Prima di rispondere alla domanda ritengo sia necessaria una premessa. In meccanica classica l'obiettivo è di risolvere le equazioni del moto per trovare una traiettoria, invece in meccanica quantistica l'incognita è la probabilità che, ad esempio, una particella vada da un punto ad un altro in un determinato intervallo di tempo. L'equazione del moto (Eulero-Lagrange) che soddisfa la traiettoria classica x(t) è diversa da quella che soddisfa la densità di probabilità f(x,t) in meccanica quantistica (Schrödinger). Direi quindi che non “funzionano” poiché il significato fisico dell'incognita non è lo stesso.
Se per “funzionano” s’intende se in qualche modo compaiono in meccanica quantistica, la risposta è sì. Il teorema di Ehrenfest afferma che le equazioni classiche del moto sono riottenute, come valor medio, nella meccanica quantistica. Data quindi una hamiltoniana indipendente dal tempo si può affermare che risolvere le equazioni del moto fornisce indicazioni sul valor medio della posizione di una particella. È doveroso rilevare però, che la traiettoria classica x(t) in meccanica quantistica non ha più senso perché non è osservabile.