equazione differenziale y'=f(x). Tale equazione è risolubile per quadratura immediata: l'insieme delle soluzioni è dato da

y(x)=c+F(x)

dove F'=f e c è una costante reale arbitraria. Le soluzioni dell'equazione y'=f(x) si ottengono quindi traslando di un parametro c arbitrario reale una qualunque primitiva di f. Si è quindi venuto a creare in modo naturale un gruppo continuo ad un parametro, il gruppo delle traslazioni x → x, y → y+c, che permuta tra loro le soluzioni dell'equazione y'=f(x) proprio come l'azione dei gruppi di sostituzioni di radici di un'equazione algebrica. Il problema che ora si è posto Lie è il seguente: assegnata un'equazione differenziale ordinaria, se è possibile trovare un gruppo continuo ad un parametro che permuta le soluzioni dell'equazione allora esiste una trasformazione di coordinate che porta l'equazione a essere integrata per quadratura? La risposta è positiva e rappresenta il cuore del metodo messo a punto da Lie. Non entriamo nel dettaglio del metodo stesso che richiederebbe l'introduzione di svariati concetti e definizioni; ci limitiamo solo a vedere alcuni punti dell'applicazione di questo metodo su un'equazione non lineare. Consideriamo l'equazione differenziale 

xy'+y-xy2=0.

Introduciamo la variabile p che prende il ruolo della derivata; si viene quindi a creare una superficie di equazione 

xp+y-xy2=0.

Cerchiamo ora un gruppo continuo da un parametro che lasci invariata l'equazione di tale superficie: si vede facilmente che basta porre  x → λx, y → λ-1y, p → λ-2p. Dunque il metodo di Lie parte e si arriva, seguendo una procedura standard, alla seguente trasformazione di coordinate:

R=xy, S=log y, T=x2p.

Dall'equazione xp+y-xy2=0 si ricava facilmente T=R2-R mentre sviluppando dS/dR si trova  

dS/dR=T/[R(T+R)].

Dunque è 

dS/dR=T/[R(T+R)]=1/R-1/R2

che per quadratura fornisce S(R)=1/R+log R+c. Tornando alle vecchie coordinate si ha dunque 

y=-1/[x(c+log x)].

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Per approfondimenti si veda: http://www.physics.drexel.edu/~bob/LieGroups/LG_16.pdf